统计与概率：传球问题、方案选择问题专项训练-2026届高考数学二轮复习

这是一份统计与概率：传球问题、方案选择问题专项训练-2026届高考数学二轮复习，共14页。
(1)若四人进行了4次传球，求教练甲接球次数的分布列、数学期望；
(2)设表示经过次传球后篮球在手中的概率，求．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【详解】（1）设教练甲接球次数为，可取，
球在学员手中，传给教练甲的概率为，传给其他学员的概率为，
，
，
分布列为：
数学期望；
（2）设表示经过次传球后篮球在教练甲手中的概率，
，
且，
即，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
，即，
又传给学员的概率相等，
．
例2．（2025·宁夏石嘴山·三模）某学校排球社团为了解性别、身高等因素是否对学生喜欢排球有影响，随机调查了该校男、女生共100名，其中部分数据如下：
(1)经计算，样本中女生身高的平均数和方差分别为168和48，男生的身高平均数和方差分别为178和30，根据以上信息，试估计该校全体学生身高的平均数和方差；
(2)在某次社团活动中，甲、乙、丙这三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.记次传球后球在甲手中的概率为.
（i）求；
（ii）若随机变量服从两点分布，且，则.记前次（即从第1次到第次）传球中球在甲手中的次数为随机变量，求的数学期望，并比较前次传球中球分别在甲、乙、丙三人手中的次数的数学期望的大小.
【答案】(1)平均数172，方差64.8；
(2)（i）；（ii）.
【详解】（1）样本平均数；
样本方差为.
（2）（i）依题意，，则，
又，因此数列是以为首项，为公比的等比数列，，
所以.
（ii）由（i）知，
则当时，
，
记次传球后球在乙手中的概率为，前次传球中球在乙、丙手中的次数分别为随机变量，
则，，而，
数列是以为首项，为公比的等比数列，，即，
，
同理，因此，
又，
所以.
例3．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）DM训练机器人玩传球游戏，现有编号为的位球员围成一个圆，机器人DM居于圆心位置，传球规则如下：球由DM传给球员，任何球员接球都直接传回DM为一次传球．DM传球给目标球员顺序依次为1→2→3→…→．每次传球时，DM只从尚未接球的球员中随机选择一人，若选中当前目标球员（如当前应传至号，则为目标球员），则传球成功且之后不再给该球员传球，目标球员更新为号；若选中非目标球员，则传球失败，球传回DM，DM记下该球员编号，并在其成为目标球员时直接传球给该球员，且在其成为目标球员前不会再给该球员传球；传球无论成功与否均计为1次传球，直到第号球员接球后传回机器人DM游戏终止．
(1)当时，
（i）求DM第3次恰好成功完成给2号球员传球的概率；
（ii）设为完成全部传球所需总次数，求的分布列及数学期望；
(2)设为完成全部传球所需总次数，若，证明：．
【答案】(1)（i）；（ii）的分布列为
数学期望.
(2)证明见详解
【详解】（1）（i）设事件A为＂第3次恰好成功完成给2号球员传球＂，
情况一：第1次传球成功（传给1号），第2次失败，第3次成功（传给2号），
概率为，
情况二：第1次传球失败，第2次成功（传给1号），第3次成功（传给2号），
①：第1次传球选中的是2号，则第3次对2号是直接传球，
概率为，
②：第1次传球选中的非2号球员（号之一），则第3次对2号是随机选择成功，概率为，
综上，.
（ii）可能的取值为，
，
当时，2到5号球员恰好全部在1号成功之前误传，
则，
当时，只有1位球员在所有比他小的球员传球时误传，，
当时，有3次误传，，
，
故的分布列为
数学期望.
（2）记为第号球员接球的次数，则，
时，将抽取球员的编号理解为一个数列：，
表示第一次选错了2，第二次选对了1，第三次由于此时目标为2，直接给2，
不难发现，若，将各元素第一次出现的相对次序记为一个数列，如，
则必在出现之后再出现，
相当于计算在最后一位的情况占排列的比例，
则，，,
.
对任意，有，
下面证明该不等式成立，设，，
则在上恒成立，
则在上单调递减，则，
即在恒成立，
令，则：，
则，
则.
变式1．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期末）为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据：
(1)依据的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
(2)为了提高学生体育锻炼的积极性，该中学设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动.在该活动的某次排球训练课上，甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，甲传给乙和丙的概率分别为和，乙传给甲和丙的概率分别为和，丙传给甲和乙的概率分别为和.求第次传球后球在乙手中的概率；
(3)记第次传球时，乙接到球的次数为，则服从两点分布，且，设前次传球后，乙接到球的总次数为，且总成立，求实数的最小值.
附：
【答案】(1)认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系
(2)
(3)
【详解】（1）零假设：学生性别与体育锻炼的经常性无关，则
，
故依据的独立性检验，可以认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
（2）设次传球后球在乙手中的概率为，
则第次传球后球不在乙手中的概率为，
所以，
所以，其中，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
故，
故第次传球后球在乙手中的概率为；
（3）由（2）知，
故
，
所以，
又总成立，设，只需要，
当最大时，必定为奇数，而随奇数的增大而减小，
故当时，最大值，
所以，故实数的最小值为.
变式2．（24-25高二下·浙江·期中）已知某篮球队有五名队员，其中甲是主要得分手，乙是组织后卫.如果球在乙手中，则他传球给甲的概率为，传球给其他队员的概率均为；如果球不在乙手中，则这名队员传球给任何队友的概率都是.开始进攻时，球在乙手中.
(1)求经过2次传球并由甲执行投篮的条件下，球有经过丙之手的概率；
(2)经过次传球后，球回到乙手中的概率；
(3)记经过次传球后，球到甲的手中的概率为，求证：满足的的个数不少于满足的的个数.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）记事件“经过2次传球并由甲执行投篮”，“球有经过丙之手”，则
.
（2）记事件“传球后球回到乙手中”，，则，
，
即，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
，即.
（3）事件“传球后球到甲手中”，事件“传球后球不在甲和乙手中”
则，
，
，两边同时乘以，
，
设，则有，而，
叠加得，
，
显然，当为奇数时，，当为偶数时，，
因此的的个数不少于满足的的个数.
解法二：，
假设结论不成立，则至少有两个连续的自然数，，使得且.
若为偶数，且则有：
，
若为奇数，且，则有
，
，.如此连续，
故不存在连续的两个自然数，，使得且.
变式3．（24-25高三上·吉林白城·月考）传球是排球运动中最基本､最重要的一项技术．传球是由准备姿势､迎球､击球､手型､用力5个动作部分组成．其中较难掌握的是触球时的手型，因为触球时手型正确与否直接影响手控制球的能力和传球的准确性，对初学者来说掌握了正确手型才能保证正确击球点和较好的运用手指，手腕的弹力．从小张､小胡､小郭､小李､小陈这5人中随机地抽取三个人去做传球训练．训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．
(1)记小胡､小李､小陈这三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列；
(2)若刚好抽到小胡､小李､小陈三个人相互做传球训练，且第1次由小胡将球传出，记次传球后球在小胡手中的概率为．
①直接写出的值；
②求与的关系式，并求．
【答案】(1)分布列见解析
(2)①；②；
【详解】（1）的所有可能取值为，
所以，
所以的分布列为
（2）①由题意知，．
②记表示事件“经过次传球后，球在小胡手中”，，
所以
即
所以，且，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
即次传球后球在小胡手中的概率是．
考点二 方案选择问题
例1．（25-26高三上·山东菏泽·月考）某科技公司计划推出一款基于大模型的智能客服系统，需从“自研大模型方案”和“采购第三方大模型方案”中选择最优方案，系统收益受用户满意度影响，而满意度与大模型的“推理准确性”有关；当推理准确性高时，用户“高满意”、“中满意”、“低满意”的概率分别为0.7，0.2，0.1；当推理准确性低时，用户“高满意”、“中满意”、“低满意”的概率分别为0.2，0.3，0.5．根据测试数据，该公司自研大模型方案准确性高的概率为0.6，采购第三方大模型方案准确性高的概率为0.4（两方案的准确性概率独立，仅用于各自场景的计算）．两种方案的收益（单位：万元，含研发、采购成本）如表．
(1)分别计算两种方案用户“高满意”，“中满意”、“低满意”的概率；
(2)分别计算两种方案的期望收益；
(3)根据期望收益，该公司应选择哪种方案？并说明理由．
【答案】(1)答案见解析；
(2)自研方案、采购方案的期望收益分别为万元、万元；
(3)自研方案，理由见解析.
【详解】（1）若事件分别表示“高满意”、“中满意”、“低满意”，
对于自研方案“准确性高”为事件，准确性高的概率为，则准确性低的概率为，
由题意，，
该方案“高满意”的概率为，
“中满意”的概率为，
“低满意”的概率为；
对于采购方案“准确性高”为事件，准确性高的概率为，则准确性低的概率为，
由题意，，
该方案“高满意”的概率为，
“中满意”的概率为，
“低满意”的概率为；
（2）由题设及（1），自研方案期望收益为万元，
采购方案期望收益为万元；
（3）选择自研方案，理由如下：
由（2）所得的期望知，故该公司应选择自研方案.
例2．（25-26高三上·北京海淀·期末）某科技公司统计了过去连续30个月两个小组每月所需专用服务器台数，获得数据如下表：
为了更好地支持自主研发，该公司计划给小组长期租赁台专用服务器，给小组长期租赁台专用服务器.
假设两个小组每月所需专用服务器台数相互独立，用频率估计概率.
(1)估计小组某个月所需专用服务器不超过14台的概率；
(2)若，在未来的某个月，为满足小组的需求，该公司还需要为小组临时租赁台专用服务器.特别地，当该月不需要为小组临时租赁专用服务器时，记.估计的数学期望；
(3)经公司讨论，有以下三种备选租赁方案：
方案一：，；
方案二：，；
方案三：，.
在未来的某个月，为满足这两个小组各自的需求，一共还需要临时租赁台专用服务器，特别地，当该月不需要临时租赁专用服务器时，记.在上述三种方案中，的数学期望估计值最小的方案是哪种？（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)
(3)方案三的数学期望最小
【详解】（1）根据题中数据，在30个月的数据中，
小组所需专用服务器不超过14台的月数为，
故小组某个月所需专用服务器不超过14台的概率可估计为；
（2）由题意知，当时，随机变量的所有可能取值集合为，
根据题中数据，由（1）知可估计为，
可估计为，
可估计为，
可估计为，
因为，
所以可估计为；
（3）方案三的数学期望最小.
提示：对于小组，当时，由（2）知；
当时，，所以；
当时，，所以.
对于小组，当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以.
综上，方案一：，，此时；
方案二：，，此时；
方案三：，，此时.
因为，所以方案三的数学期望最小.
例3．（25-26高三上·重庆九龙坡·期中）中国的航天事业历经数十年的发展，已经形成了完整的航天技术体系，涵盖运载火箭、 载人航天、深空探测等多个领域． 某学校为了解学生对航天工程的关注情况，随机从该校学生中抽取男生和女生各 100 人进行调查， 调查结果如下表：
(1)根据小概率值 的独立性检验，能否认为该校学生对航天工程的关注情况与性别有关？
(2)为了激发同学们对航天工程的关注，该校举办了一次航天知识闯关比赛，比赛有两个答题方案可供选择：
方案一：回答4个问题，至少答对3个问题才能晋级；
方案二：在4个问题中随机选择2个问题作答，都答对才能晋级．
已知该校学生甲答对这4个问题的概率分别为，学生甲回答这4个问题正确与否相互独立，则学生甲选择哪种方案晋级的可能性更大？ 请说明理由． 参考公式及参考数据：
【答案】(1)能有的把握认为该校学生对航天工程的关注与性别有关
(2)学生甲选择方案一晋级的可能性更大
【详解】（1）零假设：设认为该校学生对航天工程的关注与性别无关，
根据列联表可得：
，
能有的把握认为该校学生对航天工程的关注与性别有关．
（2）记这4个问题为，，，，学生甲答对，，，的事件分别记为，，，，
分别记按方案一、二晋级的概率为，，
则
，
，
因为，学生甲选择方案一晋级的可能性更大．
例4．（25-26高三上·山东·开学考试）电视台组织有奖答题活动，指定了三道题目，选手有两种答题方案可选.
方案一：回答这三道题目，至少有两道答对则获得奖金；
方案二：在三道题中，随机选两道，这两道题都答对则获得奖金.
假设小明对三道指定题目答对的概率分别为（均不为1），且三道题目是否答对相互之间没有影响.
(1)分别求小明选择方案一和方案二时获得奖金的概率；
(2)要想使获得奖金的可能性更大，小明应选择哪种答题方案?请根据数据计算说明.
【答案】(1)答案见解析；
(2)选择第一种答题方案.
【详解】（1）设小明选择方案一获得奖金的概率为，
则，
设小明选择方案二获得奖金的概率为，
则，
（2）由
，
因为，所以，
即，
则，
故小明应选择第一种答题方案.
变式1．（24-25高三上·陕西商洛·期末）已知某公司生产某产品采用两种不同的方案，每种方案均有两道加工工序，每道工序的加工结果相互独立，且只有每道加工工序都合格，该产品才为合格品，若某道加工工序不合格，则该产品为不合格品，即刻停止加工．已知方案一每道加工工序合格的概率均为，方案二第一、二道加工工序合格的概率分别为，．该产品只有合格品才能出厂销售．已知每件产品未加工之前的成本为10元．
(1)若分别用方案一与方案二各自生产一件该产品，求生产的两件产品中只有一件产品为合格品的概率．
(2)已知方案一每件产品每道工序的加工成本为20元，售价为120元；方案二每件产品的第一、二道工序的加工成本分别为10元，30元，售价为120元，若以每件产品获利的数学期望为决策依据，请判断该公司应采用哪种方案进行加工生产．
【答案】(1)
(2)该公司应采用方案二进行加工生产．
【详解】（1）采用方案一生产的产品为合格品的概率为；
采用方案二生产的产品为合格品的概率为．
故生产的两件产品中只有一件产品为合格品的概率．
（2）用表示方案一每件产品的利润，则的所有可能取值为，
，
所以的分布列为
则．
用表示方案二每件产品的利润，则的所有可能取值为，，70，
，
则的分布列为
则．
因为，所以该公司应采用方案二进行加工生产．
变式2．（2025·江苏南通·模拟预测）人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率），再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验.经过多次试验，直到摸出红球，则试验结束.
(1)求首次试验结束的概率；
(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整.
（i）求选到的袋子为甲袋的概率；
（ii）将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有两种方案.方案①：从原来袋子中摸球；方案②：从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）方案②中取到红球的概率更大
【详解】（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，
“试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件.
，
所以试验一次结果为红球的概率为.
（2）（i）因为，是对立事件，，
所以，
所以选到的袋子为甲袋的概率为.
（ii）由（i）得，
所以方案①中取到红球的概率为：.
方案②中取到红球的概率为：.
因为，所以方案②中取到红球的概率更大.
变式3．（2025·四川成都·三模）某绿色水果生态园在某种水果收获时随机摘下该水果100个作为样本，其质量（单位：克）分别在中，经统计，样本的频率分布直方图如图所示.注：水果质量在内的水果为优质水果，频率作为概率.
(1)某经销商来收购水果时，要求生态园的水果至少有的水果质量达280克及以上，请由样本的频率分布直方图说朋生态园的水果是否符合经销商的要求？
(2)为了提高水果的优质率，现提出两种不同的改进方案进行试验.若按方案进行试验后，从果园中随机抽取15个水果，非优质水果个数的期望是2；若按方案进行试验后，从果园中随机抽取25个水果，非优质水果个数的期望是4.请通过比较两种方案的非优质率来选择改进方案.
【答案】(1)符合
(2)方案
【详解】（1）由，解得.
因为，，
所以第60百分位数落在区间，
则第60百分位数为，即生态园的水果符合经销商的要求.
（2）设按方案进行试验后，随机抽取1个水果是非优质水果的概率是，则随机抽取15个水果，非优质水果个数，则，所以.
设按方案进行试验后，随机抽取1个水果是非优质水果的概率是，则随机抽取25个水果，非优质水果个数，则，所以.
因为，所以应选择方案.
变式4．（2025·上海徐汇·模拟预测）某企业招聘员工，指定“英语听说”､“信息技术”､“逻辑推理”作为三门考试课程，有两种考试方案.
方案一：参加三门课程的考试，至少有两门及格为通过；
方案二：在三门课程中，随机选取两门，并参加这两门课程的考试，两门都及格为通过.
假设某应聘者参加三门指定课程考试及格的概率分别是，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.
(1)分别求该应聘者选方案一考试通过的概率和选方案二考试通过的概率；
(2)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小，并说明理由.
【答案】(1)；
(2)，理由见解析
【详解】（1）记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为，
则.
应聘者选方案一考试通过的概率
应聘者选方案二考试通过的概率
（2）
，
因为，所以,即.
故，即选方案一，该应聘者考试通过的概率较大.考点目录
传球问题
方案选择问题
0
1
2
性别
排球
喜欢
不喜欢
女生
30
30
男生
30
10
5
6
7
8
9
5
6
7
8
9
性别
锻炼
不经常
经常
女生
40
60
男生
20
80
0.010
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
1
2
3
用户满意度
自研方案收益
采购方案收益
高满意
120
80
中满意
50
40
低满意
小组所需专用服务器台数
11
12
13
14
15
16
17
月数
1
1
2
3
18
4
1
B小组所需专用服务器台数
6
8
10
12
14
16
18
月数
1
2
6
11
6
2
2
关注
不关注
合计
男生
75
25
100
女生
55
45
100
合计
130
70
200
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
70
P
70
P