备战2024年高考数学二轮复习专题05与数列相结合的概率综合问题(原卷版+解析)

这是一份备战2024年高考数学二轮复习专题05与数列相结合的概率综合问题(原卷版+解析)，共41页。试卷主要包含了与数列相结合问题等内容，欢迎下载使用。
常见考点
考点一 与数列相结合问题
典例1．某商场拟在年末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券“的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子（形状为正方体，六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），若向上点数不超2点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为19分，则游戏结束，可得到200元礼券，若累计得分为20分，则游戏结束，可得到纪念品一份，最多进行20轮游戏．
（1）当进行完3轮游戏时，总分为X，求X的期望；
（2）若累计得分为i的概率为，（初始得分为0分，）．
①证明数列，（i＝1，2，…，19）是等比数列；
②求活动参与者得到纪念品的概率．
变式1-1．某商场调研了一年来日销售额的情况，日销售额ξ（万元）服从正态分布．为了增加营业收入，该商场开展“游戏赢奖券”促销活动，购物满300元可以参加1次游戏，游戏规则如下：有一张共10格的方格子图，依次编号为第1格、第2格、第3格、……、第10格，游戏开始时“跳子”在第1格，顾客抛掷一枚均匀的硬币，若出现正面，则“跳子”前进2格（从第k格到第k+2格），若出现反面，则“跳子”前进1格（从第k格到第k+1格），当“跳子”前进到第9格或者第10格时，游戏结束．“跳子”落在第9格可以得到20元奖券，“跳子”落在第10格可以得到50元奖券．
（1）根据调研情况计算该商场日销售额在8万元到14万元之间的概率；（参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．）
（2）记“跳子”前进到第n格（1≤n≤10）的概率为，证明：（2≤n≤9）是等比数列；
（3）求某一位顾客参加一次这样的游戏获得奖券金额的期望．
变式1-2．2020年春天随着疫情的有效控制，高三学生开始返校复课学习.为了减少学生就餐时的聚集排队时间，学校食堂从复课之日起，每天中午都会提供、两种套餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生第一天选择类套餐的概率为、选择类套餐的概率为．而前一天选择了类套餐第二天选择类套餐的概率为、选择套餐的概率为；前一天选择类套餐第二天选择类套餐的概率为、选择类套餐的概率也是，如此往复．记某同学第天选择类套餐的概率为．
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）记高三某宿舍的3名同学在复课第二天选择类套餐的人数为，求的分布列并求；
（3）为了贯彻五育并举的教育方针，培养学生的劳动意识，一个月后学校组织学生利用课余时间参加志愿者服务活动，其中有20位学生负责为全体同学分发套餐．如果你是组长，如何安排分发、套餐的同学的人数呢，说明理由．
变式1-3．安庆市某学校高三年级开学之初增加晚自习，晚饭在校食堂就餐人数增多，为了缓解就餐压力，学校在原有一个餐厅的基础上增加了一个餐厅，分别记做餐厅甲和餐厅乙，经过一周左右统计调研分析：前一天选择餐厅甲就餐第二天选择餐厅甲就餐的概率是25%､选择餐厅乙就餐的概率为75%，前一天选择餐厅乙就餐第二天选择餐厅乙就餐的概率是50%､选择餐厅甲就餐的概率也为50%，如此往复.假设学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是，择餐厅乙就餐的概率是，记某同学第n天选择甲餐厅就餐的概率为.
（1）记某班级的3位同学第二天选择餐厅甲的人数为X，求X的分布列，并求E(X)；
（2）请写出与的递推关系；
（3）求数列的通项公式并帮助学校解决以下问题：为提高学生服务意识和团队合作精神，学校每天从20个班级中每班抽调一名学生志愿者为全体学生提供就餐服务工作，根据上述数据，如何合理分配到餐厅甲和餐厅乙志愿者人数？请说明理由.
典例2．为落实《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，完善学校体育“健康知识＋基本运动技能＋专项运动技能”教学模式，建立“校内竞赛－校级联赛－选拔性竞赛－国际交流比赛”为一体的竞赛体系，构建校、县（区）、地（市）、省、国家五级学校体育竞赛制度．某校开展“阳光体育节”活动，其中传统项目“定点踢足球”深受同学们喜爱．其间甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为，乙每次踢球命中的概率为，且各次踢球互不影响．
（1）经过1轮踢球，记甲的得分为，求的数学期望；
（2）若经过轮踢球，用表示经过第轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率．
①求，，；
②规定，且有，请根据①中，，的值求出、，并求出数列的通项公式．
变式2-1．为迎接2020年国庆节的到来，某电视台举办爱国知识问答竞赛，每个人随机抽取五个问题依次回答，回答每个问题相互独立.若答对一题可以上升两个等级，回答错误可以上升一个等级，最后看哪位选手的等级高即可获胜.甲答对每个问题的概率为，答错的概率为.
（1）若甲回答完5个问题后，甲上的台阶等级数为，求的分布列及数学期望；
（2）若甲在回答过程中出现在第个等级的概率为，证明：为等比数列.
变式2-2．为抢占市场，特斯拉电动车近期进行了一系列优惠促销方案.要保证品质兼优，特斯拉上海工厂在车辆出厂前抽取100辆Mdel3型汽车作为样本进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：
（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代替).
（2）根据大量的测试数据，可以认为Mdel3这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，经计算第（1）问中样本标准差s的近似值为50.用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，现从生产线下任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率.
（3）为迅速抢占市场举行促销活动，特斯拉销售公司现面向意向客户推出“玩游戏，赢大奖，送车模”活动，客户可根据拋掷硬币的结果，指挥车模在方格图上行进，若车模最终停在“幸运之神”方格，则可获得购车优惠券6万元；若最终停在“赠送车模”方格时，则可获得车模一个.已知硬币出现正､反面的概率都是0.5，方格图上标有第0格､第1格､第2格､……､第20格.车模开始在第0格，客户每掷一次硬币，车模向前移动一次.若掷出正面，车模向前移动一格(从k到k+1)，若掷出反面，车模向前移动两格(从k到k+2)，直到移到第19格(幸运之神)或第20格(赠送车模)时游戏结束.设车模移到第格的概率为，试证明是等比数列；若有6人玩游戏，每人参与一次，求这6人获得优惠券总金额的期望值(结果精确到1万元).
参考数据：若随机变量服从正态分布，则
变式2-3．某校园格局呈现四排八栋分布，学生从高一入学到高三毕业需踏着层层台阶登攀，这其中寓意着学校对学生的期盼与激励．现假设台阶标有第0，1，2，…，50级，有一位同学抛掷一枚均匀质地的骰子进行登攀台阶游戏，这位同学开始时位于第0级，若掷出偶数点，则向上一步登一级台阶，若掷出奇数点，则向上一步登两级台阶，直到登上第49级（成功）或第50级（失败），游戏结束．设为登攀至第n级的步数，这位同学登到第n级的概率为．
（I）求的分布列与数学期望；
（Ⅱ）证明：为等比数列．
巩固练习
练习一 与数列相结合问题
1．某景点上山共有999级台阶，寓意长长久久.甲上台阶时，可以一步上一个台阶，也可以一步上两个台阶，若甲每步上一个台阶的概率为，每步上两个台阶的概率为，为了简便描述问题，我们约定，甲从0级台阶开始向上走，一步走一个台阶记1分，一步走两个台阶记2分，记甲登上第n个台阶的概率为，其中，且.
(1)若甲走3步时所得分数为X，求X的概率分布；
(2)证明：数列是等比数列；
(3)求甲在登山过程中，恰好登上第99级台阶的概率.
2．近年来，新能源汽车产业大规模发展，某汽车产品自生产并投人市场以来，受到多位消费者质疑其电池产品质量，汽车厂家提供甲､乙两家第三方检测机构对产品进行质量检测，邀请多位车主进行选择，每位车主只能挑选一家.若选择甲机构记1分，若选择乙机构记2分，每位车主选择两个机构的概率相等，且相互独立.
(1)若参加的车主有3人，记总得分为X，求X的分布列与数学期望；
(2)若有位车主，记总得分恰好为n分的概率为，求数列的通项公式；
(3)在（2）的条件下，汽车厂商决定总得分为99分或100分时就停止计分，若总得为99分就选甲机构，总得分为100分就选乙机构，请分析这种方案是否合理.
3．武汉又称江城，它不仅有深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，还有众多名胜古迹与旅游景点，其中黄鹤楼与东湖被称为武汉的两张名片.为合理配置旅游资源，现对某日已游览黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查，若不继续游玩东湖记1分，继续游玩东湖记2分，每位游客游玩东湖的概率均为，游客是否游玩东湖相互独立.
（1）若从游客中随机抽取m人，记总分恰为m分的概率为，求数列的前10项和；
（2）在对所有游客进行随机问卷调查过程中，记已调查过的游客的累计得分恰为n分的概率为，探讨与之间的关系，并求数列的通项公式.
4．某植物学家培养出一种观赏性植物，会开出红花或黄花，已知该植物第一代开红花和黄花的概率都是，从第二代开始，若上一代开红花，则这一代开红花的概率是，开黄花的概率是，若上一代开黄花，则这一代开红花的概率是，开黄花的概率是，记第代开红花的概率是，第代开黄花的概率为，
（1）求；
（2）试求数列的通项公式；
（3）第代开哪种颜色的花的概率更大.
5．有一对夫妻打算购房，对本城市30个楼盘的均价进行了统计，得到如下频数分布表：
（1）若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，现任取一个楼盘的均价，假定，求均价恰在8.12千元到9.24千元之间的概率；
（2）经过一番比较，这对夫妻选定了一个自己满意的楼盘，恰巧该楼盘推出了趣味蹦台阶送忧惠活动，由两个客户配合完成该活动，在一个口袋中有大小材质均相同的红球40个，黑球20个，客户甲可随机从口袋中取出一个球，取后放回，若取出的是红球，则客户乙向上蹦两个台阶，若取出的是黑球，则客户乙向上蹦一个台阶，直到客户乙蹦上第5个台阶（每平方米优惠0.3千元）或第6个台阶（每平方米优惠3千元）时（活动开始时的位置记为第0个台阶），游戏结束.
①设客户乙站到第个台阶的概率为，证明：当时，数列是等比数列；
②若不参加蹦台阶活动，则直接每平方米优惠1.4千元，为了获得更大的优惠幅度，请问该对夫妻是否应参与蹦台阶活动.
参考数据：取，.若，则，，.
6．根据各方达成的共识，军运会于2019年10月18日至27日在武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项、329个小项.其中，空军五项、军事五项、海军五项、定向越野和跳伞5个项目为军事特色项目，其他项目为奥运项目.现对国在射击比赛预赛中的得分数据进行分析，得到如下的频率分布直方图：
（1）估计国射击比赛预赛成绩得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）根据大量的射击成绩测试数据，可以认为射击成绩X近似地服从正态分布，经计算第（1）问中样本标准差的近似值为50，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，求射击成绩得分恰在350到400的概率；（参考数据：若随机变量服从正态分布，则：，，）.
（3）某汽车销售公司在军运会期间推广一款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”，活动，客户可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.已知骰子出现任意点数的概率都是，方格图上标有第0格，第1格，第2格，……第50格.遥控车开始在第0格，客户每抛掷一次骰子，遥控车向前移动一次，若抛掷出正面向上的点数是1，2，3，4，5点，遥控车向前移动一格（从到），若抛掷出正面向上的点数是6点，遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移动到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束.设遥控车移动到第格的概率为，试证明是等比数列，并求，以及根据的值解释这种游戏方案对意向客户是否有吸引力.
7．为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复．
（1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；
（2）记该同学第天选择米饭套餐的概率为．
（i）证明：为等比数列；
（ii）证明：当时，．
8．某商场拟在周年店庆进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子（形状为正方体，六个面的点数分别为，，，，，），若向上点数不超过点，获得分，否则获得分，进行若干轮游戏，若累计得分为分，则游戏结束，可得到元礼券，若累计得分为分，则游戏结束，可得到纪念品一份，最多进行轮游戏．
（1）当进行完轮游戏时，总分为，求的数学期望；
（2）若累计得分为的概率为，（初始分数为分，记）．
（i）证明数列是等比数列；
（ii）求活动参与者得到纪念品的概率．
均价（单位：千元）
频数
2
2
11
10
4
1
第四篇 概率与统计
专题05 与数列相结合的概率综合问题
常见考点
考点一 与数列相结合问题
典例1．某商场拟在年末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券“的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子（形状为正方体，六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），若向上点数不超2点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为19分，则游戏结束，可得到200元礼券，若累计得分为20分，则游戏结束，可得到纪念品一份，最多进行20轮游戏．
（1）当进行完3轮游戏时，总分为X，求X的期望；
（2）若累计得分为i的概率为，（初始得分为0分，）．
①证明数列，（i＝1，2，…，19）是等比数列；
②求活动参与者得到纪念品的概率．
【答案】（1）5；（2）①证明见解析；②．
【解析】
【分析】
（1）由题意可知每轮游戏获得1分的概率为，获得2分的概率为，而每轮游戏的结果互相独立，设进行完3轮游戏时，得1分的次数为，所以，，即可求出X的期望；
（2）①根据累计得分为i的概率为，分两种情形讨论得分情况，从而得到递推式，再根据构造法即可证出数列是等比数列；
②根据①可求出，再根据累加法即可求出，然后由从而解出．
【详解】
（1）由题意可知每轮游戏获得1分的概率为，获得2分的概率为，设进行完3轮游戏时，得1分的次数为，所以，，而，即随机变量X可能取值为3，4，5，6，
，，
，．
∴X的分布列为：
E（X）＝＝5．
（2）①证明：n＝1，即累计得分为1分，是第1次掷骰子，向上点数不超过2点，，则，累计得分为i分的情况有两种：
（Ⅰ）i＝（i﹣2）＋2，即累计得i﹣2分，又掷骰子点数超过2点，其概率为，
（Ⅱ）累计得分为i﹣1分，又掷骰子点数没超过2点，得1分，其概率为，
∴，∴，（i＝2，3，•••，19），∴数列，（i＝1，2，…，19）是首项为﹣，公比为﹣的等比数列．
②∵数列，（i＝1，2，…，19）是首项为﹣，公比为﹣的等比数列，
∴，
∴，，•••，，
各式相加，得：，
∴，（i＝1，2，•••，19），
∴活动参与者得到纪念品的概率为：
．
【点睛】
本题第一问解题关键是明确得1分的次数为服从二项分布，从而找到所求变量与的关系，列出分布列，求得期望；第二问①主要是递推式的建立，分析判断如何得到分的情况，进而得到，利用数列知识即可证出，②借由①的结论，求出，分析可知，从而解出．
变式1-1．某商场调研了一年来日销售额的情况，日销售额ξ（万元）服从正态分布．为了增加营业收入，该商场开展“游戏赢奖券”促销活动，购物满300元可以参加1次游戏，游戏规则如下：有一张共10格的方格子图，依次编号为第1格、第2格、第3格、……、第10格，游戏开始时“跳子”在第1格，顾客抛掷一枚均匀的硬币，若出现正面，则“跳子”前进2格（从第k格到第k+2格），若出现反面，则“跳子”前进1格（从第k格到第k+1格），当“跳子”前进到第9格或者第10格时，游戏结束．“跳子”落在第9格可以得到20元奖券，“跳子”落在第10格可以得到50元奖券．
（1）根据调研情况计算该商场日销售额在8万元到14万元之间的概率；（参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．）
（2）记“跳子”前进到第n格（1≤n≤10）的概率为，证明：（2≤n≤9）是等比数列；
（3）求某一位顾客参加一次这样的游戏获得奖券金额的期望．
【答案】（1）0．8186；（2）证明见解析；（3）期望为元．
【解析】
（1）由服从正态分布可得；
（2）计算出、，“跳子”前进到第格的情况得到
，可得化简可得答案；
（3）设某一位顾客参加一次这样的游戏获得奖券金额为Χ元，则Χ的值可取20和50，
求出对应的概率可列出分布列求出期望.
【详解】
（1）由服从正态分布可得：
∴．
（2）“跳子”开始在第1 格为必然事件，．第一次掷硬币出现反面，“跳子”移到第2格，其概率为，即，
“跳子”前进到第格的情况是下面两种，而且只有两种：
①“跳子”先到第格，又掷出正面，其概率为，
②“跳子”先到第格，又掷出反面，其概率为，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴当时，数列是等比数列，首项为，公比为．
（3）设某一位顾客参加一次这样的游戏获得奖券金额为Χ元，则Χ的值可取20和50，
由（2）可知，
∴
，也适合，
∴，．
Χ的分布列为：
则Χ的期望为（元）.
【点睛】
本题考查了正态分布、随机变量的分布列，关键点是证明数列是等比数列、求出所有可能取值对应的概率，考查了学生分析问题、解决问题的能力，是一道综合题．
变式1-2．2020年春天随着疫情的有效控制，高三学生开始返校复课学习.为了减少学生就餐时的聚集排队时间，学校食堂从复课之日起，每天中午都会提供、两种套餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生第一天选择类套餐的概率为、选择类套餐的概率为．而前一天选择了类套餐第二天选择类套餐的概率为、选择套餐的概率为；前一天选择类套餐第二天选择类套餐的概率为、选择类套餐的概率也是，如此往复．记某同学第天选择类套餐的概率为．
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）记高三某宿舍的3名同学在复课第二天选择类套餐的人数为，求的分布列并求；
（3）为了贯彻五育并举的教育方针，培养学生的劳动意识，一个月后学校组织学生利用课余时间参加志愿者服务活动，其中有20位学生负责为全体同学分发套餐．如果你是组长，如何安排分发、套餐的同学的人数呢，说明理由．
【答案】（1）证明见解析，；（2）分布列见解析，1；（3）套餐的8人， 套餐的12人；理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）依题意得，根据递推关系即可证明是等比数列，利用等比数列通项公式求得的通项，即可求得的通项公式；
（2）依题意求得第二天选择、类套餐的概率，列出的可能取值，结合二项分布求得分布列与数学期望；
（3）由的通项公式得，根据总人数即可求得分发、套餐的同学的人数．
【详解】
（1）依题意，，
则.
当时，可得，
∴数列是首项为公比为的等比数列.
.
（2）第二天选择类套餐的概率；
第二天选择类套餐的概率，
∴3人在第二天的有个人选择套餐，
的所有可能取值为0、1、2、3，
有，
∴的分布列为
故.
（3）由（1）知：，
∴，即第30次以后购买套餐的概率约为.
则，
∴负责套餐的8人，负责套餐的12人.
【点睛】
思路点睛：
求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：
（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）
变式1-3．安庆市某学校高三年级开学之初增加晚自习，晚饭在校食堂就餐人数增多，为了缓解就餐压力，学校在原有一个餐厅的基础上增加了一个餐厅，分别记做餐厅甲和餐厅乙，经过一周左右统计调研分析：前一天选择餐厅甲就餐第二天选择餐厅甲就餐的概率是25%､选择餐厅乙就餐的概率为75%，前一天选择餐厅乙就餐第二天选择餐厅乙就餐的概率是50%､选择餐厅甲就餐的概率也为50%，如此往复.假设学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是，择餐厅乙就餐的概率是，记某同学第n天选择甲餐厅就餐的概率为.
（1）记某班级的3位同学第二天选择餐厅甲的人数为X，求X的分布列，并求E(X)；
（2）请写出与的递推关系；
（3）求数列的通项公式并帮助学校解决以下问题：为提高学生服务意识和团队合作精神，学校每天从20个班级中每班抽调一名学生志愿者为全体学生提供就餐服务工作，根据上述数据，如何合理分配到餐厅甲和餐厅乙志愿者人数？请说明理由.
【答案】（1）分布列答案见解析，；
（2）；
（3）分配到餐厅甲和餐厅乙志愿者人数8人和12人，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）依题意可得，进而可得分布列和期望；
（2）由可得结果；
（3）由（2）求得，且，由此可得分配方案.
【详解】
（1）某同学第二天选择餐厅甲就餐的概率，
某同学第二天选择餐厅乙就餐的概率，
位同学第二天选择餐厅甲就餐的人数为，则.
，
的分布列为
故.
（2）依题意，，即.
（3）由（2）知，则当时，可得，
数列是首项为公比为的等比数列.
，即.
，
所以，分配到餐厅甲的志愿者人数为，分配到餐厅乙的志愿者人数为.
【点睛】
关键点点睛：第（1）问的关键点是：探究得到；后两问的关键点是得到递推关系.
典例2．为落实《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，完善学校体育“健康知识＋基本运动技能＋专项运动技能”教学模式，建立“校内竞赛－校级联赛－选拔性竞赛－国际交流比赛”为一体的竞赛体系，构建校、县（区）、地（市）、省、国家五级学校体育竞赛制度．某校开展“阳光体育节”活动，其中传统项目“定点踢足球”深受同学们喜爱．其间甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为，乙每次踢球命中的概率为，且各次踢球互不影响．
（1）经过1轮踢球，记甲的得分为，求的数学期望；
（2）若经过轮踢球，用表示经过第轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率．
①求，，；
②规定，且有，请根据①中，，的值求出、，并求出数列的通项公式．
【答案】（1）；（2）①，，；②，.
【解析】
【分析】
（1）的可能取值为，0，1，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列与期望；
（2）①，经过2轮投球甲的累计得分高有两种情况：一是2轮甲各得1分，二是2轮中有1轮甲得0分，有1轮甲得1分，由此能求出．经过3轮投球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得分．由此能求出．
②推导出，将，代入得，，推导出是首项与公比都是的等比数列，由此能求出结果．
【详解】
（1）记一轮踢球，甲命中为事件，乙命中为事件，，相互独立．
由题意，，甲的得分的可能取值为，0，1．
，
．
，
∴的分布列为：
．
（2）①由（1），
．
经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得分．
∴，
②∵规定，且有，
∴代入得：，
∴，∴数列是等比数列，
公比为，首项为，∴．
∴．
【点睛】
关键点睛：利用待定系数法得到后，紧扣等比数列定义是解决问题的关键.
变式2-1．为迎接2020年国庆节的到来，某电视台举办爱国知识问答竞赛，每个人随机抽取五个问题依次回答，回答每个问题相互独立.若答对一题可以上升两个等级，回答错误可以上升一个等级，最后看哪位选手的等级高即可获胜.甲答对每个问题的概率为，答错的概率为.
（1）若甲回答完5个问题后，甲上的台阶等级数为，求的分布列及数学期望；
（2）若甲在回答过程中出现在第个等级的概率为，证明：为等比数列.
【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）首先确定的所有可能取值，根据概率公式分别求出对应发生的概率，列出分布列，即可求出数学期望；
（2）根据已知的关系，求出与，的关系式，再通过化简和等比数列的定义求解即可.
【详解】
解：（1）依题意可得，，
，，
，，
，，
则的分布列如表所示.
.
（2）处于第个等级有两种情况：
由第等级到第等级，其概率为；
由第等级到第等级，其概率为；
所以，所以，
即.
所以数列为等比数列.
【点睛】
本题考查概率公式､随机变量的分布列及数学期望，考查运算求解能力､数据处理能力，考查数学运算､逻辑推理核心素养.其中第二问解题的关键在于寻找与，的关系式，即：，进而根据等比数列的定义证明.
变式2-2．为抢占市场，特斯拉电动车近期进行了一系列优惠促销方案.要保证品质兼优，特斯拉上海工厂在车辆出厂前抽取100辆Mdel3型汽车作为样本进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：
（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代替).
（2）根据大量的测试数据，可以认为Mdel3这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，经计算第（1）问中样本标准差s的近似值为50.用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，现从生产线下任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率.
（3）为迅速抢占市场举行促销活动，特斯拉销售公司现面向意向客户推出“玩游戏，赢大奖，送车模”活动，客户可根据拋掷硬币的结果，指挥车模在方格图上行进，若车模最终停在“幸运之神”方格，则可获得购车优惠券6万元；若最终停在“赠送车模”方格时，则可获得车模一个.已知硬币出现正､反面的概率都是0.5，方格图上标有第0格､第1格､第2格､……､第20格.车模开始在第0格，客户每掷一次硬币，车模向前移动一次.若掷出正面，车模向前移动一格(从k到k+1)，若掷出反面，车模向前移动两格(从k到k+2)，直到移到第19格(幸运之神)或第20格(赠送车模)时游戏结束.设车模移到第格的概率为，试证明是等比数列；若有6人玩游戏，每人参与一次，求这6人获得优惠券总金额的期望值(结果精确到1万元).
参考数据：若随机变量服从正态分布，则
【答案】（1）(千米)；（2）；（3）证明见解析，优惠券总金额的期望万元.
【解析】
（1）利用频率分布直方图能估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值．
（2）服从正态分布，由此能求出它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率．
（3）遥控车开始在第0格为必然事件，，第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为，即．遥控车移到第格的情况是下列两种，而且也只有两种．①遥控车先到第格，又掷出反面，其概率为，②遥控车先到第格，又掷出正面，其概率为，从而，进而能证明当时，数列是公比为的等比数列，由此能求出结果．
【详解】
（1）（千米）
（2）因为服从正态分布
所以
（3）第一次掷硬币出现正面，车模从第0格移到第一格，其概率为即移动到第二格有两类情况.车模移到第()格的情况是下列两种，而且也只有两种.
①车模先到第格，又掷出反面，其概率为
②车模先到第格，又掷出正面，其概率为
所以，，
当时，数列是公比为的等比数列.
，经验证也满足.是公比为的等比数列.
以上各式相加，得
即
()，经检验时也符合.
，
获得优惠券的概率
获得车模的概率
设参与游戏的6人获得优惠券的有人，由题可知
的期望
设优惠卷总金额为万元，
优惠券总金额的期望万元
【点睛】
关键点睛：由于频率分布直方图中是没有样本数据的，平均值等于每个小长方形面积乘每组横坐标的中点，然后相加求和，且所有矩形的面积之和为1.
变式2-3．某校园格局呈现四排八栋分布，学生从高一入学到高三毕业需踏着层层台阶登攀，这其中寓意着学校对学生的期盼与激励．现假设台阶标有第0，1，2，…，50级，有一位同学抛掷一枚均匀质地的骰子进行登攀台阶游戏，这位同学开始时位于第0级，若掷出偶数点，则向上一步登一级台阶，若掷出奇数点，则向上一步登两级台阶，直到登上第49级（成功）或第50级（失败），游戏结束．设为登攀至第n级的步数，这位同学登到第n级的概率为．
（I）求的分布列与数学期望；
（Ⅱ）证明：为等比数列．
【答案】（Ⅰ）分布列见解析，；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由题意，登至第3级的基本事件{3次偶数，1次奇数1次偶数}，即可能取值为2，3，每次掷奇数、偶数的概率都为，根据二项分布，并结合古典概型求概率，写出分布列并出求期望；
（Ⅱ）从第级登至第级的概率为，从第级登至第级的概率为，由条件概率及概率加法公式得并整理，又即可证等比数列.
【详解】
（Ⅰ）由定义知，可能取值为2，3．
根据条件概率计算公式得：，．
的分布列为
∴．
（Ⅱ）证明：由题意，，则；
又，
∴数列是首项、公比均为的等比数列．
【点睛】
关键点点睛：
（1）由登至第n级的各个基本事件都是独立试验，应用二项分布公式求概率，再由概率加法公式，结合古典概率求登至第n级概率；
（2）理解登至第级可以从第级或第级一次性完成，结合概率加法公式确定的关系式.
巩固练习
练习一 与数列相结合问题
1．某景点上山共有999级台阶，寓意长长久久.甲上台阶时，可以一步上一个台阶，也可以一步上两个台阶，若甲每步上一个台阶的概率为，每步上两个台阶的概率为，为了简便描述问题，我们约定，甲从0级台阶开始向上走，一步走一个台阶记1分，一步走两个台阶记2分，记甲登上第n个台阶的概率为，其中，且.
(1)若甲走3步时所得分数为X，求X的概率分布；
(2)证明：数列是等比数列；
(3)求甲在登山过程中，恰好登上第99级台阶的概率.
【答案】(1)分布列见解析
(2)证明见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）考虑甲走3步时,是一步上一个台阶还是一步上两个台阶,从而写出X的所有可能取值，求出每一个值对应的概率，即可得X 的分布列；
（2）由题意可得到递推式，构造数列，从而证明结论；
（3）利用（2）的结论，采用累加求和，结合等比数列的前n项和公式，求得答案.
(1)
由题意可得X的所有可能取值为3，4，5，6，
，，
，，
∴X的分布列为：
(2)
证明：由题可得，
∴，∵，，∴，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列.
(3)
由（2）可得
.
2．近年来，新能源汽车产业大规模发展，某汽车产品自生产并投人市场以来，受到多位消费者质疑其电池产品质量，汽车厂家提供甲､乙两家第三方检测机构对产品进行质量检测，邀请多位车主进行选择，每位车主只能挑选一家.若选择甲机构记1分，若选择乙机构记2分，每位车主选择两个机构的概率相等，且相互独立.
(1)若参加的车主有3人，记总得分为X，求X的分布列与数学期望；
(2)若有位车主，记总得分恰好为n分的概率为，求数列的通项公式；
(3)在（2）的条件下，汽车厂商决定总得分为99分或100分时就停止计分，若总得为99分就选甲机构，总得分为100分就选乙机构，请分析这种方案是否合理.
【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：；
(2)；
(3)这方案不合理，分析答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题意可知，随机变量X的可能取值有3，4，5，6.分别求得随机变量取每一值时的概率得其分布列，由数学期望公式可求得答案；
（2）依题意，总得分恰好为n分时，得不到n分的情况是先得（）分，再得，概率为，即有，由此可求得答案；
（3）由（2）求得，，比较可得结论.
(1)
解：由题意可知，随机变量X的可能取值有3，4，5，6.
，，，.
∴随机变量X的分布列如下表所示：
∴.
(2)
解：依题意，总得分恰好为n分时，得不到n分的情况是先得（）分，再得2分，概率为，
∴，即.
又，，∴，即.
(3)
解：因为，，∴，
∴选择乙机构的概率大于甲机构，这方案不合理.
3．武汉又称江城，它不仅有深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，还有众多名胜古迹与旅游景点，其中黄鹤楼与东湖被称为武汉的两张名片.为合理配置旅游资源，现对某日已游览黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查，若不继续游玩东湖记1分，继续游玩东湖记2分，每位游客游玩东湖的概率均为，游客是否游玩东湖相互独立.
（1）若从游客中随机抽取m人，记总分恰为m分的概率为，求数列的前10项和；
（2）在对所有游客进行随机问卷调查过程中，记已调查过的游客的累计得分恰为n分的概率为，探讨与之间的关系，并求数列的通项公式.
【答案】（1）；（2），.
【解析】
【分析】
（1）由题意求出，利用等比数列求和即可；
（2）根据概率关系可得，构造等比数列求通项公式即可.
【详解】
（1）总分恰为分的概率为，
∴数列是首项为，公比为的等比数列，
则其前10项和.
（2）已调查过的游客的累计得分恰为分的概率为，得不到分的情况只有先得分，再得2分，概率为，.
∴，即，
∴.
∴数列是首项为，公比为的等比数列，
∴.
4．某植物学家培养出一种观赏性植物，会开出红花或黄花，已知该植物第一代开红花和黄花的概率都是，从第二代开始，若上一代开红花，则这一代开红花的概率是，开黄花的概率是，若上一代开黄花，则这一代开红花的概率是，开黄花的概率是，记第代开红花的概率是，第代开黄花的概率为，
（1）求；
（2）试求数列的通项公式；
（3）第代开哪种颜色的花的概率更大.
【答案】（1）；（2）；（3）第n代开黄花的概率更大.
【解析】
【分析】
（1）由计算；
（2）由关系式可得是等比数列，从而求得；
（3）由的表达式可得，从而，从而可得结论．
【详解】
解（1）第二代开红花包含两个互斥事件，即第一代开红花后第二代也开红花，第一代开黄花而第二代开红花，
故由，得：
（2）由题意可知，第n代开红花的概率与第代的开花的情况相关，故有
则有，
由于，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
所以，所以
（3）由（2），
故有当n时，，因此第代开黄花的概率更大.
5．有一对夫妻打算购房，对本城市30个楼盘的均价进行了统计，得到如下频数分布表：
（1）若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，现任取一个楼盘的均价，假定，求均价恰在8.12千元到9.24千元之间的概率；
（2）经过一番比较，这对夫妻选定了一个自己满意的楼盘，恰巧该楼盘推出了趣味蹦台阶送忧惠活动，由两个客户配合完成该活动，在一个口袋中有大小材质均相同的红球40个，黑球20个，客户甲可随机从口袋中取出一个球，取后放回，若取出的是红球，则客户乙向上蹦两个台阶，若取出的是黑球，则客户乙向上蹦一个台阶，直到客户乙蹦上第5个台阶（每平方米优惠0.3千元）或第6个台阶（每平方米优惠3千元）时（活动开始时的位置记为第0个台阶），游戏结束.
①设客户乙站到第个台阶的概率为，证明：当时，数列是等比数列；
②若不参加蹦台阶活动，则直接每平方米优惠1.4千元，为了获得更大的优惠幅度，请问该对夫妻是否应参与蹦台阶活动.
参考数据：取，.若，则，，.
【答案】（1）；（2）①证明见解析；②应参与.
【解析】
【分析】
（1）根据频数分布表计算均值与方差，得，然后由对称性和特定区间的概率得出结论；
（2）①由已知，，而时，即客户到第人台阶分为两种情况：一是从第个台阶跳一级过来，另一个是从第个台阶跳2级过来，由此可得递推关系，变形后可证题设结论；
②利用①求得，计算参加活动的期望值与比较可得．
【详解】
（1），
.
因为，，，所以.
所以.
（2）①证明：客户开始游戏时在第0个台阶为必然事件，故，客户甲第一次摸得黑球，客户乙迈上第一个台阶，其概率为，故.
客户乙迈入第个台阶的情况为下列两种，而且也只有两种.
一是客户乙先到第格，客户甲又摸出红球，其概率为；
二是客户乙先到第格，客户甲又摸出黑球，其概率为，
所以，则.
所以当时，数列是首项为，公比为的等比数列.
②由①知，当时，，
所以
，
整理得，所以，
且.
设这对夫妻参与游戏获得优惠的期望为每平方米千元，
则（千元）.
因为，所以参与游戏比较划算.
6．根据各方达成的共识，军运会于2019年10月18日至27日在武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项、329个小项.其中，空军五项、军事五项、海军五项、定向越野和跳伞5个项目为军事特色项目，其他项目为奥运项目.现对国在射击比赛预赛中的得分数据进行分析，得到如下的频率分布直方图：
（1）估计国射击比赛预赛成绩得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）根据大量的射击成绩测试数据，可以认为射击成绩X近似地服从正态分布，经计算第（1）问中样本标准差的近似值为50，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，求射击成绩得分恰在350到400的概率；（参考数据：若随机变量服从正态分布，则：，，）.
（3）某汽车销售公司在军运会期间推广一款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”，活动，客户可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.已知骰子出现任意点数的概率都是，方格图上标有第0格，第1格，第2格，……第50格.遥控车开始在第0格，客户每抛掷一次骰子，遥控车向前移动一次，若抛掷出正面向上的点数是1，2，3，4，5点，遥控车向前移动一格（从到），若抛掷出正面向上的点数是6点，遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移动到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束.设遥控车移动到第格的概率为，试证明是等比数列，并求，以及根据的值解释这种游戏方案对意向客户是否有吸引力.
【答案】（1）300；（2）0.1359；（3）证明见解析，，对意向客户有吸引力.
【解析】
【分析】
（1）利用组中值代入求平均值；
（2）写出正态分布，代入即可；
（3）根据题意确定，是首项为，公比为的等比数列，写出通项公式，利用差分求出，求出，通过比较，可得结论.
【详解】
（1）；
（2）因为，
所以；
（3）摇控车开始在第0格为必然事件，，
第一次掷骰子，正面向上不出现6点，摇控车移动到第1格，其概率为，即；摇控车移到第格格的情况是下列两种，而且也只有两种；
①摇控车先到第格，抛掷出正面向上的点数为6点，其概率为；
②摇控车先到第格，抛掷骰子正面向上不出现6点，其概率为，
故，，
故时，是首项为，公比为的等比数列，
故，
，
，
，
故这种游戏方案客户参与中奖的可能性较大，对意向客户有吸引力.
7．为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复．
（1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；
（2）记该同学第天选择米饭套餐的概率为．
（i）证明：为等比数列；
（ii）证明：当时，．
【答案】（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）设“第天选择米饭套餐”，“第天选择米饭套餐”，“第天不选择米饭套餐”．由全概率公式有，计算可得；
（2）（i）设“第天选择米饭套餐”，则，依照（1）可得与的关系，然后根据等比数列定义证明；
（ii）求出通项公式，然后分类讨论证明结论．
【详解】
解：（1）设“第天选择米饭套餐”，“第天选择米饭套餐”，
则“第天不选择米饭套餐”．
根据题意，，，．
由全概率公式，得．
（2）（i）设“第天选择米饭套餐”，则，，
根据题意，．
由全概率公式，得．
因此．
因为，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
（ii）由（i）可得．
当为大于的奇数时，．
当为正偶数时，．
因此当时，．
8．某商场拟在周年店庆进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子（形状为正方体，六个面的点数分别为，，，，，），若向上点数不超过点，获得分，否则获得分，进行若干轮游戏，若累计得分为分，则游戏结束，可得到元礼券，若累计得分为分，则游戏结束，可得到纪念品一份，最多进行轮游戏．
（1）当进行完轮游戏时，总分为，求的数学期望；
（2）若累计得分为的概率为，（初始分数为分，记）．
（i）证明数列是等比数列；
（ii）求活动参与者得到纪念品的概率．
【答案】（1）4；（2）（i）证明见解析；（ii）.
【解析】
【分析】
（1）由题意求出的可能取值，然后求出对应的概率，进而列出分布列，并根据我期望的概念求出期望即可；
（2）（i）若累计得分为的概率为，分两种情况讨论得分情况，从而得到递推公式，再结合构造法即可得证；
（ii）根据（i）求出，再结合累加法即可求出，进而可以求得结果.
【详解】
解：（Ⅰ）由题意得每轮游戏获得分的概率为，获得分的概率为，可能取值为，，，，
，，
，，
的分布列：
；
（Ⅱ）（i）（证明：，即累计得分为分，是第次掷骰子，向上点数不超过点的概率，则，累计得分为分的情况有两种：
（1），即前一轮累计得分，又掷骰子点数超过点其概率为，
（2）前一轮累计得分为分，又掷骰子点数没超过点得分其概率为，
，
，
数列，是首项为，公比为的等比数列．
（ii）数列，是首项为，公比为的等比数列．
，
，，……，，
各式相加，得：，
，，
活动参与者得到纪念品的概率为：．
X
3
4
5
6
P
Χ
20
50
P
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
5
6
7
8
9
10
X
3
4
5
6
P
X
3
4
5
6
P
均价（单位：千元）
频数
2
2
11
10
4
1