新高考数学二轮复习高分突破训练第34讲 离散型随机变量分布列与期望（2份，原卷版+解析版）

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1、如何分辨随机变量分布列是否符合特殊分布：
（1）随机变量的取值：随机变量的取值要与特殊分布中的取值完全一致.
（2）每个特殊的分布都有一个试验背景，在满足（1）的前提下可通过该试验的特征判断是否符合某分布
2、常见的分布
（1）两点分布：一项试验有两个结果，其中事件发生的概率为，令，则的分布列为：
则称符合两点分布（也称伯努利分布），其中称为成功概率
（2）超几何分布：在含有个特殊元素的个元素中，不放回的任取件，其中含有特殊元素的个数记为，则有，其中
即：
则称随机变量服从超几何分布
（3）二项分布：在次独立重复试验中，事件发生的概率为，设在次试验中事件发生的次数为随机变量，则有 ，即：
则称随机变量符合二项分布，记为
3、期望：已知离散性随机变量的分布列为：
则称的值为的期望，记为
（1）期望反映了随机变量取值的平均水平，换句话说，是做了次这样的试验，每次试验随机变量会取一个值（即结果所对应的数），将这些数进行统计，并计算平均数，当足够大时，平均数无限接近一个确定的数，这个数即为该随机变量的期望。
（2）期望的运算法则：若两个随机变量存在线性对应关系：，则有
① 是指随机变量取值存在对应关系，且具备对应关系的一组代表事件的概率相同：若的分布列为：
则的分布列为：
② 这个公式体现出通过随机变量的线性关系，可得期望之间的联系。
4、方差：已知离散性随机变量的分布列为：
且记随机变量的期望为，用表示的方差，则有：
（1）方差体现了随机变量取值的分散程度，方差大说明这些数分布的比较分散，方差小说明这些数分布的较为集中（集中在期望值周围）
（2）在计算方差时，除了可以用定义式之外，还可以用以下等式进行计算：设随机变量为 ，则
（3）方差的运算法则：若两个随机变量存在线性对应关系：，则有：
5、常见分布的期望与方差：
（1）两点分布：则
（2）二项分布：若，则
典型例题：
例1．（2022·全国·高三专题练习）在新冠肺炎疫情肆虐之初，作为重要防控物资之一的口罩是医务人员和人民群众抗击疫情的武器与保障，为了打赢疫情防控阻击战，我国企业依靠自身强大的科研能力，果断转产自行研制新型全自动高速口罩生产机，“争分夺秒､保质保量”成为口罩生产线上的重要标语
.
(1)在试产初期，某新型全自动高速口罩生产流水线有四道工序，前三道工序完成成品口罩的生产且互不影响，第四道是检测工序.已知批次A的成品口罩生产中，前三道工序的次品率分别为，，.求批次A成品口罩的次品率.
(2)已知某批次成品口罩的次品率为，设100个成品口罩中恰有1个不合格品的概率为，记的最大值点为，改进生产线后批次的口罩的次品率.某医院获得批次，的口罩捐赠并分发给该院医务人员使用.经统计，正常佩戴使用这两个批次的口罩期间，该院医务人员核酸检测情况如条形图所示；求出，并判断是否有99.9%的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关？
【答案】(1)
(2)，有99.9%的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关.
【解析】
【分析】
（1）根据对立事件的概率的求法，可得批次成品口罩的次品率为，代入数据计算即可；
(2) 由题意可得，求出导数，得出函数的单调区间，从得出的值.再列出列联表，再由公式求出，再与临界值比较，得出结论.
(1)
批次成品口罩的次品率为；
(2)
100个成品口罩中恰有1个不合格的概率为，
所以，
令，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以的最大值点为，
由条形图可建立列联表如下：
则，
因此，有99.9%的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关.
例2．（2022·山东·青岛二中高三开学考试）某公司全年圆满完成预定的生产任务，为答谢各位员工一年来的锐意进取和辛勤努力，公司决定在联欢晚会后，拟通过摸球兑奖的方式对500位员工进行奖励，规定：每位员工从一个装有4种面值的奖券的箱子中，一次随机摸出2张奖券，奖券上所标的面值之和就是该员工所获得的奖励额．
(1)若箱子中所装的4种面值的奖券中有1张面值为80元，其余3张均为40元，试比较员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率的大小；
(2)公司对奖励总额的预算是6万元，预定箱子中所装的4种面值的奖券有两种方案：第一方案是2张面值20元和2张面值100元；第二方案是2张面值40元和2张面值80元．为了使员工得到的奖励总额尽可能地符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请问选择哪一种方案比较好？并说明理由．
【答案】(1)员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率相等
(2)应选择第二种方案；理由见解析
【解析】
【分析】
(1)根据超几何分布求出员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率即可；
(2)根据题意可知有两种方案、，分别求出对应的分布列，进而求出对应的数学期望和方差，从而得出结论.
(1)
用X表示员工所获得的奖励额．
因为，，
所以，
故员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率相等．
(2)
第一种方案为，
设员工所获得的奖励额为，则的分布列为
所以的数学期望为，
的方差为；
第二种方案为，
设员工所获得的奖励额为，则的分布列为
所以的数学期望为，
的方差为，
又因为（元），
所以两种方案奖励额的数学期望都符合要求，但第二种方案的方差比第一种方案的小，
故应选择第二种方案．
例3．（2022·全国·高三专题练习）年五一节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥公司为掌握五一节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了日上午这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段记作，记作，记作，记作，例如：，记作时刻.
(1)估计这辆车在时间内通过该收费站点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）
(2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这辆车中抽取辆，再从这辆车中随机抽取辆，设抽到的辆车中，在之间通过的车辆数为，求的分布列；
(3)根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻服从正态分布，其中可用日数据中的辆车在之间通过该收费站点的时刻的平均值近似代替，用样本的方差近似代替（经计算样本方差为）.假如日上午这一时间段内共有辆车通过该收费站点，估计在之间通过的车辆数（结果保留到整数）
附：；若随机变量服从正态分布，则，，.
【答案】(1)64
(2)答案见解析
(3)819
【解析】
【分析】
（1）由频率分布直方图即能求出这600辆车在时间段内通过该收费点的时刻的平均值．
（2）由频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在前通过的车辆数就是位于时间分组，这一区间内的车辆数，求出其结果为4，从而的可能的取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列．
（3）求出，，估计在之间通过的车辆数也就是在，通过的车辆数，由，，即能估计在之间通过的车辆数．
(1)
这600辆车在时间段内通过该收费点的时刻的平均值为：
．
(2)
由频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，
在前通过的车辆数就是位于时间分组，这一区间内的车辆数，
即，
所以的可能的取值为0，1，2，3，4．
所以，，，，．
所以的分布列为：
(3)
由（1）得，
由已知，所以，
估计在之间通过的车辆数也就是在，通过的车辆数，
由，得：
，
所以估计在在之间通过的车辆数为．
例4．（2022·河南驻马店·高三期末（理））2021年2月25日，全国脱贫攻坚总结表彰大会在北京召开，充分肯定了脱贫攻坚取得的重大历史性成就，习近平总书记在大会上深刻阐述了伟大脱贫攻坚精神，并对巩固拓展脱贫攻坚成果、全面推进乡村振兴提出了明确的要求，为了更高效地推进乡村振兴，某市直单位欲从部门A，B，C的10人中选派4人与其下辖的乡镇甲对接相关业务，其中部门A，B，C可选派的人数分别为3，3，4，且每个人被选派的可能性一样.
(1)求选派的4人中至少有1人来自部门C的概率；
(2)选派的4人中来自部门A，B，C的人数分别为x，y，z，记x，y，z中最大的数为X，求X的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【解析】
【分析】
（1）记“选派的4人中至少有1人来自部门C”为事件D，求出，进而由对立事件的性质得出事件的概率；
（2）先得出X的所有可能取值，并求出其概率，列出分布列，计算数学期望.
(1)
记“选派的4人中至少有1人来自部门C”为事件D.
则，故.
(2)
由题意可知X的所有可能取值为2，3，4.
，
，
，
则X的分布列为
故.
例5．（2022·广东高州·二模）某校组织“百年党史”知识比赛，每组有两名同学进行比赛，有2道抢答题目．已知甲、乙两位同学进行同一组比赛，每人抢到每道题的机会相等．抢到题目且回答正确者得100分，没回答者得0分；抢到题目且回答错误者得0分，没抢到者得50分，2道题目抢答完毕后得分多者获胜．已知甲答对每道题目的概率为．乙答对每道题目的概率为，且两人各道题目是否回答正确相互独立．
(1)求乙同学得100分的概率；
(2)记X为甲同学的累计得分，求X的分布列和数学期望．
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，.
【解析】
【分析】
（1）应用独立事件乘法公式及互斥事件的概率求法，求乙同学得100分的概率；
（2）由题意知可能值为，分别求出对应概率，写出分布列，进而求期望.
(1)
由题意，乙同学得100分的基本事件有{乙抢到两题且一道正确一道错误}、{甲乙各抢到一题都回答正确}、{甲抢到两题且回答错误}，
所以乙同学得100分的概率为.
(2)
由题意，甲同学的累计得分可能值为，
；；
；；；
分布列如下：
所以期望.
例6．（2022·福建三明·高三期末）为树立和践行“绿水青山就是金山银山”的理念，三明市某公司将于2022年3月12日开展植树活动，为提高职工的积极性，活动期间将设置抽奖环节，具体方案为：根据植树的棵数可以选择在甲箱或乙箱中摸奖，每箱内各有除颜色外完全相同的10个球，甲箱内有红、黄、黑三种颜色的球，其中a个红球、b个黄球、5个黑球（），乙箱内有6个红球、4个黄球．若在甲箱内摸球，则每次摸出一个球后放回原箱，摸得红球奖100元，摸得黄球奖50元，摸得黑球则没有奖金；若在乙箱内摸球，则每次摸出两球后放回原箱，两球均为红球奖150元，否则没有奖金．
(1)据统计，每人的植树棵数X服从正态分布N（15，25），现有1000位植树者，请估计植树的棵数X在区间（10，25）内的人数（结果四舍五入取整数）；
(2)根据植树的棵数，某职工可选择以下两种方案摸奖，方案一：三次甲箱内摸奖机会；方案二：两次乙箱内摸奖机会．请根据奖金的数学期望分析该职工如何选择摸奖方案．
附参考数据：若，则，．
【答案】(1)819名；
(2)答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，先通过正态分布求出1000位植树者中植树的棵数在（15，25）内的概率，进而求出估计的人数；
（2）根据题意，先求出两种方案摸奖所得奖金的期望，进而比较两个方案奖金期望的大小，然后选择较大的期望即可.
(1)
由题知，，，所以
，所以1000位植树者中植树的棵数在（15，25）内的人数估计为人.
(2)
甲箱内一次摸奖，奖金的所有可能值为0，50，100，
且，，，，
则，
所以甲箱中三次摸奖所得奖金的期望为，.
乙箱内一次摸奖，奖金的所有可能值为0，150，
且，
所以乙箱中两次摸奖所得奖金的期望为．
所以，当时，，建议该职工选择方案二；
当时，，建议该职工选择方案一；
当时，，建议该职工选择方案一；
当时，，建议该职工选择方案一.
例7．（2022·江西九江·一模（理））非物质文化遗产是一个国家和民族历史文化成就的重要标志，是优秀传统文化的重要组成部分．瑞昌剪纸于2008年列入第二批国家级非物质文化遗产名录．由于瑞昌地处南北交汇处，经过千年的南北文化相互浸润与渗透，瑞昌剪纸融入了南方的阴柔之丽、精巧秀美和北方的阳刚之美、古朴豪放．为了弘扬中国优秀的传统文化，某校将举办一次剪纸比赛，共进行5轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成规定作品和创意作品各2幅，若有不少于3幅作品入选，将获得“巧手奖”．5轮比赛中，至少获得4次“巧手奖”的同学将进入决赛．某同学经历多次模拟训练，指导老师从训练作品中随机抽取规定作品和创意作品各5幅，其中有4幅规定作品和3幅创意作品符合入选标准．
(1)从这10幅训练作品中，随机抽取规定作品和创意作品各2幅，试预测该同学在一轮比赛中获“巧手奖”的概率；
(2)以上述两类作品各自入选的频率作为该同学参赛时每幅作品入选的概率．经指导老师对该同学进行赛前强化训练，规定作品和创意作品入选的概率共提高了，以获得“巧手奖”的次数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛？
【答案】(1)；
(2)该同学没有希望进入决赛.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，分类讨论所有可能的情况，再求其概率之和即可；
（2）由题可得，先计算强化训练后该同学某一轮可获得“巧手奖”的概率的最大值，再根据5轮比赛中获得“巧手奖”的次数服从二项分布，估算，结合题意即可判断.
(1)
由题可知，所有可能的情况有：
①规定作品入选1幅，创意作品入选2幅的概率，
②规定作品入选2幅，创意作品入选1幅的概率，
③规定作品入选2幅，创意作品入选2幅的概率，
故所求的概率．
(2)
设强化训练后，规定作品入选的概率为，创意作品入选的概率为，
则，
由已知可得，强化训练后该同学某一轮可获得“巧手奖”的概率为：
∵，且，也即，即
故可得：，，
，
∴，
令，则在上单调递减，
∴．
∵该同学在5轮比赛中获得“巧手奖”的次数，
∴，故该同学没有希望进入决赛．
【点睛】
本题考察概率的求解以及二项分布、解决问题的关键是求得某一轮获得“巧手奖”的概率的范围，再估算5轮比赛中获得“巧手奖”的次数的数学期望，涉及函数值域问题，范围问题，属综合困难题.
例8．（2022·河南焦作·一模（理））某科技公司有甲､乙､丙三个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为，，.现安排甲组和乙组研发新产品A，丙组研发新产品B，设每个小组研发成功与否相互独立，且当甲组和乙组至少有一组研发成功时，新产品A就研发成功.
(1)求新产品A，B均研发成功的概率.
(2)若新产品A研发成功，预计该公司可获利润180万元，否则利润为0万元；若新产品B研发成功，预计该公司可获利润120万元，否则利润为0万元.求该公司研发A，B两种新产品可获总利润（单位：万元）的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列答案见解析，数学期望：
【解析】
【分析】
（1）设新产品研发成功为事件，根据对立事件的概率求，再由相互独立事件同时发生的概率公式求解；
（2）写出离散型随机变量的可能取值，求对应概率得到分布列求期望即可.
(1)
设新产品研发成功为事件，新产品研发成功为事件.
则，，
所以.
(2)
设该公司研发，两种新产品可获总利润为随机变量，
则的可能取值为0，120，180，300.
；；；
.
所以的分布列如下：
则数学期望.
例9．（2022·全国·高三专题练习）国际比赛赛制常见的有两种，一种是单败制，一种是双败制．单败制即每场比赛的失败者直接淘汰，常见的有等等．表示双方进行一局比赛，获胜者晋级．表示双方最多进行三局比赛，若连胜两局，则直接晋级；若前两局两人各胜一局，则需要进行第三局决胜负．现在四人进行乒乓球比赛，比赛赛制采用单败制，A与B一组，C与D一组，第一轮两组分别进行，胜者晋级，败者淘汰；第二轮由上轮的胜者进行，胜者为冠军．已知A与比赛，A的胜率分别为；B与比赛，B的胜率分别；C与D比赛，C的胜率为．任意两局比赛之间均相互独立．
（1）在C进入第二轮的前提下，求A最终获得冠军的概率；
（2）记A参加比赛获胜的局数为X，求X的分布列与数学期望．
【答案】（1）；（2）分布列见解析，.
【解析】
【分析】
（1）根据独立重复事件的概率公式，结合条件概率的计算公式进行求解即可；
（2）参加比赛获胜的局数的取值有0，1，2，3，求出每种可能性的概率，列出分布列，根据数学期望公式进行运算求解即可.
【详解】
解：（1）进入第二轮的概率为，
与比赛，获胜，与比赛，获胜，且与比赛，获胜，
其概率为，
故在进入第二轮的前提下，最终获得冠军的概率．
（2）参加比赛获胜的局数的取值有0，1，2，3．
，
，
，
．
的分布列为：
．
【点睛】
关键点睛：根据条件概率的运算公式、认真阅读题干理解题意是解题的关键
过关练习：
1．（2022·全国·高三开学考试（理））某校高三2班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中小学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，学校提供了：除草､翻地､播种､浇水四个项目.规定女生等可能的从中选择1个或者2个项目进行劳动学习，男生等可能的从中选择1个或者2个或者3个项目进行劳动学习，每参加1个劳动项目的学习获得10分，求：
(1)在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率；
(2)记该小组得分为X，求X的期望.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）设“至少有一名女生参加劳动学习”为事件A，“恰有一名女生参加劳动学习”为事件B.
根据超几何分布原理分别求得，，直接利用条件概率的计算公式即可求得；
（2）设恰有Y人女生参加劳动学习，则男生2-Y人参加劳动学习，求出Y的分布列和数学期望，由即可求出.
(1)
设“至少有一名女生参加劳动学习”为事件A，“恰有一名女生参加劳动学习”为事件B.
根据超几何分布原理得：，
有条件概率的计算公式得：
所以，在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率为；
(2)
根据题意女生参加劳动学习可获得：（分）；
男生参加劳动学习可获得：（分）.
设恰有Y人女生参加劳动学习，则男生2-Y人参加劳动学习，则
；；.
所以Y的分布列为：
则有：.
又，
∴.
2．（2022·河北·模拟预测）近年来，新能源汽车产业大规模发展，某汽车产品自生产并投人市场以来，受到多位消费者质疑其电池产品质量，汽车厂家提供甲､乙两家第三方检测机构对产品进行质量检测，邀请多位车主进行选择，每位车主只能挑选一家.若选择甲机构记1分，若选择乙机构记2分，每位车主选择两个机构的概率相等，且相互独立.
(1)若参加的车主有3人，记总得分为X，求X的分布列与数学期望；
(2)若有位车主，记总得分恰好为n分的概率为，求数列的通项公式；
(3)在（2）的条件下，汽车厂商决定总得分为99分或100分时就停止计分，若总得为99分就选甲机构，总得分为100分就选乙机构，请分析这种方案是否合理.
【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：；
(2)；
(3)这方案不合理，分析答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题意可知，随机变量X的可能取值有3，4，5，6.分别求得随机变量取每一值时的概率得其分布列，由数学期望公式可求得答案；
（2）依题意，总得分恰好为n分时，得不到n分的情况是先得（）分，再得，概率为，即有，由此可求得答案；
（3）由（2）求得，，比较可得结论.
(1)
解：由题意可知，随机变量X的可能取值有3，4，5，6.
，，，.
∴随机变量X的分布列如下表所示：
∴.
(2)
解：依题意，总得分恰好为n分时，得不到n分的情况是先得（）分，再得2分，概率为，
∴，即.
又，，∴，即.
(3)
解：因为，，∴，
∴选择乙机构的概率大于甲机构，这方案不合理.
3．（2022·全国·模拟预测）为了深入贯彻党的十九大和十九届五中全会精神，坚持以新时代中国特色社会主义思想为指导，落实立德树人根本任务，着眼建设高质量教育体系，强化学校教育主阵地作用，深化校外培训机构治理，构建教育良好生态，有效缓解家长焦虑情绪，促进学生全面发展、健康成长．教育部门最近出台了“双减”政策，即有效减轻义务教育阶段学生过重作业负担和校外培训负担，持续规范校外培训（包括线上培训和线下培训）．“双减”政策的出台对校外的培训机构经济效益产生了严重影响．某大型校外培训机构为了规避风险，寻求发展制定科学方案，工作人员对2020年的前200名报名学员消费等情况进行了统计整理，其中消费情况数据如表．
(1)该大型校外培训机构转型方案之一是将文化科主阵地辅导培训向音体美等兴趣爱好培训转移，为了深入了解当前学生的兴趣爱好，工作人员利用分层抽样的方法在消费金额为和的学员中抽取了5人，再从这5人中选取3人进行有奖问卷调查，求抽取的3人中消费金额为的人数的分布列和数学期望；
(2)以频率估计概率，假设该大型校外培训机构2020年所有学员的消费可视为服从正态分布，，分别为报名前200名学员消费的平均数以及方差（同一区间的花费用区间的中点值替代）．
（ⅰ）试估计该机构学员2020年消费金额为的概率（保留一位小数）；
（ⅱ）若从该机构2020年所有学员中随机抽取4人，记消费金额为的人数为，求的分布列及方差．
参考数据：；若随机变量服从正态分布，则，，．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)（ⅰ）；（ⅱ）分布列见解析，
【解析】
【分析】
（1）根据分层抽样分别求出消费金额为和抽取的人数，求出随机变量的可能取值，分别求出相应概率，进而求得分布列和数学期望；
（2）（ⅰ）求出，的值，结合正态分布求出概率；
（ⅱ）由（ⅰ）求出二项分布的分布列及方差.
(1)
解：由题意得，抽中的5人中消费金额为的人数为，
消费金额为的人数为，
设消费金额为的人数为，则，
所以，，，
的分布列为
则；
(2)
解：（ⅰ）由题意得
，
所以，
所以；
（ⅱ）由题意及（ⅰ）得，
所以，，
，，
，
的分布列为
．
4．（2022·全国·模拟预测）某高中高一新生共有1500名，其中男生800名，女生700名，为全面推进学校素质教育，推动学校体育运动发展，引导学生积极参与体育锻炼，促进学生健康成长.学校准备调查高一新生每周日常运动情况，学校通过问卷调查，采用分层抽样的方法，收集了300名学生每周平均运动时间的样本数据（单位：小时），并根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，，.
(1)求这300个样本数据中女生人数，并估计样本数据的85%分位数与方差；
(2)在调查的300名学生中按每周运动时间采用分层抽样法抽取20人参加校园“我运动我快乐”活动，再从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“每周运动时间超过8小时”的人数为，求的分布列及数学期望.
【答案】(1)140人，分位数为，方差为6.16；
(2)分布列见解析，.
【解析】
【分析】
（1）根据频率分布直方图及分层抽样，可求出样本数据中女生人数及样本数据的85%分位数与方差；
（2）利用分层抽样可计算出“每周运动时间超过8小时”的有4人，“每周运动时间不超过8小时”的有16人，所以的可能的取值为0，1，2，利用超几何分布可求得的分布列及数学期望.
(1)
依题意，样本数据中女生人数为.
因为样本数据中在8小时以下的学生人数所占比例为，
则85%分位数为.
平均数为，
所以样本数据的方差为
，
所以样本数据中女生人数为140，样本数据的85%分位数为，方差为6.16.
(2)
用分层抽样的方法，从中选取20人，则其中“每周运动时间超过8小时”的有4人，“每周运动时间不超过8小时”的有16人.
由题意知，的可能取值为0，1，2，
且；；，
所以的分布列为
所以.
5．（2022·江苏高邮·高三开学考试）为进一步完善公共出行方式，倡导“绿色出行”和“低碳生活”，某市建立了公共自行车服务系统，为了鼓励市民租用公共自行车出行，同时希望市民尽快还车，方便更多的市民使用，公共自行车按每次的租用时间进行缴费，具体缴费标准如下：①租用时间不超过1小时，免费；②超出一小时后每小时1元（不足一小时按一小时计算），一天24小时最高收费10元.某日甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，且两人租车时间都不会超过3小时，设甲、乙租用时间不超过一小时的概率分别是0.5，0.4；租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.2，0.4.
(1)求甲比乙付费多的概率；
(2)设甲、乙两人付费之和为随机变量，求的分布列和数学期望.
【答案】(1)0.32
(2)分布列见解析，1.6
【解析】
【分析】
（1）用合适的字母表达每个事件，并按照题意搞清楚事件之间的关系以及每个事件的概率即可;
(2)求分布列和数学期望就是要搞清楚随机变量的可能取值范围，以及每个值都是由那些事件构成的.
(1)
根据题意，记“甲付费为0元、1元、2元、”为事件，，
它们彼此互斥，且，，，
同理，记“乙付费为0元、1元、2元”为事件，，
它们彼此互斥，且，，，
由题知，事件，，与事件，，
相互独立记，甲比乙付费多为事件M，则有：
可得：
故：甲比乙付费多的概率为：0.32；
(2)
由题知，的可能取值为：0，1，2，3，4
则有：，
，
，
，
；
所以的分布列为：
的数学期望：，
故答案为：0.32，1.6.
,
6．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）第24届冬季奥林匹克运动会（The XXIV Olympic Winter Games），即2022年北京冬季奥运会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕．北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项．北京赛区承办所有的冰上项目；延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目；张家口赛区的崇礼区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目．某运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪．比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是p和，其中．
(1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；
(2)若甲、乙、丙三人中恰有两人进人决赛的概率为，求p的值；
(3)在（2）的条件下，设进入决赛的人数为，求的分布列．
【答案】(1)甲进入决赛可能性最大
(2)
(3)分布列见解析
【解析】
【分析】
（1）分别求出甲、乙、丙三人初赛的两轮均获胜的概率，然后比较即可；
（2）利用相互独立事件的概率的求法分别求出甲和乙进入决赛的概率、乙和丙进入决赛的概率、甲和丙进入决赛的概率，即可通过甲、乙、丙三人中恰有两人进人决赛的概率为，列方程求解；
（3）先确定进入决赛的人数为的取值，依次求出每一个值所对应的概率，列表即可.
(1)
甲在初赛的两轮中均获胜的概率为：
乙在初赛的两轮中均获胜的概率为：
丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：
∵，∴，
∴
∴甲进入决赛可能性最大．
(2)

整理得，解得或，
又∵，∴；
(3)
由（2）得，丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：，
进入决赛的人数为可能取值为， ，，，
，
，
，
，
∴的分布列为
7．（2022·全国·模拟预测）自年秋季学期开始中小学全面落实“双减”工作，为使广大教育工作者充分认识“双减”工作的重大意义，某地区教育行政部门举办了一次线上答卷活动，从中抽取了名教育工作者的答卷，得分情况统计如下（满分：分）．
名教育工作者答卷得分频数分布表
(1)若这名教育工作者答卷得分服从正态分布（其中用样本数据的均值表示，用样本数据的方差表示），求；
(2)若以这名教育工作者答卷得分估计全区教育工作者的答卷得分，则从全区所有教育工作者中任意选取人的答卷得分，记为这人的答卷得分不低于分且低于分的人数，试求的分布列和数学期望和方差．
参考数据：，，，．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，，
【解析】
【分析】
（1）首先根据频数分布表求样本数据的平均数和方差，然后利用正态分布的对称性和原则求得概率；
（2）先求出在一次试验中事件发生的概率，确定的所有可能取值，利用独立重复试验的概率公式分别求出每个取值的概率，从而得到分布列，最后利用二项分布的数学期望和方差公式求解．
(1)
解：由频数分布表可知，，
，
所以，，所以．
因为，则，，
所以，
.
(2)
解：从这名教育工作者中任意选取一名，其答卷得分不低于分且低于分的概率为．
由题意知，，则，，
，，
所以的分布列为
所以，.
8．（2022·全国·高三专题练习）有专家指出，与新冠病毒感染者密切接触过的人，被感染的概率是．王某被确诊为新冠病毒感染者后，当地准备对王某的密切接触者共78人逐一进行核酸检测．
（1）设为这78名密切接触者中被感染的人数，求的数学期望；
（2）核酸检测并不是准确，有可能出现假阴性（新冠病毒感染者的检测结果为阴性，即漏诊）或假阳性（非新冠病毒感染者的检测结果为阳性，即误诊）．假设当地核酸检测的灵敏度为（即假阴性率为），特异度为（即假阳性率为）．已知王某的一个密切接触者赵某的核酸检测结果为阳性，求他被感染的概率（结果保留3位有效数字）．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由服从二项分布可得答案；
（2）设事件为“核酸检测结果为阳性”，事件为“密切接触者被感染”，
由题意，，，计算出可得答案.
【详解】
（1）为这78名密切接触者中被感染的人数，
可取0，1，2，，78，，
所以.
（2）设事件为“核酸检测结果为阳性”，事件为“密切接触者被感染”，
由题意，，，所以
，
，
王某的一个密切接触者赵某的核酸检测结果为阳性，他被感染的概率为.
9．（2022·全国·模拟预测）某校开展了“学党史”知识竞赛活动，竞赛试题由若干选择题和填空题两种题型构成，每位选手共需要回答三个问题.对于每一个问题，若回答错误得0分；若回答正确，填空题得30分，选择题得20分.现设置了两种活动方案供选手选择.方案一：只回答填空题；方案二：先回答填空题，后续选题按如下规则：若上一题回答正确，则下一次选择填空题；若上题回答错误，则下一次选择选择题.已知甲、乙两位同学能正确回答填空题的概率均为，能正确回答选择题的概率均为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1)若甲同学采用方案一答题，求甲得分不低于60分的概率；
(2)乙同学应该选择何种方案参加比赛更加有利？并说明理由.
【答案】(1)；
(2)乙同学选择方案二参加比赛更加有利，理由见解析.
【解析】
【分析】
(1)采用方案一，得分不低于60分，则至少回答正确两道填空题，根据每次回答问题的独立性即可求；
(2)分别计算出采用方案一时得分的数学期望和采用方案二时得分的数学期望，比较两个数学期望即可判断该选择哪一种方案更加有利.
(1)
甲同学采用方案一答题，得分不低于60分的情况为至少答对两道填空题，
∴其概率；
(2)
乙同学选择方案二参加比赛更加有利，理由如下：
若采用方案一，则其得分X的可能取值为0，30，60，90，
∴；；
；，
∴X的分布列为
∴X的数学期望；
若采用方案二，则其得分Y的可能为取值为0，20，30，50，60，90，
∴；；
；；
；，
∴Y的分布列为
∴Y的数学期望，
∵，
∴乙同学选择方案二参加比赛更加有利.
10．（2022·全国·高三专题练习）教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先治愚，扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从这5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验．
(1)求5名优秀教师中的“甲”，在这3批次支教活动中恰有两次被抽选到的概率；
(2)求第一次抽取到无支教经验的教师人数的分布列；
(3)求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人？请说明理由．
【答案】(1)
(2)分布列见解析
(3)最有可能是1人，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由独立重复事件的概率公式求解即可；
（2）先写出X的可能取值，再求出每个值的概率即可求解；
（3）设表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数可能的取值为、、，分别求出相应的概率，比较、、的大小关系，由此可得出结论.
(1)
5名优秀教师中的“甲”在每轮抽取中，被抽取到的概率为，
则三次抽取中，“甲”恰有两次被抽取到的概率为；
(2)
X表示第一次抽取到的无支教经验的教师人数，X的可能取值有0，1，2．
；；．
所以分布列为：
(3)
设表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数，可能的取值有0，1，2，则有：
，
，
，
因为，
故第二次抽取到的无支教经验的教师人数最有可能是1人．
11．（2022·全国·模拟预测）在中国共产党的正确领导下，我国顺利实现了第一个百年奋斗目标——全面建成小康社会.某地为了巩固扶贫成果，决定继续对甲、乙两家乡镇企业进行指导.指导方式有两种，一种是精准指导，一种是综合指导.已知对甲企业采用精准指导时，投资50万元，增加100万元收入的概率为0.2，增加200万元收入的概率为0.8，采用综合指导时，投资100万元，增加200万元收入的概率为0.6，增加400万收入的概率为0.4；对乙企业采用精准指导时，投资50万元，增加100万元收入的概率为0.3，增加200万元收入的概率为0.7，采用综合指导时，投资100万元，增加200万元收入的概率为0.7，增加400万元收入的概率为0.3.指导结果在两家企业之间互不影响.
(1)若决策部门对甲企业进行精准指导、对乙企业进行综合指导，设两家企业增加的总收入为万元，求的分布列；
(2)若有150万元无息贷款可供甲、乙两家企业使用，对两家企业应分别进行哪种指导总收入最高？请说明理由.
【答案】(1)分布列见解析；
(2)对甲企业进行综合指导、对乙企业进行精准指导总收入最高，理由见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据题意确定随机变量的所有可能取值，再求出每个取值对应事件的概率并列出分布列即可；
(2)由条件知指导方案共有三种：对两家企业均进行精准指导；对甲企业精准指导、对乙企业综合指导；对甲企业综合指导、对乙企业精准指导，然后求出每种方案增加的总收入的数学期望，比较它们大小即可.
(1)
由题意知可能取值为300，400，500，600，
则，，
，，
∴当决策部门对甲企业进行精准指导、对乙企业进行综合指导时，两家企业增加的总收入的分布列为
(2)
指导方案1：对甲、乙两家企业均进行精准指导.设两家企业增加的总收入为万元，则可能取值为200，300，400，
且，，
，(万元)；
指导方案2：对甲企业进行精准指导、对乙企业进行综合指导.
由(1)得(万元)；
指导方案3：对甲企业进行综合指导、对乙企业进行精准指导.
设两家企业增加的总收入为，则的可能取值为300，400，500，600，
且，，
，，
(万元).
∵，
∴指导方案3：对甲企业进行综合指导、对乙企业进行精准指导总收入最高.
12．（2022·全国·模拟预测）为了开展中学生阳光体育运动，某校组织学生全员参与，并印制了“运动增智”校园纪念卡鼓励学生，该系列纪念卡背面分别标注不同数字1，2，3.每名同学每天自主选择“球操”和“啦啦操”中项进行运动.运动结束后将随机等可能地获得一张校园纪念卡.
(1)学生小明运动前三天获得的校园纪念卡背面数字之和记为X，求；
(2)通过数据统计发现：运动开展首日有的学生选择“球操”，其余学生选择“啦啦操”；在前一天选择“球操”的学生中，次日会有的学生继续选择“球操”，其余选择“啦啦操”；在前一天选择“啦啦操”的学生中，次日会有的学生继续选择“啦啦操”，其余学生选择“球操”，用频率近似估计概率，记某学生运动第n天选择“球操”的概率为，求.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先确定X的所有可能取值，利用古典概型求出每个X取值对应的概率，再求出；
（2）利用递推关系求出与之间的关系，构造等比数列，再求出.
(1)
由题知，学生小明运动前三天获得的校园纪念卡背面数字共有种等可能结果，X的所有可能取值为3，4，5，6，7，8，9，
数学之和为3的仅有种，；
数字之和为4的有，，3种，；
数字之和为5的有，，，，，6种，；
数字之和为6的有，，，，，，7种，；
数字之和为7的有，，，，，6种，；
数字之和为8的有，，3种，；
数字之和为9的有1种，，
∴.
答：学生小明前三天获得的校园纪念卡背面数字之和X的数学期望为6.
(2)
由题知，，
，
∴，又，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列，∴，即.
13．（2022·云南师大附中高三阶段练习（理））“女排精神”是中国女子排球队顽强战斗、勇敢拼搏精神的总概括．为弘扬“女排精神”，甲、乙两班组织了一次排球比赛，采用“五局三胜”制，无论哪一方先胜三局则比赛结束．假设每局比赛均分出胜负且每局比赛相互独立，每局比赛乙班获胜的概率为．
(1)若前两局已战成平局，求还需比赛3局比赛才结束且乙班获胜的概率；
(2)如果比赛的赛制有“五局三胜”制和“三局两胜”制，对于乙班来说，如何选择比赛赛制对自己获胜更有利，请通过计算说明理由．
【答案】(1)
(2)乙班选择“三局两胜”制对自己获胜更有利；理由见解析
【解析】
【分析】
(1)根据独立事件的概率乘法公式直接计算即可；
(2)根据独立事件的概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接计算即可
(1)
记为事件“第i局乙胜”，为事件“第i局乙输”，，
为事件“还需比赛3局比赛才结束且乙班获胜”，则，
故．
(2)
记为事件““三局两胜”制下乙班获胜”，为事件““五局三胜”制下乙班获胜”，
则（2局获胜）（3局获胜），
（3局获胜）（4局获胜）（5局获胜），
由于，
故乙班选择“三局两胜”制对自己获胜更有利．
14．（2022·全国·模拟预测）某科研小组开发了A，B两系列的水稻种子，其中A系列水稻种子包含5个品种，B系列水稻种子包含7个品种，现从12个品种中任选4个品种进行试验，设随机变量X表示其中A系列中被选中的品种数量．
(1)求X的分布列和期望；
(2)现从A，B两个系列中各选定一个品种进行对照试验，根据试验数据得，在相同条件下，A系列品种的种子产量高于B系列品种的种子产量的概率为，记5次试验中A系列品种的种子产量高于B系列品种的种子产量的次数为Y．
（ⅰ）求；
（ⅱ）记表示A系列种子每穗的水稻重量，由经验可得，求．
（若X服从正态分布，则，，）
【答案】(1)分布列见解析，
(2)（ⅰ）；（ⅱ）0.8185
【解析】
【分析】
（1）根据分布列的定义求X的分布列，再求期望；（2）（ⅰ）根据二项分布的概率公式求解；（ⅱ）利用正态密度曲线求概率．
(1)
由已知X的取值有0，1，2，3，4，
，，
，，
，
∴X的分布列如下
∴．
(2)
（ⅰ）由已知可得，
∴．
（ⅱ）．
15．（2022·黑龙江实验中学模拟预测（理））为考察本科生基本学术规范和基本学术素养，某大学决定对各学院本科毕业论文进行抽检，初步方案是本科毕业论文抽检每年进行一次，抽检对象为上一学年度授予学士学位的论文，初评阶段，每篇论文送位同行专家进行评审，位专家中有位以上（含位）专家评议意见为“不合格”的毕业论文，将认定为“存在问题毕业论文”.位专家中有位专家评议意见为“不合格”，将再送位同行专家（不同于前位）进行复评.复评阶段，位复评专家中有位以上（含位）专家评议意见为“不合格”，将认定为“存在问题毕业论文”.每位专家，判定每篇论文“不合格”的概率均为，且各篇毕业论文是否被判定为“不合格”相互独立.
(1)若，求每篇毕业论文被认定为“存在问题毕业论文”的概率是多少；
(2)学校拟定每篇论文需要复评的评审费用为元，不需要复评的评审费用为元，则每篇论文平均评审费用的最大值是多少？
【答案】(1)；
(2)元.
【解析】
【分析】
（1）根据二项分布和独立事件概率公式可表示出所求概率，代入即可得到结果；
（2）分别求得评审费用所有可能取值对应的概率，可得，利用导数可求得的最大值，由此可确定结果.
(1)
设每篇毕业论文被认定为“存在问题毕业论文”为事件，
则，
，；
(2)
设每篇文章的评审费用为元，则的可能取值为，，
则，；
.
令，，则.
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
的最大值为，每篇论文平均评审费用的最大值是元.
16．（2022·贵州铜仁·模拟预测（理））某省在新高考改革中，拟采取“3+1+2”的考试模式，其中“2”是指考生从政治、化学、生物、地理中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：考生原始成绩（满分100分）从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，确定各等级人数所占比例分别为15%，30%，35%，15%，5%，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到，，，，五个分数区间，得到考生的等级分，等级分满分为100分.具体如下表：
转换公式：，其中，分别表示某个等级所对应原始分区间的下限和上限，，分别表示相应等级的等级分区间的下限和上限，表示某等级内某生的原始分，表示相应等级内该考生的等级分（需四舍五入取整）.例如某学生的政治考试原始成绩为60分，成绩等级为C级，原始分区间为，等级分区间为，设该学生的等级分为，根据公式得：，所以.已知某学校高二年级学生有200人选了政治，以政治期末考试成绩为原始分参照上述等级赋分规则转换本年级的政治等级分，其中所有获得等级的学生原始分区间，其成绩统计如下表：
(1)已知某同学政治原始成绩为91分，求其转换后的等级分；
(2)从政治的等级分不小于95分的学生中任取3名，设这3名学生中等级分不小于97分人数为，求的分布列和期望.
【答案】(1)97分
(2)分布列见解析，
【解析】
(1)
该同学政治原始成绩为91分，在区间上，赋分区间为，
故转换后的等级分为,解得分，
(2)
设等级分为95分对应的原始分为，
由题意得，解得分，
设等级分为97分对应的原始分为，
由题意得，解得分，
即政治的等级分不小于95分的学生有8人，政治等级分不小于97分人数为3人，
则的取值可以为0,1,2,3，
,
,
,
,
则的分布列为
其期望为.
17．（2022·安徽·高三开学考试（理））为了调查某地区高中女生的日均消费情况，研究人员随机抽取了该地区5000名高中女生作出调查，所得数据统计如下图所示．
(1)求a的值以及这5000名高中女生的日均消费的平均数（同一组数据用该组区间的中间值代替）；
(2)在样本中，现按照分层抽样的方法从该地区消费在与的高中女生中随机抽取9人，若再从9人中随机抽取3人，记这3人中消费在的人数为X，求X的分布列以及数学期望．
【答案】(1)，（元）．
(2)分布列见解析，1
【解析】
【分析】
(1)直方图的面积为1，故可以求解a；
（2）根据计数原理，可以求出X每一个可能值的概率.
(1)
由题意得，，解得，
故所求平均数为（元）；
(2)
由题意得，消费在，的高中女生分别有3人和6人，故X的可能取值为0，1，2，3，
∴，，，，
故X的分布列为：
∴；
故答案为：1.
18．（2022·广东深圳·一模）2021年10月16日，神舟十三号载人飞船与天宫空间站组合体完成自主快速交会对接，航天员翟志刚、王亚平、叶光富顺利进驻天和核心舱，由此中国空间站开启了有人长期驻留的时代．为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同．参与者每一轮从口袋中一次性取出3个球，将其中的红球个数记为该轮得分X，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中．当参与完成第n轮游戏，且其前n轮的累计得分恰好为2n时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏．若第3轮后仍未过关，则游戏也结束．每位参与者只能参加一次游戏．
(1)求随机变量X的分布列及数学期望；
(2)若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率．
【答案】(1)分布列见解析，数学期望为
(2)
【解析】
【分析】
（1）先得出随机变量X可取的，并求出相应概率，列出分布列，计算数学期望；
（2）分别求出甲取球1次后、取球2次后、取球3次后可领取纪念的概率，再相加得出甲能够领到纪念品的概率．
(1)
由题意得，随机变量X可取的值为1，2，3，
易知，，所以，
则随机变量X的分布列如下：
所以
(2)
由（1）可知，参与者每轮得1分，2分，3分的概率依次为0.3，0.6，0.1，
记参与者第i轮的得分为，则其前n轮的累计得分为，
若参与者取球1次后可领取纪念品，即参与者得2分，则；
若参与者取球2次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为4分，有“”、“”的情形，
则；
若参与者取球3次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为6分，
有“”、“”的情形，则；
记“参与者能够领取纪念品”为事件A，则
．
19．（2022·安徽·合肥一中高三阶段练习（理））某校高三年级举行元宵喜乐会，两人一组猜灯谜，每轮游戏中，每小组两人各猜灯谜两次，猜对灯谜的次数之和不少于3次就可以获得“最佳拍档”称号.甲乙两人同一小组，甲和乙猜对灯谜的概率分别为，.
(1)若，，求在第一轮游戏中他俩就获得“最佳拍档”称号的概率；
(2)若，且在前n轮游戏中甲乙两人的小组获得“最佳拍档”称号的次数的期望为16次，则n的最小值是多少？并求此时的，的值.
【答案】(1)
(2)，
【解析】
【分析】
（1）根据题意，利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即可求得轮游戏中他俩就获得最佳拍档称号的概率；
（2）求得第一轮游戏中获得“最佳拍档”称号的概率为，根据题意得到，令，得到，结合二次函数的性质和二项分布的性质，即可求解.
(1)
解：由题意，在“第一轮游戏中他俩就获得最佳拍档称号”为事件A，
则.
(2)
解：他们在第一轮游戏中获得“最佳拍档”称号的概率为
，
由于，，因此，故，
令，则，
当时，可得，
甲乙两人小组前n轮游戏中获得“最佳拍档”称号的次数，
由，知.
所以n的最小值是，此时.
20．（2022·全国·模拟预测）党的十九届五中全会强调“创新”在我国现代化建设中的重要战略地位，确保发展经济着力点放在实体经济上，为促进经济活力，拉动市场经济快速发展，必须大力推进大众创业、万众创新．某几位大学毕业生自主创业创办了一家服务公司，该公司提供、两种民生消费产品（人们购买时每次只买其中一种）服务，他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买产品的概率为，购买产品的概率为，而前一次购买产品的人下一次来购买产品的概率为，购买产品的概率为，前一次购买产品的人下一次来购买产品的概率为，购买产品的概率也是，如此往复．记某人第次来购买产品的概率为．
(1)求；
(2)记第二次来公司购买产品的个人中有个人购买产品，人是否购买产品相互独立，求的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望为1
【解析】
【分析】
（1）根据概率公式求出；
（2）根据二项分布的概率公式求得的各种取值所对应的概率，再计算出期望即可.
(1)
某人第次来购买产品的概率为,即；
(2)
由题意得，其中的可能取值有，，，，
故，，，；
故的分布列为
的数学期望为
．

核酸检测结果
口罩批次
合计
呈阳性
12
3
15
呈阴性
28
57
85
合计
40
60
100
40
120
200
P
80
120
160
P
0
1
2
3
4
X
2
3
4
P
0
50
100
150
200
0
120
180
300
0
1
2
3
Y
0
1
2
P
X
3
4
5
6
P
消费金额（千元）
人数
30
50
60
20
30
10
1
2
3
0
1
2
3
4
0
1
2
0
1
2
3
4
P
0.2
0.28
0.3
0.16
0.06
0
1
2
3
P
分组
频数
合计
Y
P
X
0
30
60
90
P
Y
0
20
30
50
60
90
P
X
0
1
2
P
0.1
0.6
0.3
300
400
500
600
0.14
0.56
0.06
0.24
X
0
1
2
3
4
P
等级
比例
15%
30%
35%
15%
5%
赋分区间
原始分
94
93
92
91
90
89
88
87
86
85
84
83
82
人数
1
1
1
2
3
1
2
3
2
2
3
4
5
0
1
2
3
X
0
1
2
3
P
X
1
2
3
P
0.3
0.6
0.1