线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质专项训练-2026届高考数学二轮复习

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(1)求证：平面；
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【详解】（1）因为平面，平面，所以；
又因为，平面，
所以平面，
又平面，因此,
又因为底面是平行四边形，所以可得为矩形；
因为，平面，
所以平面.
（2）由（1）可知三条线两两垂直，
以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：

由，，可得，
所以，
设平面的一个法向量为，
所以，解得，令，可得；
因此可得；
又，
设平面的一个法向量为，
所以，解得，令，可得；
因此可得；
设平面与平面的夹角为，
所以，
因此平面与平面夹角的余弦值为.
例2．（25-26高二上·福建厦门·期末）在如图所示的多面体中，四边形为菱形.在梯形中，，，，平面平面.
(1)证明：平面；
(2)若，，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，则求出，若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在实数
【详解】（1）因为平面平面，，平面，平面平面，所以平面，
又因为平面，所以，
因为四边形为菱形，所以，
又，平面，所以平面；
（2）设，取中点，连接，得，
因为平面，所以平面，
以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为菱形，所以，
又因为，所以为等边三角形，
所以，.
则，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量，
则，即，取，可得，，
故，
设，由，得，
即，则.
设直线与平面所成的角为，
则，
解得，即或，
又，所以，
故存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为.
变式1．（25-26高二上·广西百色·期末）如图，在直三棱柱中，，，，.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2).
【详解】（1）证明：因为，所以,
因为平面，平面，所以，
因为，且平面
平面
（2）如图所示建立空间直角坐标系，
，，，，
，，，
设平面的法向量为，
∴，即，令，得，
设直线与平面所成角为，
∴，
∴直线与平面所成角的正弦值为.
变式2．（25-26高二上·福建厦门·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，为的中点，，

(1)证明：平面；
(2)若，侧棱上是否存在一点，使二面角为直二面角？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【详解】（1）因为平面，平面，
所以，，．
在中，为斜边的中点，所以．
又因为，所以，
所以为直角三角形，．
因为，，，平面，
所以平面．
（2）因为，，所以，所以，，两两垂直．
如图，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．

由（1）知平面，平面，所以．
所以．
中，，
所以，，，，，．
所以，，，．
设，则．
设平面和平面的法向量分别为，．
由，得，
令，得，，则．
由，得，
令，得，，．
由二面角为直二面角，知，
即，
解得．
综上可知，存在满足条件的点，其中．
考点二 面面垂直的判定
例1．（25-26高二上·广东河源·期末）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，点在母线上，且．
(1)求证：平面平面；
(2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在，点为的中点
【详解】（1）如图，设，连接，由圆锥的性质可知⊥平面，
因为平面，所以⊥，
因为为底面圆的内接正三角形，由，可得，
，，
又，所以，即，⊥，
故，
在中，，
所以，故⊥，
因为⊥平面，平面，所以平面⊥平面，
又平面，平面平面，⊥，故⊥平面，
又平面，所以平面⊥平面；
（2）易知，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设，可得，
设平面与平面的法向量为，
则，
令，则，，故，
则，
令，则，，故，
设平面与平面夹角为，
则，
整理得，解得，则，，
故线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，且.
例2．（25-26高三上·山东德州·期末）已知菱形中，，，为中点，如图一所示，现将沿着折起，使得点到达点，如图二所示．
(1)当时，证明：平面平面；
(2)当时，求平面与平面所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析.
(2)
【详解】（1）
取的中点，连接，
在中，由余弦定理可得，解得，
所以，即，
因为，所以，即，
平面，
平面，所以，
又菱形中，，为的中点，
且，
所以四边形为平行四边形，即，
所以，
因为平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）
取的中点为，连接，作，
因为，所以为正三角形，由（1）可知，
所以以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，
则，
取，则，
同理设平面的法向量为，
则，
取，则，
所以平面与平面所成角的余弦值为
.
变式1．（25-26高二上·贵州遵义·期末）如图1，平面五边形是由正和直角梯形组成的，已知，，，，以为折痕把折起，使点到达点位置，如图2．
(1)若，证明：平面平面．
(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【详解】（1）取的中点，连接．
由题意，得．
所以，所以．
又因为为正三角形，为的中点，
所以．
因为，所以平面．
因为平面，所以平面平面．
（2）由（1）结合题意可知，，则二面角的平面角为，所以．
以为坐标原点，过点作平面的垂线为轴建立空间直角坐标系，则，．
设平面的一个法向量为．
由得．
因为，所以．
设直线与平面所成角为，则．
故直线与平面所成角的正弦值为．
变式2．（25-26高二上·湖北孝感·期末）如图，在四棱锥中，平面与底面所成的角为，底面为直角梯形，.
(1)证明：平面平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)棱上是否存在点，使二面角的余弦值为.若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，是靠近的三等分点
【详解】（1）因为平面平面，
所以，为与底面所成的角，
所以，
因为，
取中点，连接，则，
则四边形为长方形，又,故四边形为正方形，
则，故，
所以
又因为，
所以平面
因为平面，
所以平面平面.
（2）过点作于点，
由于平面平面APC，
所以
因为，
所以平面
故即为点到平面的距离，
因为，
所以.
（3）令.以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
其中平面的法向量为，设平面的法向量为，
,
则，令得：，
所以
设二面角的平面角为，则，
其中
解得：或
因为，所以.故是靠近的三等分点.
考点三 线面垂直的性质
例1．（2026·江苏·一模）如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，为的中点，，，.
(1)证明：；
(2)若点在棱上，二面角的正切值为，求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2).
【详解】（1）因为是边长为2的等边三角形，为的中点，所以，
在中，由余弦定理得:
，所以，
因为为中点，所以，
因为是边长为2的等边三角形，所以，
则，所以，
又，，平面，平面，
所以平面，又因为平面，所以
（2）解法一：以向量，，所在方向建立空间直角坐标系，
则，，，，
因为在线段上，设，
则，，
设平面的法向量为，
则即取.
又平面的法向量为，
因为二面角的正切值为，
所以，
整理得，解得或（舍去），所以，
设平面的法向量为，则即
取，则，
所以点到平面的距离.
解法二：过作，垂足为，过作，垂足为，连接，
因为平面，平面，所以平面平面，
平面平面，平面，所以平面，
又平面，所以，
又，平面，所以平面，
平面，故，所以是二面角的平面角，
而二面角的正切值为，故，
设，，所以，
在中，，，，
故，故为等腰直角三角形，
故，故，
所以，，故，故，
又，
设到平面的距离为，则可得，
故，故到平面的距离为.
例2．（2026·江苏镇江·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面，D是AC的中点，平面平面PAC，且．
(1)求证：；
(2)求平面PAC与平面PBC的夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）如图，过作于，因为平面平面，
平面平面，平面，
所以平面.
因为平面，所以；
因为平面，平面，
所以，，平面，
所以平面，平面，所以.
（2）由（1）知平面，所以，以为原点，过与平行的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，如图：建立空间直角坐标系，
则，，
设平面的法向量为，则，
即，取，则.
因为平面，取平面的一个法向量为，
，
所以平面PAC与平面PBC的夹角的余弦值为.
变式1．（25-26高二上·福建泉州·期末）如图，圆柱的轴截面为正方形ABCD，M为底面圆上一点，，垂足为.
(1)证明：；
(2)若，且三棱锥的体积为，求CH与平面BDM所成的角的余弦值.
【答案】(1)证明见详解.
(2)
【详解】（1）连接，为圆的直径，，
由为圆柱的母线，平面，
又平面，，
又平面，，
平面，
又平面，.
（2）过作，垂足为，由平面得，
又平面，，平面，
，得，
为弧的中点，由对称性不妨设在如图所示的一侧，
以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
设，
，，
又，
则，解得，
，
由（1）可知，又，平面，
平面，
则即为平面的法向量，
设CH与平面BDM所成的角为，
，
，
故CH与平面BDM所成的角的余弦值为.
变式2．（25-26高二上·上海·期末）如图，已知是正四棱柱，点是侧棱上的一点．
(1)证明：直线直线．
(2)若是中点，且直线与平面所成角的大小为，求二面角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）如图，连接，由题可得四边形为正方形，
则，又由题可得平面，因平面，
则.又因平面，，
则平面，结合平面，可得；
（2）如图建立空间直角坐标系，设.
则，
.
易得平面法向量为，由题可得与平面夹角满足：
.
则，
设平面法向量为，则，
取，则，，从而.
又平面法向量为，由图可得二面角的平面角为锐角，
则，因，则.
考点四 面面垂直的性质
例1．（25-26高二上·吉林长春·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，平面平面，，是的中点，点在侧棱上，

(1)求证：直线平面；
(2)求的值，使得平面与平面夹角的余弦值为.
【答案】(1)证明见解析
(2)或
【详解】（1）因底面是边长为2的菱形，且，则是等边三角形，
又因是的中点，则，因，则，
因平面平面，平面平面， 平面，
故直线平面.

（2）取的中点为，连，因，，则，且，
因平面平面，平面平面， 平面，
则平面，易得，且，则两两垂直，
故可以点为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系.
则，
因点在侧棱上，，则，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，故可取，
又因平面，故可取平面的一个法向量为，
由题意，
解得或，均符合题意.
例2．（2026·陕西西安·模拟预测）在矩形中，，，为的中点，将沿翻折至，使得平面平面，得到如图所示的四棱锥．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）
在矩形中，，，为的中点，
所以，所以，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
又平面，所以．
（2）取的中点，的中点，连接，则，所以平面，
由题可得，所以，所以两两垂直，
以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，．
设平面的一个法向量为，
则，取，得，，
所以．设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
变式1．（25-26高二上·河南郑州·期末）如图，在三棱柱中，是边长为的等边三角形，，，、分别是线段的中点，且平面平面.

(1)求证：平面；
(2)若点为线段上的动点（不包括端点），求平面与平面夹角的余弦值的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接，因为是边长为的等边三角形，是线段的中点，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
因为四边形为平行四边形，，
所以四边形为菱形，故，
因为、分别是线段、的中点，所以，则，
因为，、平面，所以平面.
（2）连接，因为，，所以为等边三角形，
因为是线段的中点，故，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、，
设，
，，
由（1）知，平面，故平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，取，则，
设平面与平面夹角的大小为，
则，
令，因为，所以，
则，
因为，所以，所以，
则，
故，
即平面与平面夹角的余弦值取值范围为．
变式2．（25-26高二上·浙江宁波·期末）如图，在三棱台中，平面平面，为的中点，．

(1)证明：；
(2)当三棱台的体积为时，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：取中点，连接．
由得，．
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
又因为平面，所以．
又，所以四边形是菱形，从而．
又，所以平面．
又平面，所以．
（2）取的中点，连接，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
所以三棱台的高．
设，则，，
从而，解得．
以为原点，直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图，
则 ，
设平面的法向量，
则即令，则，
设直线与平面所成角为，
则．
故直线与平面所成角的正弦值为．
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