利用导数研究函数零点问题、方程的根专项训练-2026届高考数学二轮复习

这是一份利用导数研究函数零点问题、方程的根专项训练-2026届高考数学二轮复习，共14页。
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，，且．
①求实数的取值范围；
②证明：．
【答案】(1)答案见解析；
(2)①；②证明见解析
【详解】（1），
（ⅰ）当时，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增；
（ⅱ）当时，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增；
（ⅲ）当时，，在上单调递增；
（ⅳ）当时，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增；
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时 ，在上单调递减，在上单调递增.
（2）①，
（ⅰ）当时，，令，解得，
此时函数只有一个零点，不符合题意，舍去；
（ⅱ）时 ，在上单调递减，在上单调递增，
则，
又，
取且，
则，
所以有两个零点，其中，，符合题意；
（ⅲ）当时，
在上单调递增，
当时，，
所以不可能有两个零点，不符合题意，舍去；
（ⅳ）当时，在上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意，舍去；
（ⅴ）当时，
当时，，
又在上单调递减，在上单调递增，，
所以不可能有两个零点，不符合题意，舍去.
综上所述，实数的取值范围为.
②由①知，，，所以，
要证，即证，
令，
则，
当时，，在上单调递增，
因为，所以，
即，即，
又因为，所以，
又因为且在上单调递减，
所以，即，
原命题得证.
例2．（25-26高二下·陕西西安·开学考试）已知函数.
(1)讨论的单调性并求极值；
(2)设函数是函数的两个零点，
（i）求的范围；
（ii）求证：.
【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减；
的极大值为，无极小值.
(2)（i）；（ii）证明见解析
【详解】（1）的定义域为，
，
由得；得；
则在上单调递增，在上单调递减，
故的极大值为，无极小值.
（2）（i）当时，当时，，
且时，时，
故的函数图象如图：
因为有两个零点，所以与的函数图象存在两个交点，
则，即，
故的范围为；
（ii）不妨设，因为与的单调性相同，所以由（1）知，
先证，
要证，即证，
因为，在上单调递减，
所以只需证．
令，
则，
在区间内单调递增，所以，即．
再证．
因为，所以，则，
因为，所以，
令，
所以，故在区间内单调递增．
所以，则，则.
综上，.
例3．（25-26高三下·云南楚雄·开学考试）已知函数，．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程．
(2)若函数有2个极值点，，且．
①求实数的取值范围；
②求证：．
【答案】(1)
(2)① ；②证明见解析
【详解】（1）当时，，，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程为，
即为.
（2）①．
函数有2个极值点，，即方程有2根，．
令，，令，解得．
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
当时，，当时，，当时，，
，当时，，
所以实数的取值范围是．
②由题意得，，．
令，，由①知，则，
则，，
所以．
令，则，
所以，．
要证，即证，
即证当时，，即．
令，则，
当时，，单调递增，，
即当时，，不等式得证．
例4．（2026·福建福州·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数有且仅有一个零点，求的值.
【答案】(1)
(2)9
【详解】（1）当时，，，
得，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）方法一：，，
，
令，，得，
故在内单调递增，又，
则当，，得，单调递减，
当，，得，单调递增，
从而在处取得极小值，同时也是最小值，
最小值为.
又当且时，，当时，，
由函数有且仅有一个零点，可得，
则a的值为9.
方法二：，，
令得，
令，，
则，
令，，得，
故在内单调递增，又，
则当，，得，单调递减，
当，，得，单调递增，
从而在处取得极小值，同时也是最小值，
最小值为.
又当且时，，当时，，
由函数有且仅有一个零点，可得，
则的值为9.
变式1．（25-26高三下·重庆北碚·开学考试）已知函数．
(1)在单调递减，求m的取值范围；
(2)若有两个不同的零点，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意，
因为在单调递减，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
又当且仅当即时取等号，
所以，即m的取值范围是；
（2）由，得，定义域为，
当时，在恒成立，故在单调递减，
则在最多有一个零点，不合题意，舍去；
当时，令得，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
且当时，，所以，
当时，，
因为此时，所以，
要使得在有两个不同的零点，
只需满足即可，解得，又，
所以，
综上可知：在有两个不同的零点，的取值范围是.
变式2．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知函数.
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)当时，讨论的单调性；
(3)判断函数在上的零点个数，并说明理由.
【答案】(1)
(2)函数在上单调递增，上单调递减
(3)答案见解析
【详解】（1）
当时，，
则，切点为，
，
切线方程为：，化简得，；
（2）当时，，
当时，，所以，
所以，函数在上单调递增，
当时，，所以，
所以，函数在上单调递减；
（3）令，
当时，，即不是函数的零点，
当时，可得，
令，则，
当时，，在上单调递减；
当时，设，
则，
则在上单调递减，故，
从而，所以在上单调递增，
故，
综上所述，当时，函数有2个零点，
当时，函数有1个零点，
当时，函数无零点.
变式3．（25-26高三上·陕西西安·期末）已知函数.
(1)若直线为曲线在点处的切线，求实数的值；
(2)若有3个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，则.
因为切线方程为，所以.将代入可得.
所以.
（2）令.可得，
令，则，
令，可得或2，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
当时，，单调递减，
又因为，当时，，当时，，
所以的大致图象如图所示.
观察可知，，所以实数的取值范围是.
变式4．（25-26高三上·北京·月考）已知函数 .
(1)求证：曲线在点 处的切线总与直线平行；
(2)函数在区间上存在极值点，
（i）求的取值范围；
（ii）求在区间上的零点个数.
【答案】(1)见解析
(2)（i）；（ii）1个零点
【详解】（1）由，得，
，
，
所以曲线在点处的切线的斜率为0，切线方程为，
所以曲线在点处的切线总与直线平行.
（2）（i）由（1）知，因为，
所以，令，
当时，，在区间上单调递增，且，
所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，
在区间上单调递增，无极值点.
当时，在区间上递减，令，得.
若，即时，在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，在区间上单调递减，无极值点.
若，即时，
当时，，则，单调递增；
当时，，则，单调递减，
所以在处取得极大值，满足函数在区间上存在极值点.
综上，的取值范围是.
（ii）由（i）知当时，
在区间上单调递增，在区间上单调递减，且，
当时，函数的趋势由起决定作用的项决定，
因为，所以，
因此在区间上有且仅有1个零点.
考点二 利用导数研究方程的根
例1．（25-26高三上·天津东丽·开学考试）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数的极值；
(3)讨论方程在上实数根的个数.（其中）
【答案】(1)减区间是，增区间是；
(2)极小值，无极大值；
(3)详见解析；
【详解】（1），
令，得，
当时，，递减；
当时，，递增；
所以的减区间是，的增区间是；
（2）由（1）知当时，取得极小值，无极大值；
（3）易知，，，
由（1）作出函数的大致图像，如图所示：

由图象知：当或时，方程无实根；
当时，方程有2个实根；
当或时，方程有1个实根；
例2．（25-26高三上·河南新乡·开学考试）已知函数.
(1)若关于的方程有唯一实数根，求实数的值；
(2)若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)1；
(2).
【详解】（1）由，得，令，求导得，
令，求导得，函数在上单调递减，，
当时，，即；当时，，即，
函数在上单调递增，在上单调递减，，
且当时，，当时，且，
作出的大致图象如图：

又，且有唯一的实数根，所以.
（2）依题意，不等式在时恒成立，
设，求导得，
当时，在上恒成立，函数在上单调递增，则，不满足条件；
当时，令，则，
当，即时，，则当时，，
函数在上单调递减，因此，满足条件；
当，即时，由，得，
当时，，则，在上单调递增，
当时，有，不满足条件，
所以实数的取值范围为.
例3．（24-25高二下·黑龙江·期末）已知函数
(1)求函数的奇偶性.
(2)求函数的最小值.
(3)设函数，若关于的方程有4个不同的实数根，求的取值范围.
【答案】(1)偶函数
(2)
(3)
【详解】（1）显然的定义域为，，
，为偶函数.
（2），当且仅当时，取等号，
，所以的最小值为.
（3），当时，，则在上单调递增，
又因为是偶函数，所以在上单调递减，
若仅一个实数根，则，
方程仅有两个不同的实数根，不合题意.
所以应有两个不同的实数根，
即：方程和共有四个不同的实数根，
每个方程各有2个不同的实数根，所以，，
则，且，所以.
故的取值范围为.
例4．（24-25高二下·青海西宁·期末）已知函数
(1)求的单调区间；
(2)分析关于的方程的根的个数并说明理由.
【答案】(1)单调递减为和，单调递增为
(2)答案见解析
【详解】（1）的定义域为，
，
所以在和上单调递减；在上单调递增；
（2）原方程等价于，
，
时，，时，，
所以x轴和y轴均为的渐近线，
①当时，方程没有根；
②当时，方程有一个根；
③当时，方程有两个根；
④当时，方程有三个根.
变式1．（24-25高二下·山东淄博·期末）已知.
(1)求的单调区间和最值；
(2)求出方程的解的个数.
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为，最大值为12，最小值为-4
(2)答案见解析
【详解】（1）因为，，
所以.
令，得（舍）或，
当变化时，，的变化情况如表所示.
的单调递增区间为，单调递减区间为
所以，
（2）方程解的个数等价于于的交点个数.
由（1）可知
当或时，方程的解为0个；
当或时，方程的解为1个；
当时，方程的解为2个；
变式2．（2025·云南·三模）函数在处的切线垂直于y轴．
(1)求实数a；
(2)若方程有两根，求b的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可得：，
因为在处的切线垂直于y轴，
则，解得.
（2）由（1）可知，定义域是，且，
令，解得，
当x变化时，，的变化情况如下：
令，解得，当时，；当时，．
所以的图象经过特殊点，，，
且当趋近于时，趋近于0；当趋近于时，趋近于，
所以的大致图象如图；
若方程有两根，即与有2个交点，
由图象可知：，所以b的取值范围为.
变式3．（24-25高二下·天津和平·期中）已知函数
(1)若曲线在点处的切线斜率为求的值；
(2)若有个实数解，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，
由导数的几何意义可得，整理可得，解得.
（2）由可得或，列表如下：
所以，函数的增区间为和，减区间为，
函数的极大值为，极小值为，如下图所示：
由图可知，当或时，直线与函数的图象有两个公共点，
此时，方程有个实数解.
故实数的取值范围是.
变式4．（2025·辽宁沈阳·三模）已知函数，．
(1)已知在处的切线斜率为，求实数的值；
(2)若，且关于的方程有个不相等的实数解，求的取值范围；
(3)若函数在上单调递增，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，则，
由题意可得，解得.
（2）当时，，，
则，由可得，列表如下：
又因为，，
因为关于的方程有个不相等的实数解，
则直线与函数在上的图象有两个交点，如下图所示：
由图可知，实数的取值范围是.
（3）由题意，当时，，
则恒成立，
令，则，因为，，
所以对任意的恒成立，故函数在上单调递减，
所以，
因为对任意的恒成立，所以，解得.
因此，实数的取值范围是.考点目录
利用导数研究函数零点问题
利用导数研究方程的根
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