新高考数学二轮复习分层训练专题18 空间向量在立体几何中的应用（角和距离）（2份打包，原卷版+解析版）

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一、单选题
1．（2022·全国·统考高考真题）在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，E，F分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则（ ）
A．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 B．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
C．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 D．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
2．（2023·全国·高三专题练习）下图为正三棱柱 SKIPIF 1 < 0 的一个展开图，若A， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，D， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 六点在同一个圆周上，则在原正三棱柱中，直线AE和直线BF所成角的余弦值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022秋·湖北黄冈·高三校考期中）平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与底面 SKIPIF 1 < 0 所成的线面角的正弦值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．（2023·全国·高三专题练习）在矩形ABCD中，O为BD中点且 SKIPIF 1 < 0 ，将平面ABD沿对角线BD翻折至二面角 SKIPIF 1 < 0 为90°，则直线AO与CD所成角余弦值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为1，则线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点P到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离的最小值为（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．（2023·全国·高三专题练习）正方体 SKIPIF 1 < 0 棱长为 SKIPIF 1 < 0 ，动点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上（含端点），以下结论不正确的为（ ）
A．三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为定值 SKIPIF 1 < 0
B．过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点若可作正方体的截面，则截面图形为三角形或平面四边形
C．当点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 重合时，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球体积为 SKIPIF 1 < 0
D．直线 SKIPIF 1 < 0 与面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值的范围为 SKIPIF 1 < 0
7．（2022·河南省直辖县级单位·统考二模）如图，已知AB是圆柱底面圆的一条直径，OP是圆柱的一条母线，C为底面圆上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则直线PC与平面PAB所成角的正弦值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．（2023·全国·高三专题练习）在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为2， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
9．（2023·云南·统考模拟预测）如图，在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，E､F､G分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
10．（2023·全国·模拟预测）已知四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的顶点都在一个表面积为 SKIPIF 1 < 0 的球面上， SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，底面ABCD是正方形， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C．直线PC与直线AB所成角的大小为 SKIPIF 1 < 0
D．直线PC与平面PAB所成角的大小为 SKIPIF 1 < 0
11．（2023·山东威海·统考一模）在棱长为1的正方体 SKIPIF 1 < 0 中，点P满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则( )
A．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
B．当 SKIPIF 1 < 0 时，有且仅有一点P满足 SKIPIF 1 < 0
C．当 SKIPIF 1 < 0 时，有且仅有一点P满足到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离与到平面ABCD的距离相等
D．当 SKIPIF 1 < 0 时，直线AP与 SKIPIF 1 < 0 所成角的大小为定值
12．（2023·广东梅州·统考一模）如图，在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点； SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 上的动点（含端点），过点A､ SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 作三棱柱的截面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．线段 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 B．棱 SKIPIF 1 < 0 上的不存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
C．棱 SKIPIF 1 < 0 上的存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 D．当 SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点时， SKIPIF 1 < 0
三、填空题
13．（2023·广东江门·统考一模）已知直线l过点 SKIPIF 1 < 0 ，且直线l的一个方向向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则坐标原点O到直线l的距离d为___________.
14．（2023·上海·统考模拟预测）正方体 SKIPIF 1 < 0 的边长为1，点 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 边的中点， SKIPIF 1 < 0 是侧面 SKIPIF 1 < 0 上动点，若直线 SKIPIF 1 < 0 与面 SKIPIF 1 < 0 的交点位于 SKIPIF 1 < 0 内（包括边界），则所有满足要求的点 SKIPIF 1 < 0 构成的图形面积为__________.
15．（2022·湖南永州·统考一模）在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 为等腰梯形， SKIPIF 1 < 0 为等边三角形， SKIPIF 1 < 0 ，则四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球球心 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离是___________.
16．（2023春·北京·高三北京市陈经纶中学校考开学考试）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为棱CD的中点，点F为底面ABCD内一点，给出下列三个论断：
①A1F⊥BE；
②A1F＝3；
③S△ADF＝2S△ABF.
以其中的一个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__.
四、解答题
17．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P-ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，底面ABCD是边长为2的菱形， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明：平面PAC⊥平面ABCD；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值．
18．（2023·山东泰安·统考一模）在如图所示的几何体中，底面ABCD是边长为6的正方形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点P，Q分别在棱GD，BC上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 平面ABCD；
(2)设H为线段GC上一点，且三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为18，求平面ACH与平面ADH夹角的余弦值.
【提能力】
一、单选题
19．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面ABC， SKIPIF 1 < 0 是边长为2的正三角形， SKIPIF 1 < 0 ，E，F分别为MA，MC的中点，则异面直线BE与AF所成角的余弦值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
20．（2022·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考一模）如图，在直二面角 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 上两点，点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，那么直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
21．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）如图所示，正方体 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 为底面 SKIPIF 1 < 0 的中心，点 SKIPIF 1 < 0 在侧面 SKIPIF 1 < 0 的边界及其内部移动，若 SKIPIF 1 < 0 ，则异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
22．（2023·全国·高三专题）如图正方体 SKIPIF 1 < 0 ，中，点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为正方形 SKIPIF 1 < 0 的中心，则（ ）
A．直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是异面直线B．直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是相交直线
C．直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互相垂直D．直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0
23．（2021·山西吕梁·统考一模）如图正三棱柱 SKIPIF 1 < 0 的各棱长相等， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
24．（2022·浙江·高三专题）已知正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为2，点E，F在平面 SKIPIF 1 < 0 内，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列选项中错误的是（ ）
A．点E的轨迹是圆的一部分B．点F的轨迹是一条线段
C． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值的最大值为 SKIPIF 1 < 0
25．（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．现将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折起，当二面角 SKIPIF 1 < 0 处于 SKIPIF 1 < 0 过程中，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
26．（2022·全国·高三专题练习）已知长方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 过线段 SKIPIF 1 < 0 的中点以及点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，现有如下说法：
（1） SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，则平面 SKIPIF 1 < 0 截长方体 SKIPIF 1 < 0 所得截面为平行四边形；
（3）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则平面 SKIPIF 1 < 0 截长方体 SKIPIF 1 < 0 所得截面的面积为 SKIPIF 1 < 0
以上说法正确的个数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
27．（2022·全国·模拟预测）已知正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为棱AB，BC的中点，过点E，F作正方体的截面，则下列说法正确的是（ ）
A．若截面过点 SKIPIF 1 < 0 ，则截面周长为 SKIPIF 1 < 0
B．若点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点（不含端点），则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
C．若截面是正六边形，则直线 SKIPIF 1 < 0 与截面垂直
D．若截面是正六边形，S，T是截面上两个不同的动点，设直线 SKIPIF 1 < 0 与直线ST所成角的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
28．（2022秋·吉林长春·高三长春市第二实验中学校考期末）如图，在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点，沿 SKIPIF 1 < 0 将 SKIPIF 1 < 0 折起到 SKIPIF 1 < 0 的位置（ SKIPIF 1 < 0 不在平面 SKIPIF 1 < 0 上），在折起过程中，下列说法不正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
B．存在某位置，使 SKIPIF 1 < 0
C．当二面角 SKIPIF 1 < 0 为直二面角时，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的表面积为 SKIPIF 1 < 0
D．直线 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角的最大值为 SKIPIF 1 < 0
29．（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）如图，在棱长为 SKIPIF 1 < 0 的正方体中，下列结论成立的是（ ）
A．若点 SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 的中心，则点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0
B．二面角 SKIPIF 1 < 0 的正切值为 SKIPIF 1 < 0
C．直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 的中心，点 SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 的中心，则 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0
30．（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上的点，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B．存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角是 SKIPIF 1 < 0
C．当点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点时，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的表面积是 SKIPIF 1 < 0
D．当点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点时，直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正切值为 SKIPIF 1 < 0 ．
三、填空题
31．（2022·全国·高三专题练习）已知三棱柱 SKIPIF 1 < 0 的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为2，D为 SKIPIF 1 < 0 的中点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为______．
32．（2023·全国·高三专题练习）在棱长为1的正方体 SKIPIF 1 < 0 中，点P是对角线 SKIPIF 1 < 0 的动点（点P与 SKIPIF 1 < 0 不重合），则下列结论正确的有___________.
①存在点P，使得平面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
②存在点P，使得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
③ SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 上的正投影图形的面积，对任意的点P都有 SKIPIF 1 < 0 ；
④对任意的点P， SKIPIF 1 < 0 的面积都不等于 SKIPIF 1 < 0 .
33．（2023·全国·高三专题练习）如图所示， SKIPIF 1 < 0 是棱长为 SKIPIF 1 < 0 的正方体， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是下底面的棱 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 是上底面的棱 SKIPIF 1 < 0 上的一点， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的平面交上底面于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，则异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为___________．
34．（2022·河南鹤壁·鹤壁高中校考模拟预测）如图，在棱长为1的正方体 SKIPIF 1 < 0 中，P为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点，Q为正方形 SKIPIF 1 < 0 内一动点（含边界），则下列说法中正确的是______．
①若 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则动点Q的轨迹是一条线段
②存在Q点，使得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
③当且仅当Q点落在棱 SKIPIF 1 < 0 上某点处时，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积最大
④若 SKIPIF 1 < 0 ，那么Q点的轨迹长度为 SKIPIF 1 < 0
四、解答题
35．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值．
36．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是直角梯形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，侧面 SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若侧面 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，侧棱 SKIPIF 1 < 0 与底面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正切值为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为侧棱 SKIPIF 1 < 0 上的动点，且 SKIPIF 1 < 0 .是否存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出实数 SKIPIF 1 < 0 若不存在，请说明理由.
37．（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，D，E，P分别在棱AC，AB，BC上，且D为AC中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于F.
(1)证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 时，求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值.
38．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图，四棱台 SKIPIF 1 < 0 的下底面和上底面分别是边 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的正方形，侧棱 SKIPIF 1 < 0 上点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明：直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值.