6.2 等比数列（精练）-2024年高考数学一轮复习一隅三反系列（新高考）

这是一份6.2 等比数列（精练）-2024年高考数学一轮复习一隅三反系列（新高考），文件包含62等比数列精练原卷版docx、62等比数列精练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
A．8B．7C．6D．4
【答案】B
【解析】因为且， 由数列为等比数列，可得，
又由，所以.故选：B.
2．（2023春·江西南昌）已知1，a，b，c，5五个数成等比数列，则b的值为
A．B．C．D．3
【答案】A
【解析】因为1，a，b，c，5五个数成等比数列，所以也成等比数列，
等比数列奇数项的符号一致，，.故选A.
3．（2023春·上海普陀）已知，，，四个实数成等差数列，4，，1三个正实数成等比数列，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，，，四个实数所成等差数列的公差为，
则由题意可得，又为正实数，故.故选：A
4．（2023春·云南）已知为等比数列，若、是方程的两根，则（ ）.
A．B．C．D．以上都不对
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为，则，，则、、同号，
、是方程的两根，，，
和均为负数，由等比数列的性质可得，又、同号，.故选：C.
5．（2023春·山东德州）已知为等比数列的前n项和，，，则的值为（ ）
A．85B．64C．84D．21
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为，由题意可知，，得，
，所以.故选：A
6．（2023春·湖北）已知等比数列的前项和为，且，若，，则（ ）
A．27B．45C．65D．73
【答案】C
【解析】由等比数列前项和的性质可得，，，成等比数列，
所以有，即，
整理可得，解得（舍）或.
又因为，所以有，解得.
7．（2023春·江西）等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若a1+a2+a3＝2，S6＝9S3，则S9＝（ ）
A．50B．100C．146D．128
【答案】C
【解析】根据题意：S3＝a1+a2+a3＝2，S6＝9S3＝18，则S6﹣S3＝18﹣2＝16，
根据等比数列的性质可知，S3，S6﹣S3，S9﹣S6构成等比数列，故，即S9﹣S6＝128，
故S9＝S6+128＝146，故选：C．
8．（2023·全国·高三专题练习）数列中，，对任意 ，若，则 （ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解析】在等式中，令，可得，，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
，
，则，解得.故选：C.
9．（2023春·北京）已知数列是公比为正数的等比数列，是其前n项和，，，则（ ）
A．63B．31C．15D．7
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，由题意，，解得，于是，故.故选：D
10．（2023·山西·校联考模拟预测）已知正项等比数列满足，则的最小值是（ ）
A．4B．9C．6D．8
【答案】D
【解析】由，得，即，
则，
当且仅当即时取等号.故选：D
11．（2023春·高二课时练习）已知等差数列的前项和为，公差不为0，若满足、、成等比数列，则的值为（ ）
A．2B．3C．D．不存在
【答案】A
【解析】由等差数列的前项和为，公差不为0，若满足，，成等比数列，
可得，即，整理得，
因为，所以，又由.故选：A.
12．（2023春·贵州·高二校联考阶段练习）已知成等比数列，且1和4为其中的两项，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意，当1和4为两项时，则，解得或，取，
当1和4为两项时，为正数，大于，
当1和4为任意连续的两项时，等比数列的公比，必为正数，大于，
当1和4为两项时，由于与同号，必为正数，大于，
所以的最小值为.
故选：C
13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有3个不同的零点分别为，且成等比数列，则实数a的值为（ ）
A．11B．12C．13D．14
【答案】D
【解析】设，则常数项为：，
因为成等比数列，所以，所以，即，解得，
把代入，所以，解得．故选：D.
14．（2023·江西 ）若，是函数（，）的导函数的两个不同零点，且，，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则（ ）
A．B．C．D．4
【答案】A
【解析】∵∴，，
所以为两个不等的负数，不妨设，则必有，2成等差数列，
，2，成等比数列，故有，，解得，，
可得，，.
故选：A.
14．（2023·全国·模拟预测）中国古代数学著作《九章算术》中的很多题目取材于现实生活，有很强的应用性和趣味性，其中一道经过改编的题目是这样的：一堆栗子一斗装不完，两斗装不满，每斗装400个栗子，一群猴子分这堆栗子，第一只猴子取走全部的一半多一个，第二只猴子取走剩下的一半多一个，……所有猴子均按此规则依次取栗子，最后一只猴子恰好取完，则这群猴子的只数为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】A
【解析】设共有只猴子，第只猴子取栗子的个数为，则第只猴子取栗子后，所剩栗子的个数为，
故，，故，
又， 所以，得，由题意得
即，即，即，
易知当且仅当时，符合题意.故选：A
15．（2023·广西·统考模拟预测）已知正项等比数列满足，则取最大值时的值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为，有，
由函数单调递增，且，可得.
有，由数列单调递减，
所以取得最大值时的值为9，
故选：B.
16．（2022秋·北京海淀·高三北大附中校考阶段练习）已知是公比为q的等比数列，则“”是“为递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当时，数列不一定为递增数列，如数列，公比，而此数列为递减数列，
当为递增数列时，，则或，
所以当为递增数列时，成立，所以“”是“为递增数列”的必要不充分条件，
故选：B.
17．（2023·山东聊城·统考三模）若为等比数列，则“，是方程的两根”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为，因为，是方程的两根，
所以，，所以，又因为，
则，又因为，所以，即充分性成立；
反之，当时，不成立，则，不是方程的两根，即必要性不成立；所以“，是方程的两根”是“”的充分不必要条件.故选：A
18．（2023·云南昆明·统考模拟预测）（多选）已知a，b，c为非零实数，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若a，b，c成等比数列，则，，成等比数列
B．若a，b，c成等差数列，则，，成等差数列
C．若a2，b2，c2成等比数列，则a，b，c成等比数列
D．若a，b，c成等差数列，则，，成等比数列
【答案】AD
【解析】A.若a，b，c成等比数列，则，则，所以，，成等比数列，故A正确；
B.数列1，2，3是等差数列，但数列，，不是等差数列，故B错误；
C.若a2，b2，c2成等比数列，则，或，若，则a，b，c不成等比数列，故C错误；
D.若a，b，c成等差数列，则，则成立，所以，，成等比数列，故D正确.故选：AD
19．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和，若此数列为等比数列，则__________．
【答案】
【解析】因为数列的前项和，
所以， ；
又，因为数列为等比数列，则也满足，
即，解得.
故答案为
20．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）等比数列的公比为，其前n项和为，且，．若仍为等比数列，则______．
【答案】
【解析】由得：，
则，所以，
又，所以，又，
所以，所以，
因为，，，
所以，解得：，
当时，是等比数列.
故答案为：.
21．（2023春·广东佛山）已知等差数列的前项和为，公差，，是与的等比中项，则的最大值为 ________.
【答案】
【解析】由是与的等比中项，
得，即，
即，又，所以，
所以，
所以，
所以当或时，取得最大值.
故答案为：.
22．（2023·河南·校联考模拟预测）记等差数列的前项和为，若，，且，，成等比数列，则__________.
【答案】
【解析】依题意，有，解得，
故.
因为，，成等比数列，所以，
即，解得，
故.
故答案为：
23．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，且、是函数的两个零点，则___________.
【答案】
【解析】因为在数列中，，，则，所以，，
所以，数列为等比数列，且该数列的首项为，公比为，
因为、是函数的两个零点，
由韦达定理可得，
因为，可得，所以，，
由等比中项的性质可得，因此，.
故答案为：.
24．（2023·全国·高三对口高考）已知数列为等比数列，为其前n项和.若，，则的值为__________.
【答案】40
【解析】因为，，所以，，
则等比数列的公比，
所以，，也是等比数列，
所以，，也是等比数列，
所以，即，
解得或，
又，所以.
故答案为：40.
25．（2023春·黑龙江大庆·高二铁人中学校考期中）数列满足，，，求证：是等比数列；
【答案】证明见解析
【解析】，，
∵，∴，
∴，又因为．
∴，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列．
26．（2023春·江西·高二临川一中校联考阶段练习）已知数列满足，且，证明：数列是等比数列，并求出的通项公式.
【答案】证明见解析，
【解析】，
，
，
数列是首项为，公比为3的等比数列，
，
当时，
即，
又也满足上式，数列的通项公式为；
1．（2023春·山西）在数列中，，，若，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【解析】由题意得，，，即，
所以当为奇数时，；当为偶数时，；
设的前n项和为，则，.
若为奇数，则为3的倍数，不是的倍数，不合题意；
当为偶数，则
，即，所以.
故选：B
2．（2023春·安徽阜阳）如果数列是等比数列，那么（ ）
A．数列是等比数列B．数列是等比数列
C．数列是等比数列D．数列是等比数列
【答案】C
【解析】对于C，设等比数列的公比为，则，
所以为非零常数，则数列是等比数列，故C正确；
对于ABD，取，则，数列是等比数列，
则，，，
故，，，
所以，则数列不是等比数列，故A错误.
而，，，显然，
所以数列不是等比数列，故B错误.
而，，，则，
所以数列不是等比数列，故D错误.
故选：C.
3．（2023·全国·高三对口高考）设是公比为的等比数列，其前项的积为，并且满足条件：，，．给出下列结论：①；②；③；④使成立的最小的自然数n等于199．其中正确结论的编号是（ ）
A．①②③B．①④C．②③④D．①③④
【答案】D
【解析】对于①：，，，
，．
又，，且，，故①正确；
对于②：，故②错误；
对于③：，故③正确；
对于④：，
，故④正确．
故选：D．
4．（2023·甘肃兰州·兰化一中校考模拟预测）已知方程的四个根组成以1为首项的等比数列，则（ ）
A．8B．12C．16D．20
【答案】C
【解析】设方程的四个根由小到大依次为，，，，
不妨设的一根为1，则另一根为27，所以，
由等比数列的性质可知，所以，，
所以等比数列，，，的公比为，所以，，由韦达定理得，可得.
故选：C.
5．（2023·全国·高三专题练习）设公比为的等比数列的前项和为，前项积为，且，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．是数列中的最大值D．数列无最大值
【答案】B
【解析】当时，则，不合乎题意；
当时，对任意的，，且有，可得，
可得，此时，与题干不符，不合乎题意；
故，故A错误；
对任意的，，且有，可得，
此时，数列为单调递减数列，则，
结合可得，
结合数列的单调性可得
故，
，
∴，
故B正确；
是数列 中的最大值,故CD错误
故选：B.
6．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，并满足条件 ， ，，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 是数列中的最大值 D．数列无最大值
【答案】A
【解析】根据题意，等比数列中，，则有，有，
又由0，即 ，必有， 由此分析选项：
对于A， ，故 ，A正确；
对于B，等比数列中，，，则 ，则 ，即 ，B错误；
对于C， ，则 是数列 中的最大项，C错误；
对于D，由C的结论，D错误；
故选：A.
7．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列的公比为q，前n项和为，前n项积为，并满足条件，，则下列结论中不正确的有（ ）
A．q>1
B．
C．
D．是数列中的最大项
【答案】A
【解析】因为，所以或，而为等比数列，，于是，，则A错误；
，则B正确；
，则C正确；
因为，所以是数列中的最大项，则D正确.
故选：A.
8．（2023河南省濮阳市）（多选）学校食堂每天中午都会提供A，B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为.而前一天选择了套餐的学生第二天选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为；前一天选择B套餐的学生第二天选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率也是，如此反复.记某同学第天选择套餐的概率为，选择B套餐的概率为.一个月（30天）后，记甲､乙､丙三位同学选择套餐的人数为，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．数列是等比数列
C．D．
【答案】ABD
【解析】由于每人每次只能选择A，B两种套餐中的一种，所以，所以正确，
依题意，，则，
又时，，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，
当时，，所以，
所以ABD正确，C错误，
故选：ABD.
9．（2023·湖南长沙·周南中学校考三模）（多选）已知数列的前n项和是，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则是等差数列
B．若，，则是等比数列
C．若是等差数列，则，，成等差数列
D．若是等比数列，则，，成等比数列
【答案】ABC
【解析】对于A，，时，，解得，因此，，是等差数列，A正确；
对于B，，，则，而，是等比数列，B正确；
对于C，设等差数列的公差为，首项是，
，
，
因此，则 ，成等差数列，C正确；
对于D，若等比数列的公比，则 不成等比数列，D错误.
故选：ABC
10．（2023·全国·高三专题练习）（多选）1979年,李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题:“5只猴子分一堆桃子,怎么也不能分成5等份,只好先去睡觉,准备第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起来,先吃掉1个桃子,然后将其分成5等份,藏起自己的一份就去睡觉了;第2只猴子又爬起来,吃掉1个桃子后,也将桃子分成5等份,藏起自己的一份睡觉去了;以后的3只猴子都先后照此办理.问最初至少有多少个桃子?最后至少剩下多少个桃子?”.下列说法正确的是( )
A．若第n只猴子分得个桃子(不含吃的),则
B．若第n只猴子连吃带分共得到个桃子,则为等比数列
C．若最初有个桃子,则第只猴子分得个桃子(不含吃的)
D．若最初有个桃子,则必有的倍数
【答案】ABD
【解析】设最初有个桃子,猴子每次分剩下的桃子依次为,则
,
若第n只猴子分得个桃子(不含吃的),则,
所以,即,故A正确;
由A，,则,即是等比数列,
若第n只猴子连吃带分共得到个桃子,则,
所以是以为公比的等比数列,故B正确.由B知,是等比数列,
所以,即,
若最初有个桃子,即,所以,故C错误;
根据题意:,
因为以为公比的等比数列,所以,化简得,
因为,且为正整数,所以,即必有的倍数,故D正确.故选:ABD.
11．（2023春·河南郑州）在等比数列中，，是函数的极值点，则＝__________.
【答案】
【解析】由函数，则其导数，
由，是函数的极值点，
则，是函数的零点，
即，是方程的两个解，故，
在等比数列中，，且同号，即，故.
故答案为：.
12．（2023·全国·高三对口高考）将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数填入如图所示的正方形网格中，每个数填一次，每个小方格中填一个数．考虑每行从左到右，每列从上到下，两条对角线从上到下这8个数列，给出下列四个结论：

①这8个数列有可能均为等差数列；
②这8个数列中最多有3个等比数列；
③若中间一行、中间一列、两条对角线均为等差数列，则中心数必为5；
④若第一行、第一列均为等比数列，则其余6个数列中至多有1个等差数列．
其中所有正确结论的序号是________．
【答案】①②③
【解析】①如图将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数依次填入网格中，
则这8个数列均为等差数列，故①正确；
②1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数中，
等比数列有：1，2，4；1，3，9；2，4，8和4，6，9，
因为1，2，4和2，4，8这两个等比数列在网格中不可能在同一行、同一列或对角线上，
所以这8个数列中最多有3个等比数列，如图，故②正确；
③若三个数成等差数列，则，
根据题意要有4组数成等差数列，且中间的数相同，则只能是，
因为，
所以中间一行、中间一列、两条对角线四组数分别为1，5，9；2，5，8；
3，5，7；4，5，6时满足条件，如图，故③正确；
④若第一行为1，2，4，第一列为1，3，9，满足第一行，第一列均为等比数列，
当第二行为3，5，7，第二列为2，5，8时，第二行和第二列均为等差数列，
此时有2个等差数列，如图，故④错误；
故答案为：①②③
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
4
3
6
5
9
7
8
3
2
4
1
5
9
6
8
7
1
2
4
3
5
7
9
8
6