线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质专项训练-2026届高考数学二轮复习

这是一份线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质专项训练-2026届高考数学二轮复习，共14页。

(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取中点为，取中点为，连接，连接，连接交于点，连接，
因为点为中点，点为中点，所以，
因为为的中点，所以为的中点，
又因为为的中点，
所以，又平面平面，故平面.
（2）以的中点为原点，以为轴，为轴，
过且垂直底面的直线为轴，建立空间直角坐标系.
设，则，菱形中，，所以，
则，
又，
所以，，
设平面的法向量为，
则，即，
取，得，
设平面的法向量为，
则，即，
取得，
设平面与平面的夹角为，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为.
例2．（25-26高三上·江苏苏州·期末）如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，分别为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【详解】（1）因为分别为的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
同理平面，，平面，平面，
所以平面平面，
又因为平面，所以平面．
（2）因为平面，底面为正方形，
所以以为坐标原点，为基底建立空间直角坐标系，
所以，，，，，
，，，
设平面的法向量为，由所以
令，所以，
设直线与平面所成的角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
变式1．（25-26高三上·广西河池·期末）如图，等腰梯形中，，，，，，现将沿折起得四棱锥，在四棱锥中，点，分别在，上，且.
(1)求证：平面；
(2)若二面角为，求直线与平面所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：在上取一点，使得，
因为分别在和上，且，
在中，可得，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
在中，可得，所以，
因为，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
因为，且平面，所以平面平面，
又因为平面，所以 平面.
（2）解：因为，且，平面，
所以平面，则即为二面角的平面角，所以，
以为原点，以所在直线为轴，以过点垂直于平面的直线为轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
设，可得，
则，
设平面的法向量为，则 ，
取，可得，所以，
又由，可得，
设，
可得且，
解得，，所以，
设与平面所成的角为，其中，
则，
所以，
所以与平面所成的角的余弦值为.
变式2．（2026·湖南永州·一模）如图，四边形为直角梯形，且．点满足平面．

(1)若为上靠近点的三等分点，请判断直线与平面的位置关系并说明理由；
(2)若，点满足，求直线与平面所成角的余弦值．
【答案】(1)直线与平面平行，理由见解析
(2)
【详解】（1）直线与平面平行，
理由如下：如图，设与交于点，连接，
，
为上靠近点的三等分点，
为上靠近点的三等分点，在中，，
平面平面平面；
（2），
平面，则以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
从而，
，
点的坐标为，
设平面的一个法向量为，
则，即，
则，令，可得，
平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，.
考点二 面面平行的判定
例1．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）如图，在三棱柱 中， ， 分别为 ， 的中点.
(1)若点 在线段 上，且 ，求证：平面 ；
(2)若 ，，，求平面 与平面 的夹角.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【详解】（1）在三棱柱 中，取的中点，连接，由为的中点，
得，而，则，又为的中点，则，
而平面，平面，于是平面，平面，
又平面，因此平面平面，而平面，
所以平面.
（2）由，得，而，则，
由，得，即，
故可以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
由，得，
则，
设平面的一个法向量，则，令，得，
而平面的一个法向量，因此，
所以平面与平面的夹角为.
例2．（25-26高二上·上海长宁·期末）已知四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点、分别是、的中点，点为线段上一点．
(1)求直线和所成角的大小；
(2)确定点的位置，使平面平面，并证明．
【答案】(1)
(2)中点，证明见解析
【详解】（1）已知底面是正方形，平面，以为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系，
，点、分别是、的中点，则，
，
，
直线和所成角为．
（2）为的中点，
，
，令，则，，
当时，，为的中点，
此时，，；
，，
，，平面，
平面，平面，
又，平面，
平面平面．
变式1．（25-26高三上·海南·期末）如图，四棱柱的底面为正方形，且平面平面，，，分别为棱的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）因为四棱柱的底面为正方形，
所以，且.
因为分别为棱的中点，所以且.
所以四边形为平行四边形，所以.
又平面，平面，则平面，平面，
由，平面，，所以平面平面.
（2）
取中点，中点，连接，.
因为，，所以为等边三角形.
因为点为中点，所以，，.
因为为正方形，点，点为中点，所以.
因为平面平面，平面平面，，
所以平面，又平面，所以.
所以，，两两垂直.
以为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，设平面的法向量为，
则，即，取，则，，所以.
又平面，所以即为平面的一个法向量.
设平面与平面的夹角为，
则.
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
变式2．（25-26高二上·陕西商洛·月考）如图，在长方体中，．
(1)求证：平面平面；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【详解】（1）已知是长方体，
且，四边形是平行四边形，则，
且，四边形是平行四边形，则，
又平面，又平面，，
平面，平面，，
故平面平面.
（2）已知是长方体，
以为原点，为轴建立空间坐标系，
由可得：，
，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，取，计算得：，，
故平面的法向量为，
点到平面的距离.
考点三 线面平行的性质
例1．（25-26高二上·重庆·期末）如图，在四棱锥 中，底面是矩形，底面 ， 且 ，是的中点，平面与线段交于点 .
(1)求证: ；
(2)若 ，求直线 与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析.
(2)
【详解】（1）在矩形中，，又平面，平面，
所以平面，又因为平面平面，所以.
（2）由（1）可知，又因为是的中点，所以是的中点，
因为平面，平面,所以,.又因为，，
所以，所以.又在矩形中，
所以两两垂直.如图以D为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，所以，设平面的一个法向量为则，即，令，得，
设直线与平面所成角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
例2．（25-26高二上·广西北海·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，点F在棱上，直线与平面交于点E.

(1)证明：；
(2)若F为中点，求与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见详解
(2)
【详解】（1）底面是边长为2的正方形，，
又平面，平面，平面，
平面，平面平面，.
（2）平面，底面是边长为2的正方形，两两垂直，
以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
，，
又F为中点，，
，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，故平面的法向量为，
设与平面所成角为，则，
故与平面所成角的正弦值为.
变式1．（25-26高二上·四川德阳·期末）如图，四棱锥是正四棱锥，设平面与平面的交线为，为上异于点的一点.

(1)求证：；
(2)在棱上找一点，使得平面平面，并给出证明；
(3)若正四棱锥的所有棱长均相等，，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)当为的中点时，证明见解析
(3)
【详解】（1）在正四棱锥中，底面为正方形，所以，
又平面，平面，所以平面，
又平面，平面平面，
所以；
（2）当为的中点时，平面平面，
证明如下：
在正四棱锥中，，又为中点，
所以，
在正方形中，，所以，
在正方形中，，又，
所以，又，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
（3）因为正四棱锥的所有棱长均相等，所以两两垂直，
以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图所示：

设正四棱锥的棱长为，
所以，
所以，
所以，
又，所以，
所以，
设平面的法向量为，
所以，令，得，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
变式2．（2026·辽宁大连·一模）如图，已知四棱锥的底面为正方形，底面，设平面与平面的交线为直线.

(1)证明：；
(2)，点在直线上.
（i）若，且点均在球的球面上，证明：点在球的球面上；
（ii）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）证明见解析；（ii）或
【详解】（1）在正方形中，，
因为平面，平面，所以平面，
又因为平面，平面平面，所以；
（2）以点为原点，为轴，
如图建立空间直角坐标系，

则，，，，，
（i）因为点在直线上，
设，因为，则，即，
设点所在球的球心，
则，
即，
解得，即球心，半径为，
又，
所以点在球的球面上；
（ii）设，且，
设平面的法向量为，则，
可取，记直线与平面所成的角为，
则，
解得或，
所以的长为或.
考点四 面面平行的性质
例1．（25-26高三上·北京西城·月考）如图，在多面体中，面是正方形，平面，平面平面，，．

(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值；
(3)若直线上存在点，使得，求线段的长度．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）因为平面平面，，，，四点共面，
且平面平面，平面平面，
所以.
（2）因为平面，是正方形，
则以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，如图建立空间直角坐标系，

则，，，
得：，，，
设平面的法向量为，
则，
令，得，，得：；
设平面的法向量为，
则，
令，得，，得：，
则.
由图可知二面角为钝角，
故二面角F－BE－C的余弦值为.
（3）

如图，已知在上，令（），
由，
，由于，
则，即，解得：.
可得：，则，
即线段的长度为.
例2．（25-26高三上·福建厦门·月考）如图，已知圆台，AB，CD，EF均为母线，四边形ABCD为圆台的轴截面，且，
(1)证明：；
(2)已知二面角的余弦值为，求圆台的高的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）因为均为圆台母线，所以为相交直线，确定平面,
又平面平面,平面平面,平面平面,
（2）连接，由直线为圆台的轴，得延长线交于一点，
由（1）同理得，由，得，则，
而，，因此，直线两两垂直，
以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
设，，则， ，

设平面与平面的法向量分别为，则，
取，得；，取，得，
由二面角的余弦值为，得，解得，
所以圆台的高为1.
变式1．（24-25高一下·贵州·月考）如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且

(1)求证：D，B，F，E四点共面；
(2)求证：平面；
(3)棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)存在，
【详解】（1）连接，因为点E，F分别为棱，的中点，所以，

又在正方体中且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
所以，所以D，B，F，E四点共面；
（2）连接、分别交于点H、O，连接，
在正方体中，且，
所以，则，
同理可得，
所以，所以，
又平面，平面，所以平面；
（3）存在，且，理由如下：
因为，
所以，
，
又，
，
平面，平面，
平面，
延长交于，延长交于，连接，
为中点，易得，
，
分别为的中点，易得，
，，
，又，即，
四边形为平行四边形，
，
又平面，平面，
所以平面，
又平面，
平面平面，
所以时，平面平面．
变式2．（2025·青海·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，是的中点．
(1)证明：平面平面．
(2)证明：平面．
(3)求直线与直线所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3).
【详解】（1）证明：，即，．
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，而平面，所以．
又因为，，平面，所以平面．
因为平面，所以平面平面．
（2）证明：取的中点，连接，，，．
则在中，．因为平面，平面，
所以平面．
在中，，，，
所以，即.
而，，则有，所以，，
所以是等边三角形，所以，即．
因为平面，平面，所以平面．
因为，平面，平面，
所以平面平面，而平面，所以平面．
（3）连接，结合（1）（2）易得两两垂直，
以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，
所以，．
所以，
所以直线与直线所成角的余弦值为．考点目录
线面平行的判定
面面平行的判定
线面平行的性质
面面平行的性质