2021年高考数学二轮专题复习《最值问题》精选练习(含答案)

2021年高考数学二轮专题复习

《最值问题》精选练习

一、选择题

1.已知数列{an}满足a1=1，an－1=3an(n≥2，n∈N*)，其前n项和为Sn，则满足Sn≥的n的最小值为(　　)

A.6          B.5      C.8          D.7

2.已知第一象限的点(a，b)在直线2x＋3y－1=0上，则＋的最小值为(　　)

A.24        B.25      C.26        D.27

3.某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A原料2千克，B原料3千克；生产乙产品1桶需消耗A原料2千克，B原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在每天消耗A，B原料都不超过12千克的条件下，生产这两种产品可获得的最大利润为(　　)

A.1 800元        B.2 100元      C.2 400元        D.2 700元

4.已知函数f(x)=sin x＋cos x在x=θ时取得最大值，则cos=(　　)

A.－       B.－     C.       D.

5.函数f(x)=Acos(ω>0)的部分图象如图所示，给出以下结论：

①f(x)的最大值为A；

②f(x)的最小正周期为2；

③f(x)图象的一条对称轴为直线x=－；

④f(x)在，k∈Z上是减函数.

则正确结论的个数为(　　)

A.1       B.2       C.3       D.4

6.已知f(x)=2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值为3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为(　　)

A.0         B.－5        C.－10         D.－37

7.设函数f(x)=若f(1)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围为(　　)

A.[－1,2)     B.[－1,0]      C.[1,2]     D.[1，＋∞)

8.已知x＞0，y＞0，且4x＋y=xy，则x＋y的最小值为(　　)

A.8      B.9       C.12     D.16

9.已知中，，则的最大值是（    ）

A.       B.       C.       D.

10.将函数的图象，向右平移个单位长度，再把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数f(x)，则下列说法正确的是（    ）

A.函数的最小正周期为

B.函数在区间上单调递增

C.函数在区间上的最小值为

D.是函数的一条对称轴

11.已知,则函数f(x)=sinx+cos2x的最小值是(　　)

A.     B.       C.-1      D.

12.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2(sin2A－sin2C)=(a－b)sin B，△ABC的外接圆半径为.则△ABC面积的最大值为(　　)

A.         B.        C.         D.

二、填空题

13.已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a最小值为______.

14.函数f(x)=sin2x＋sin xcos x在区间上的最小值为________.

15.设函数f(x)=Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0).若函数f(x)在区间上具有单调性，

且f=f=－f，则函数f(x)的最小正周期为________.

16.函数y=logax+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线+-4 =0(m>0,n>0)上,

则+=____________;m+n的最小值为____________. 

0.答案解析

1.答案为：B；

解析：由an－1=3an(n≥2)可得=(n≥2)，可得数列{an}是首项为a1=1，

公比为q=的等比数列，所以Sn==.

由Sn≥可得≥，即1－n≥，得n≥5(n∈N*)，故选B.

2.答案为：B；

解析：因为第一象限的点(a，b)在直线2x＋3y－1=0上，所以2a＋3b－1=0，a>0，b>0，

即2a＋3b=1，所以＋=(2a＋3b)=4＋9＋＋≥13＋2 =25，

当且仅当=，即a=b=时取等号，所以＋的最小值为25.

3.答案为：C;

解析：设生产甲产品x桶，生产乙产品y桶，每天的利润为z元.根据题意，

有z=300x＋400y.作出

所表示的可行域，如图中阴影部分所示，

作出直线3x＋4y=0并平移，当直线经过点A(0,6)时，z有最大值，

zmax=400×6=2 400，故选C.

4.答案为：C；

解析：∵f(x)=sin x＋cos x=2sin，又f(x)在x=θ时取得最大值，

∴θ＋=＋2kπ(k∈Z)，即θ=＋2kπ(k∈Z)，于是cos=

cos=cos=×－×=，故选C.

5.答案为：B；

解析：若A>0，则最大值是A，若A<0，则最大值是－A，故①不正确；

由题图可知，函数f(x)的最小正周期T=2×=2，故②正确；

因为函数f(x)的图象过点和，所以函数f(x)图象的对称轴为直线

x=＋=＋k(k∈Z)，而＋k=－无整数解，

故直线x=－不是函数f(x)图象的对称轴，故③不正确；

由图可知，当－＋kT≤x≤＋＋kT(k∈Z)，即2k－≤x≤2k＋(k∈Z)时，

f(x)是减函数，故④正确.故选B.

6.答案为：D；

解析：由题意知，f′(x)=6x2－12x，由f′(x)=0得x=0或x=2，当x＜0或x＞2时，

f′(x)＞0，当0＜x＜2时，f′(x)＜0，∴f(x)在[－2,0]上单调递增，

在[0,2]上单调递减，由条件知f(0)=m=3，∴f(2)=－5，f(－2)=－37，

∴最小值为－37.

7.答案为：C；

解析：法一：∵f(1)是f(x)的最小值，∴y=2|x－a|在(－∞，1]上单调递减，

∴即∴∴1≤a≤2，故选C.

法二：当a=0时，函数f(x)的最小值是f(0)，不符合题意，排除选项A、B；

当a=3时，函数f(x)无最小值，排除选项D，故选C.

8.答案为：B；

解析：由4x＋y=xy，得＋=1，则x＋y=(x＋y)=＋＋1＋4≥2＋5=9，

当且仅当=，即x=3，y=6时取“=”，故选B.

9.答案为：A

解析：∵，，

∴，，，化为.

可得为锐角，为钝角.

∴，

当且仅当时取等号.∴的最大值是，故选A.

10.答案为：C

解析：将函数的图象向右平移个单位长度，

可得的图象；

再把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象.

显然，的最小正周期为，故A错误.

在区间上，，函数没有单调性，故B错误.

在区间上，，故当时，

函数取得最小值为，故C正确.当时， ，

不是最值，故不是函数的一条对称轴，故D错误，故选C.

11.答案为：D

12.答案为：D；

解析：由正弦定理，得===2，

所以sin A=，sin B=，sin C=，

将其代入2(sin2A－sin2C)=(a－b)sin B，得a2＋b2－c2=ab，

由余弦定理，得cos C==，

又0<C<π，所以C=.

于是S△ABC=absin C=×2sin A×2sin B×sin=3sin Asin B

=[cos(A－B)－cos(A＋B)]=[cos(A－B)＋cos C]=cos(A－B)＋.

当A=B=时，S△ABC取得最大值，最大值为，故选D.

13.答案为：；

解析：由x>a，知x－a>0，则2x＋=2(x－a)＋＋2a

≥2 ＋2a=4＋2a，由题意可知4＋2a≥7，解得a≥，

即实数a的最小值为.

14.答案为：1；

解析：由函数f(x)=sin2x＋sin xcos x=－cos 2x＋sin 2x

=sin＋.∵x∈，∴2x－∈.

当2x－=时，函数f(x)取得最小值为1.

15.答案为：π；

解析：法一：∵f(x)在区间上具有单调性，且f=f，

∴x=和x=均不是f(x)的极值点，其极值应该在x==处取得，

∵f=－f，∴x=也不是函数f(x)的极值点，

又f(x)在区间上具有单调性，∴x=－=为f(x)的另一个相邻的极值点，故函数f(x)的最小正周期T=2×=π.

16.答案为：4，1；

解析：由条件知点A的坐标为(1,1),又点A在直线+-4=0(m>0,n>0)上,

所以+=4,所以m+n= (m+n)=≥=1,

当且仅当=,即m=n=时等号成立,所以m+n的最小值为1.