表面积与体积问题、外接球问题、内切球问题专项训练-2026届高考数学二轮复习

这是一份表面积与体积问题、外接球问题、内切球问题专项训练-2026届高考数学二轮复习，共14页。
例1．（2026·湖北荆门·模拟预测）“圆柱容球”是阿基米德最欣赏的几何体．如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，球与圆柱的体积之比为，表面积之比为，则（ ）

A．，B．C．，D．
例2．（2026·新疆·模拟预测）如图所示的扇形是某圆锥的侧面展开图，，，，分别是，上一点，且，若阴影部分的面积为，则阴影部分所围成的圆台的体积是（ ）
A．B．C．D．
例3．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，向一个高为4且底面水平放置的正四棱锥容器注水，水面高度为2时停止注水（不考虑容器厚度），将此四棱锥容器倒置时，水面高度为（ ）
A．B．C．D．3
例4．（2026·云南大理·二模）庑殿顶是中国传统建筑中等级最高的屋顶形式之一，形态为四面斜坡，有一条正脊和四条斜脊，《九章算术》中将类似庑殿顶的几何体称为“刍甍”（图1）．据记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广（袤：南北方向长度；广：东西方向长度）”，其体积公式为：（上袤下袤）广高．如图2所示，刍甍是底面为矩形的五面体，顶部是一条与底面平行的正脊，四条斜脊长度相等，若下袤为，广为，上袤是下袤的，和与底面所成角均为，则该刍甍的体积为 ．
例5．（25-26高三上·重庆沙坪坝·月考）如图，正方体 棱长为2， 为 的中点， 为空间中的点，且满足 ，则多面体 体积的最大值为 .
例6．（2026·辽宁大连·模拟预测）三棱锥的一组对棱长为，其余四条棱长均为1，则该三棱锥体积最大值为 .
变式1．（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知正三棱柱的内切球体积为，则此正三棱柱的表面积为（ ）
A．108B．108C．162D．
变式2．（2026·山东泰安·一模）已知某圆锥的母线长为4，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
变式3．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在一个底面边长为4，侧棱长为的正四棱锥中，大球内切于该四棱锥，小球与大球及四棱锥的四个侧面相切，则小球的体积为（ ）．
A．B．C．D．
变式4．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）已知圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，正四棱台的上底面四个顶点均在圆锥的侧面上，下底面四个顶点均在圆锥的底面圆周上，若正四棱台的上、下底面面积比为，则该正四棱台的体积为
变式5．（2026·山东济南·一模）已知正方体的棱长为2，点均在某圆锥的侧面上，点均在该圆锥的底面上，则该圆锥的体积的最小值为 .
变式6．（2026·辽宁沈阳·一模）已知球内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上､下底面以及侧面均相切），且该正四棱台的上､下底面棱长之比为，则球与该正四棱台的体积之比为 .
考点二 外接球问题
例1．（2026·河南鹤壁·一模）一个圆锥的底面直径为2，体积为，若该圆锥能够被整体放入一个球内，则该球的表面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2026·四川泸州·二模）三棱锥的底面为正三角形，侧棱底面，若，则该三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例3．（2026·河北·一模）已知正四棱柱的体积为128，，，相交于点，分别为上的点，，则四棱台的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
例4．（2026·湖南永州·一模）在等腰直角三角形中，斜边，为斜边上的一点，沿直线将折起形成二面角.当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为 .
例5．（2026·湖南永州·一模）在等腰直角三角形中，斜边为斜边上的一点，沿直线将折起形成二面角．当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为 ．
例6．（2026·湖南株洲·模拟预测）在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，分别是棱的中点，是底面内一动点．若直线平面，则三棱锥外接球表面积的最小值为 ．
变式1．（2026·广东肇庆·模拟预测）在三棱锥中，，平面与平面夹角的余弦值为，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
变式2．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知三棱锥中，且 AB = CD =，BC = AD = ，AC = BD =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
变式3．（2026·四川雅安·一模）在正四棱台中，，，，则该正四棱台的外接球的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
变式4．（2025·云南·一模）在四面体中，已知点分别为棱的中点，且．若，则四面体外接球的表面积为 ．
变式5．（2025·广东江门·模拟预测）在三棱锥中，，，，且三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
变式6．（2025·广东佛山·一模）两个有共同底面的正三棱锥与，它们的各顶点都在球的球面上，，且二面角的大小为，则球的表面积为 .
考点三 内切球问题
例1．（25-26高二上·湖北·月考）某圆锥的底面半径与高之比为，其内切球与圆锥的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
例2．（25-26高三上·内蒙古乌兰察布·月考）已知正四面体的顶点均在球O的表面上，其内切球为球M，则球O与球M的表面积之比为（ ）
A．3B．9C．3πD．9π
例3．（24-25高一下·福建福州·期末）已知正四棱锥中，各棱长均相等，球是该四棱锥的内切球，球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切，则球与球的表面积之比为（ ）
A．B．9C．D．
例4．（25-26高二上·广东肇庆·期中）一个正方体的体积为8，若一个球内切于该正方体，则此球的体积是 ．
例5．（24-25高三上·安徽六安·期中）已知圆台的上下底面半径之比为，它的内切球（与圆台的上下底面以及每条母线都相切的球）体积为，则该圆台的体积为 .
例6．（24-25高三上·广东东莞·期中）已知一个球内切于正方体，且这个球的体积为，那么这个正方体的体积为 ．
变式1．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·月考）已知圆锥的母线与底面所成角为，其内切球（球与圆锥底面及侧面均相切）的表面积为，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
变式2．（24-25高一下·重庆北碚·期中）如图为一个正方体与一个半球构成的组合体，半球的底面圆与正方体的上底面的四边相切，球心与正方形的中心重合，将此组合体重新置于一个球中（球未画出），使正方体的下底面的顶点均落在球的表面上，半球与球内切，设切点为P，若球的体积为，则四棱锥的内切球的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
变式3．（2025·四川德阳·三模）六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形）.若一正八面体的内切球表面积为，外接球表面积为，则的值为（ ）
A．B．C．3D．4
变式4．（24-25高二下·内蒙古包头·期末）在底面半径为及轴截面为正三角形的圆锥中放置内切球，在球的上面放一个与球和圆锥侧面均相切的球，再在和之间放入一个球，则球半径的最大值为 ．
变式5．（24-25高一下·广东·月考）已知EF为圆柱的下底面圆的一条直径，D为上底面圆上任意一点，，球O内切于圆柱，则球O的体积为 ，平面DEF截球O所得截面面积的最小值为
变式6．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）正四面体边长为，其内切球，则在正四面体内与球和均相切的球的表面积为 (用表示)考点目录
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