统计与概率：传球问题、比赛问题、方案选择问题专项训练-2026届高考数学二轮复习

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(1)通过计算说明最初球在谁手里时，第二次传球后球在甲手中的概率最大；
(2)记传球次后球在甲手中的概率为；
①讨论在不同初始持球者的情况下，的表达式；
②已知初始持球者为甲，设，数列的前项和为，求的最值.
【答案】(1)乙
(2)①见解析，②的最小值为，最大值为
【详解】（1）若球最初在甲手里，第二次传球后球在甲手中的概率为
若球最初在乙手里，第二次传球后球在甲手中的概率为
若球最初在丙手里，第二次传球后球在甲手中的概率为
若球最初在丁手里，第二次传球后球在甲手中的概率为
（2）①记第次传球后，球在乙丙丁手中的概率分别为，
由，
由题意可得
观察式：由于故有，
，故为等比数列，且公比为，
故，
式中，
，
若最初球在乙手中，则，
，
若最初球在甲或者丙或者丁手中，则，
，
综上所述，若最初时球在甲、丙、丁手中，，
若最初时球在乙手中，，
②由①知：
，
当时，取到最小值，当时，取到最大值，
例2．（2026·安徽淮南·一模）甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人．设次传球后球在乙手中的概率为．
(1)求；
(2)求；
(3)求．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【详解】（1）记“经过次传球后，球在乙手中”，1，2，3，…，
当时，，
当时，．
（2）由
，即，
∴，
∴是首项为，公比为的等比数列，
∴，
∴．
（3）由（2）知，令．
所以，
从而，
将以上两式相减可得
，
所以．
所以．
例3．（25-26高三上·云南玉溪·开学考试）足球是一项大众喜爱的运动.卡塔尔世界杯揭幕战将在年月日打响，决赛定于月日晚进行，全程为期天．
(1)为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各名观众进行调查，得到列联表如下：
依据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关？
(2)校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第次触球者，第次触球者是甲的概率记为，即．
①求（直接写出结果即可）；
②证明：数列为等比数列，并判断第次与第次触球者是甲的概率的大小．
附：，．
【答案】(1)认为喜爱足球运动与性别有关
(2)① ；②证明见解析，第次触球者是甲的概率大
【详解】（1）假设：喜爱足球运动与性别独立，即喜爱足球运动与性别无关，，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为喜爱足球运动与性别有关，此推断犯错误的概率不超过.
（2）①由题意得：第二次触球者为乙，丙，丁中的一个，第二次触球者传给包括甲的三人中的一人，
故传给甲的概率为，故．
②第次触球者是甲的概率记为，
则当时，第次触球者是甲的概率为，第次触球者不是甲的概率为，
则，可得，
且，所以是以为首项，公比为的等比数列；
可得，所以，
则，，
所以第次触球者是甲的概率大.
变式1．（25-26高三上·广西河池·期末）某篮球教练带领、两名篮球运动员训练篮球的接球与传球.首先由教练第一次传球给、中的某位运动员，然后该运动员再传回给教练.每次教练接球后按下列规律传球：若教练上一次是传给某运动员，则这次有的概率再传给该运动员，有的概率传给另一位运动员.已知教练第一次传给了运动员，且教练第次传球传给运动员的概率为.
(1)若，
（ⅰ）求，；
（ⅱ）求的表达式.
(2)若.证明：
【答案】(1)（i）；；（ii）.
(2)证明见解析.
【详解】（1）（i），，.
（ii）由已知可得递推关系，
化简得：，设，解得，
所以，，
又因为，
是以为首项，为公比的等比数列，
，.
（2），，化简得：，
设，解得，
所以，
从而得到的表达式：，
因为，所以单调递减且大于零，
从而


变式2．（24-25高二下·湖北武汉·月考）教育部印发的《进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中提出，中小学校要保障学生每天校内､校外各1小时体育活动时间，每天统一安排30分钟的大课间体育活动.一学校某体育项目测试有的人满分，而该校有的学生每天运动时间超过两个小时，这些人体育项目测试满分率为.
(1)从该校随机抽取三人，三人中体育项目测试相互独立，求三人中满分人数的分布列和期望；
(2)现从每天运动时间不超过两个小时的学生中任意调查一名学生，求他体育项目测试满分的概率；
(3)体育测试前甲､乙､丙三人传球做热身训练，每次传球，传球者等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，第1次由甲将球传出，求第次传球后球在乙手中的概率.
【答案】(1)分布列见解析，；
(2)；
(3).
【详解】（1）该校随机抽取三人，每个人满分的概率为，设抽取的三人中满分人数为，
则，则
则的分布列为：
所以数学期望.
（2）用表示事件“抽到每天运动时间超过两个小时的学生”，则，
用表示事件“抽到体育项目测试满分的学生”，则，且，
又，
所以，故，
所以.
（3）记表示事件“经过次传球后，球在乙的手中”，
设次传球后球在乙手中的概率为，则有，
所以，
所以
，
即，
所以，且，
所以数列表示以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
即第次传球后球在乙手中的概率为.
变式3．（24-25高三下·山东菏泽·月考）在足球运动中，围圈传球是一个经典热身活动.，，，四个球员围成如图一个矩形，已知每个人传球给相邻球员的概率为，每个人传球给不相邻球员的概率为.例如：传球给，的概率为，传球给的概率为.热身由开始传球，记次传球后，球在，，，脚下的概率分别为，，，.
(1)求出，；
(2)证明：，是等比数列；
(3)试求出的通项公式.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）由题意可知，
；
（2）由题意可知有如下的等式，，
，，，
因此，注意到，所以，即；
又，
又，，
所以是首项为，公比为的等比数列；
（3）由（2）可知，
且有，，，
联立后可得，，，
消去，有，
故有，又，
所以，，
则，，，，
则，
又，所以.
考点二 比赛问题
例1．（25-26高三上·湖北武汉·期末）为了实施学生体质强健计划，某校组织学生在、、三个区域开展定点投篮比赛．某同学在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是，它们之间相互不影响．
(1)若规定该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮一次，求该同学投篮命中的概率；
(2)若规定该同学需要依次在、、三个不同区域各投篮一次，如果在、、三个区域全部投中，可获得6分；如果仅在两个区域投中，可获得3分；如果仅在一个区域投中，可获得1分；否则没有得分．求该同学得分的数学期望．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设“该同学投篮命中”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件，
因为该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮，所以，
已知在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是，
所以，，，
所以，
所以该同学投篮命中的概率为；
（2）由题意可知，得分的可能取值为，，，，
所以，
，
，
，
所以，
所以，该同学得分的数学期望为.
例2．（25-26高三上·广东深圳·月考）乒乓球作为我国的“国球”，一直以来都深受广大人民群众的喜爱．某学校高三年级将要举办乒乓球比赛，为更好备战，甲、乙、丙三位选手练习打乒乓球，每局均分胜负，第一局甲、乙对打，丙轮空，此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打，每局双方获胜的概率相同，每局的结果相互独立．
(1)求前五局中甲恰好参与了四局的概率；
(2)求第局为乙、丙对打的概率；
(3)若至多进行12局练习，且如果有选手先获得6局胜利则提前结束练习，记总共练习局数为，求的分布列与期望．
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析，
【详解】（1）记“前五局中甲恰好参与了四局”为事件，记某选手获胜为“√”，失利为“×”，轮空为“”，则前四局甲有以下四类情况为恰好参与了四局：
①，第五局一定参与，概率为；
②，第五局一定参与，概率为；
③，第五局一定参与，概率为；
④，第五局一定轮空，概率为；
故所求概率为．
（2）记第局有甲参与的概率为，则第局有甲参与的概率为，
若第局有甲参与，则第局有甲参与的概率为；
若第局没有甲参与，则第局一定有甲参与，所以
即，因为，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即，
所以第局乙、丙对打，即没有甲参与的概率为．
（3）依题意，记为总共练习局数，则可取
因为除第一局之外，任何选手轮空之前必为失利，获胜之后必不轮空，即“”在一名选手对局结果中会相邻出现（除第一局为“”和最后一局为“”之外），
则丙不会在第6，8，10局结束之后刚好胜满6局（因为丙第一局为“”，最后一局需要丙自己获胜，则前面的对局过程必会有数对的相邻“”），
同理甲、乙不会在第7，9，11局结束之后刚好胜满6局，且前11局至多只会有1人胜满6局．
故时是以甲或乙获胜结束（甲、乙情况相同），
（最后一局甲胜，前7局甲有连续两局为“”，且“”当局概率为1，其余均为“√”），
同理，
时是以丙获胜结束，
同理，
所以，故的分布列如下：
期望为．
例3．（25-26高二上·江西鹰潭·期末）某校高三年级拟派出甲、乙、丙三人去参加校运动会100m跑项目.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为和，其中
(1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；
(2)若甲、乙、丙三人均未进入决赛的概率为，设进入决赛的人数为，求的分布列.
【答案】(1)甲；
(2)分布列见解析.
【详解】（1）甲进入决赛的概率为，
乙进入决赛的概率为，
丙进入决赛的概率为，而，则，
所以甲进入决赛的可能性最大.
（2）甲、乙、丙三人均未进入决赛的概率，
整理可得，解得或，而，所以.
则，
所以甲、乙、丙进入决赛的概率分别为，
随机变量的可能取值有0，1，2，3，
所以，
，
，
，
所以随机变量的分布列为：
变式1．（2026·湖南岳阳·一模）甲，乙两位同学进行羽毛球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛无平局且各局比赛的结果互不影响.
(1)若两人比赛三局，求甲至少胜两局的概率；
(2)若比赛采用五局三胜制（即先胜三局的一方获胜，比赛随即结束），设比赛结束时共进行了局，求的分布列与数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【详解】（1）设事件为甲至少胜两局，则
故三局比赛中甲至少胜两局概率为；
（2）依题意，可取3，4，5，
，
，
故的分布列为：
.
变式2．（25-26高二上·河南南阳·期末）甲、乙、丙、丁4名选手进行羽毛球比赛，比赛规则如下：比赛共分为四轮，第一轮，甲、丙比赛，乙、丁比赛；第二轮，第一轮中的两名胜者进行比赛，两名负者进行比赛；第三轮，第二轮胜者组的胜者直接晋级第四轮，第二轮胜者组的负者与第二轮负者组的胜者进行比赛；第四轮，由第三轮的胜者与第二轮胜者组的胜者进行比赛，最终的胜者获得比赛的冠军．已知甲、乙的水平相当（两人比赛，每人获胜的概率均为），丙、丁的水平相当，且甲胜丙、甲胜丁、乙胜丙、乙胜丁的概率都是，任意两人之间的比赛均无平局．
(1)求甲不参加第三轮比赛的概率；
(2)求甲、乙进行第四轮比赛的概率；
(3)求甲获得冠军的概率．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）甲不参加第三轮比赛的情况有以下两种：
第一种，甲第一轮和第二轮比赛均获胜，其概率为
第二种，甲第一轮和第二轮比赛均不胜，其概率为
故甲不参加第三轮比赛的概率为．
（2）甲、乙进行第四轮比赛的情况有以下两种：
第一种，甲、乙在第四轮比赛前相遇，其概率为；
第二种，甲、乙在第四轮比赛前不相遇，其概率为．
故甲、乙进行第四轮比赛的概率为．
（3）甲获得冠军的情况有以下三种：
第一种，甲、乙进行第四轮比赛，由（2）可知其概率为；
第二种，甲、丙进行第四轮比赛，其概率为；
第三种，甲、丁进行第四轮比赛，其概率为
．
故甲获得冠军的概率为．
变式3．（25-26高二上·江西景德镇·期末）育才中学为普及法治理论知识，举办了一次法治理论知识闯关比赛.比赛规定：三人组队参赛，按顺序依次闯关，无论成败，每位队员只闯关一次.如果某位队员闯关失败，则由该队下一队员继续闯关，如果该队员闯关成功，则视作该队获胜，余下的队员无需继续闯关；若三位队员闯关均不成功，则视为该队比赛失败.比赛结束后，根据积分获取排名，每支获胜的队伍积分与派出的闯关人数的关系如下：，比赛失败的队伍则积分为0.现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为，，，且每人能否闯关成功互不影响.
(1)已知，，
（ⅰ）若按甲、乙、丙的顺序依次参赛，求该队比赛结束后所获积分的期望；
（ⅱ）若第一次闯关从三人中随机抽取，求该队比赛结束后所获积分的概率.
(2)若，甲安排在第一位参赛，应如何安排乙、丙的参赛顺序使该队比赛结束后所获积分的期望最大，说明理由.
【答案】(1)（ⅰ）15；（ⅱ）
(2)乙在丙前，理由见解析
【详解】（1）（ⅰ）依题意的可能取值为，，，，
则，
，
，.
所以；
（ⅱ）第一次闯关从三人中随机抽取，每个人被抽取到的概率都是，且必须闯关成功，
所以该队比赛结束后所获积分的概率为.
（2）若顺序为“甲乙丙”：积分的可能取值为，，，，
则，，
，.
所以
若顺序为“甲丙乙”：积分的可能取值为，，，，
则，，
，.
所以
，
由于，，所以，，
所以乙在丙前参赛.
考点三 方案选择问题
例1．（25-26高二上·黑龙江·期末）2025年12月10日和11日，中央经济工作会议在北京召开.会议提出“坚持内需主导，建设强大国内市场”.为响应国家促进国内消费的政策，某大型商场在“双12”举办了“让利于民”的优惠活动，顾客消费每满500元可抽奖一次，抽奖方案有以下两种（顾客只能选择其中的一种）.
方案1：从装有4个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球.每摸出1次红球，优惠100元，若3次都摸到红球，则额外再优惠100元（即总共优惠400元）；
方案2：从装有4个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球.中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则享受打5折优惠；其余情况无优惠.
(1)已知顾客选择抽奖方案2，若他第一次摸出的球为红球，求他能够享受优惠的概率；
(2)已知顾客恰好消费了500元，
（i）若他选择抽奖方案1，求顾客所获得的优惠金额的分布列和期望（结果精确到整数位）；
（ii）试从顾客所获得的优惠金额的期望值分析顾客选择何种抽奖方案更合理.
【答案】(1)
(2)（i）分布列见解析，190；（ii）顾客选择抽奖方案1更合理
【详解】（1）设事件表示“第一次摸到红球”，事件表示“能够享受优惠”，
在第一次摸到红球后，抽奖盒中还剩3个红球和3个蓝球，共6个球，
若享受优惠，则后两次摸出2个红球或摸出1个红球1个蓝球，
从6个球中不放回地摸2个球，总情况有种，
摸出两个红球的情况有种，摸出1红1蓝的情况有种，
所以，即能够享受优惠的概率为.
（2）（i）设顾客选择抽奖方案1时，顾客所获得的优惠金额为元，
的取值有，，，，
从装有4个红球，3个蓝球的抽奖盒中摸一个球，摸到红球的概率为，摸到蓝球的概率为，
当摸出0个红球时，，
当摸出1个红球时，，
当摸出2个红球时，，
当摸出3个红球时，.
所以顾客所获得的优惠金额的分布列为
所以选择方案1时，顾客所获得的优惠金额的期望为
.
（ii）设顾客选择抽奖方案2时所获得的优惠金额为元，
的取值有，，，
当摸出0个红球或1个红球时，，
当摸出2个红球时，，
当摸出3个红球时，，
所以顾客所获得的优惠金额的分布列为
所以，
所以，
所以从获得优惠金额的期望值分析，顾客选择抽奖方案1更合理.
例2．（25-26高二上·四川德阳·期末）为进一步推进农村经济结构调整，某村推出乡村文化旅游项目，在水果成熟之际举办“水果观光采摘节”活动.现统计了4月份200名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)试估计消费金额的84%分位数.
(2)若将消费金额不低于80元的游客称为“水果达人”，现用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，再从5人中抽取2人作为幸运客户免费参加乡村旅游项目，求2人中至少有1人消费金额不低于100元的概率.
(3)为吸引顾客，该村特推出两种促销方案.
方案一：每满80元可减8元；
方案二：金额超过50元但又不超过80元的部分打9折，金额超过80元但又不超过100元的部分打8折，金额超过100元的部分打7折.
若水果的价格为11元/千克，某游客要购买10千克水果，应该选择哪种方案更优惠.
【答案】(1)92
(2)
(3)方案二更优惠
【详解】（1）先计算各区间的频率：
：频率为；：频率为；
：频率为；：频率为；
：频率为；：频率为.
因为，.
所以消费金额的分位数位于之间.
由.
所以消费金额的分位数为.
（2）5名“水果达人”中，消费不低于100元的人数为：（人），
从5名“水果达人”中随机抽取2人的抽法有种，
至少有1人消费不低于100元的抽法有：种，
设事件：2人中至少有1人消费金额不低于100元，则.
（3）游客按方案一，购买10千克水果，需花费：元；
按方案二，购买10千克水果，需花费：元.
所以游客应该选择方案二更优惠.
例3．（25-26高三上·浙江金华·期末）某公司研发了一种新产品，现有两个销售方案，方案一：所有产品以同一价格进入市场，则每件获利8元；方案二：每件产品上市前需要依次进行A，B，C三项测试，前一项测试通过后方能进行下一项测试，每项测试通过的概率分别为0.9，0.8，0.5．A，B，C三项测试均通过的产品为一等品，通过和两项测试但未通过C项测试的产品为二等品，其余产品为三等品．每件一等品获利10元，每件二等品获利8元，每件三等品获利6元．
(1)求出方案二中某件产品为三等品的概率；
(2)使用哪个方案时，每件产品的获利均值更高？请说明你的理由.
【答案】(1)0.28
(2)方案二，理由见解析
【详解】（1）对于方案二，设事件为“项测试通过”，事件为“项测试通过”，事件为“项测试通过”，事件为“测试产品为一等品”，事件为“测试产品为二等品”，事件为“测试产品为三等品”，
则.
（2）记方案一和方案二中每件产品的获利分别为元和元，显然有，
而方案二中，
则的分布列如下表：
所以
因为，
所以使用方案二时，每件产品的获利均值更高.
变式1．（2025·广东佛山·模拟预测）向日葵是菊科向日葵属的一年生草本植物．因花序随太阳转动而得名，深受人们喜欢，某向日葵基地为促进该基地旅游业发展，特邀请一文旅公司制作文旅创收方案．
(1)公司调查发现该基地成熟向日葵花盘直径（单位：cm）近似服从正态分布．试估计一游客在该基地任摘一颗成熟向日葵，其花盘直径在的概率；
(2)该公司特设置一游戏，根据游戏结果对游客全程所有消费进行打折，该游戏有两种方案，游客在这两种方案中任选一种参加游戏．方案一：不透明袋子里装有2个红球，4个白球，顾客从中一次性摸出3个球，若摸出2个红球1个白球获得“六折优惠”，若摸出1个红球2个白球获得“八折优惠”，若摸出3个白球不优惠．方案二：如图游客开始站在①位置，游客每掷一次骰子，就沿顺时针方向移动一次．若掷出正面朝上数字为奇数，游客就向前移动1格；若掷出正面朝上数字为偶数，游客就向前移动2格．游客重复掷骰子直到游客第一次到达⑨位置获得“九折优惠”或第2次到达①位置获得“七点五折优惠”游戏结束．若想要获得最大优惠，游客应选哪个方案？说明理由．
参考数据：若，则．．
【答案】(1)0．8186．
(2)方案一，理由见解析
【详解】（1），则，，结合正态分布的性质：和
．
即一游客在该基地任摘一颗成熟向日葵，其花盘直径在的概率为0．8186．
（2）设方案一的折扣为，则可以取，，，
，，，
．
设方案二的折扣为，则可以取，，
用，表示游客首次在第位置的概率，
则，，．
由题知，游客到达，位置，只有两种途径，
一种是从位置，掷到偶数，其概率为，
另一种是从位置，掷到奇数，其概率为，
，，．
当时，数列是以为首项，为公比的等比数列．
，，，，，
又，
，，
，，且
，．
第二次到达①位置的概率．
．
，若想要获得最大优惠，游客应选方案一．
变式2．（24-25高二下·重庆渝中·月考）某医院用a，b两种疗法治疗某种疾病，采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到了如下数据：
(1)根据小概率值的独立性检验，分析b种疗法的效果是否比a种疗法效果好；
(2)为提高临床医疗安全性，提高疾病的治愈率及好转率，同时降低医疗费用，降低患者医疗负担.该医院对于a，b两种疗法进行联合改进，研究了甲、乙两种联合治疗方案，现有6位症状相同的确诊患者，平均分成A，B两组，A组用甲方案，B组用乙方案.一个疗程后，A组中每人康复的概率都为，B组3人康复的概率分别为，，.若一个疗程后，每康复1人积2分，假设认定：积分期望值越高疗法越好，请问甲、乙哪种联合治疗方案更好？
参考公式及数据：
，，.
【答案】(1)认为两种疗法效果没有差异
(2)乙种联合治疗方案更好.
【详解】（1）零假设为：a疗法与b疗法独立，即两种疗法效果没有差异，
根据列联表中数据，经过计算得到，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为两种疗法效果没有差异.
（2）设A组中用甲方案治疗康复的人数为，则，
所以，
设A组的积分为，则，
所以.
设B组中用乙方案治疗康复的人数为，
则的可能取值为：0，1，2，3，
，
，
，
，
故的分布列为：
所以，
设B组的积分为，则，所以.
因为5.5＞4，所以乙种联合治疗方案更好.
变式3．（25-26高二上·广西北海·期末）国庆长假期间，某小型景区对游客开展抽奖免门票活动.活动规则如下：盒子里有5个一模一样的小球，只有1个小球上写着免门票.游客从盒子里摸出1个小球，若该小球上写有免门票，则景区免掉该游客的门票.然后游客把球放回盒子，等待下一位游客抽奖.
(1)小王家一共有4口人来到该景区旅游，记这4人中免门票的人数为，求随机变量的分布列、数学期望和方差；
(2)现往盒子中再放入3个球，其中有1个写着免门票，当小王选好1个小球后（此时小王还不知道小球上是否写着免门票），景区工作人员（他知道小球上是否写着免门票）会执行如下不同方案操作：
方案一：若小王保留第一次选择的球，则直接判定是否免门票；
方案二：若小王放弃初始选择的球，则工作人员先从盒子里拿出2个没有写免门票的球和1个写免门票的球，再让小王从剩余4个球中抽取1个球来判定是否免门票；
方案三：若小王放弃初始选择的球，则工作人员先从盒子里拿出1个没有写免门票的球，并将小王初始选择的球放回盒中，再让小王从盒中的7个球中抽取1个来判定是否免门票.
请问小王按哪种方案摸球更容易免门票？请说明理由.
【答案】(1)分布列见解析；数学期望；方差.
(2)方案三，理由见解析；
【详解】（1）因为4人相当于做了4次独立重复试验，每个人中奖的概率为；
又记这4人中免门票的人数为，所以随机变量服从二项分布，即；
可知，
；；
，；
因此随机变量的分布列为：
利用二项分布的期望和方差公式可得数学期望；方差.
（2）依题意，可知再往盒子中再放入3个球，其中有1个写着免门票可知现在盒中共有8个球，其中2个写有免门票，
因此可知若采用方案一：若小王保留第一次选择的球，
则其免门票的概率为；
若采用方案二，有以下两种情况：
情况一：
若小王初始选择的球为免门票的，其概率为；
若工作人员从盒子里拿出2个没有写免门票的球和1个写免门票的球，此时剩余4个球中全部是没有写免门票的球，
再让小王从剩余4个球中抽取1个球来判定是否免门票，则其抽到免门票球的概率为0；
情况二：
若小王初始选择的球不是免门票的，其概率为；
若工作人员从盒子里拿出2个没有写免门票的球和1个写免门票的球，此时剩余4个球中有3个是没有写免门票的球，1个写免门票的球，
再让小王从剩余4个球中抽取1个球来判定是否免门票，则其抽到免门票球的概率为；
所以采取方案二小王抽到免门票球的概率为；
若采用方案三，无论小王初始选择的球是否为免门票球，
当工作人员从盒中拿出1个没有写免门票的球，并将小王初始选择的球放回后，盒中都变为7个球，其中有2个写有免门票的球。
因此，小王再从中抽取1个球，抽到免门票球的概率为
显然易知，
所以小王按方案三摸球更容易免门票.考点目录
传球问题
比赛问题
方案选择问题
接球者
传球者
甲
乙
丙
丁
甲
乙
丙
丁
喜爱足球运动
不喜爱足球运动
合计
男性
女性
合计
X
0
1
2
3
P
6
7
8
9
10
11
12
0
1
2
3
3
4
5
0
100
200
400
0
250
500
10
8
6
0.36
0.36
0.28
未治愈
治愈
合计
疗法a
15
52
67
疗法b
6
63
69
合计
21
115
136
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
0
1
2
3
P
0
1
2
3
4