高考数学二轮复习解答题思路训练专题07 利用导函数研究函数零点问题(典型题型归类训练)（2份，原卷版+解析版）

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目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc15817" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc15817 \h 1
\l "_Tc19396" 二、典型题型 PAGEREF _Tc19396 \h 2
\l "_Tc1884" 题型一：判断（讨论）零点（根）个数问题 PAGEREF _Tc1884 \h 2
\l "_Tc8744" 题型二：证明唯一零点问题 PAGEREF _Tc8744 \h 6
\l "_Tc11901" 题型三：根据零点（根）的个数求参数 PAGEREF _Tc11901 \h 9
\l "_Tc25348" 三、专项训练 PAGEREF _Tc25348 \h 14
一、必备秘籍
1、函数的零点
（1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点．
（2）三个等价关系
方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点．
2、函数零点的判定
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．
注意：单调性+存在零点=唯一零点
3、利用导数确定函数零点的常用方法
(1)图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最)值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需使用极限）．
(2)利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．
4、利用函数的零点求参数范围的方法
(1)分离参数()后，将原问题转化为的值域(最值)问题或转化为直线与的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；
(2)利用函数零点存在定理构建不等式求解；
(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．
二、典型题型
题型一：判断（讨论）零点（根）个数问题
1．（2023·河北邯郸·统考模拟预测）已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的零点个数．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）当时，则，
，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）函数定义域为，
，
当，即时恒成立，所以在上单调递增，
又当趋向于0时，，所以函数有一个零点；
当，即时令，解得，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当趋向于0时，当趋向于正无穷时，又，
令，
则，所以在上单调递增，且，
若，即时函数有两个零点；
若，即时函数有一个零点；
若，即时函数没有零点；
综上，当时函数没有零点，当或时函数有一个零点，当时函数有两个零点.
2．（2023·陕西渭南·校考模拟预测）已知函数，其中e为自然对数的底数．
(1)求的单调区间：
(2)讨论函数在区间上零点的个数．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【详解】（1）因为，所以，
当时，恒成立，
所以的单调增区间为，无单调减区间．
当时，令，得，
令，得，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）由（1）知，．
①当时，在区间上单调递增且，
所以在区间上有一个零点．
②当时，在区间上单调递减且，
所以在区间上有一个零点．
③当时，在区间上单调递减，在上单调递增，
而．
当，即时，在区间上有两个零点．
当，即时，在区间上有一个零点．
综上可知，当或时，在上有一个零点，
当时，在区间上有两个零点．
【点睛】方法点睛：利用导数处理函数零点常用方法
（1）构造新函数 ，利用导数研究的性质，结合的图象，判断函数零点的个数.
（2）利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数有多少个零点.
3．（2023上·广东中山·高三校考阶段练习）设函数，，.
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，讨论与图象的交点个数．
【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是
(2)函数与的图象总有一个交点
【详解】（1）函数的定义域为，.
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增．
综上，函数的单调递增区间是，单调递减区间是．
（2）令，，
题中问题等价于求函数的零点个数．
，
当时，，函数为减函数，
因为，，所以有唯一零点；
当时，或时，；时，，
所以函数在和上单调递减，在上单调递增，
因为，
，
所以有唯一零点．
综上，函数有唯一零点，即函数与的图象总有一个交点．
4．（2023上·上海虹口·高三校考期中）函数，
(1)求函数在点的切线方程；
(2)函数，，是否存在极值点，若存在求出极值点，若不存在，请说明理由；
(3)若，请讨论关于x的方程解的个数情况．
【答案】(1)；
(2)时无极值点；时有极小值点，无极大值点.
(3)答案见解析.
【详解】（1）由题设，则，而，
所以，切线方为，即.
（2）由题设，则，且，
当时，恒成立，故在上递增，无极值；
当时，时，时，
则在上递减，在上递增；
此时有极小值点为，无极大值点.
（3）由题意，只需讨论在上根的情况，
令，则，而，
当时，递增；当时，递减；
且趋向0或时趋向，极大值为，
综上，当，原方程有无解；当，原方程有一个解；当，原方程有两个解；
5．（2023上·广东揭阳·高三统考期中）给定函数.
(1)讨论函数的单调性，并求出的极值；
(2)讨论方程解的个数.
【答案】(1)在区间上单调递减，在区间上单调递增；极小值为，无极大值
(2)答案见解析
【详解】（1）函数的定义域为.
.
令，解得 ，
，的变化情况如表所示.
所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
当时，有极小值，无极大值
（2）方程的解的个数为函数的图象与直线的交点个数.
令，解得.
当时，；当时，.
又由（1）可知，在时有唯一极小值，也是最小值.
所以，的图象经过特殊点，， .
且当时，有；
当时，有.
如图，作出函数的图象
由图象可得，
当时，与的图象没有交点，所以方程的解为0个；
当或时，与的图象只有一个交点，所以方程的解为1个；
当时，与的图象有两个交点，所以方程的解为2个.
题型二：证明唯一零点问题
1．（2023上·广东珠海·高三校考阶段练习）已知函数，为的导数．
(1)求曲线在处的切线方程：
(2)证明：在区间存在唯一零点；
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【详解】（1），所以切点为，
又，
所以，
所以切线方程为，即；
（2）由（1）知，令
则，
令，解得，此时单调递增，
令，解得，此时单调递减，
所以，
又，所以在区间上恒成立，
，所以存在使得，
所以在上存在唯一的零点，
即在区间存在唯一零点，得证.
【点睛】方法点睛：导数问题一般可以先通过求导得到函数的单调性，再由单调性判断函数的图像，根据图像解决相关问题.
2．（2023上·黑龙江·高三校联考阶段练习）已知函数，，且函数的零点是函数的零点．
(1)求实数a的值；
(2)证明：有唯一零点．
【答案】(1)1
(2)证明见详解
【详解】（1）由易判断在单调递增，
且，，
所以可令，
得， 所以，
由题意，即，
所以；
（2），则，
令，则，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，
所以，
结合（1）可得存在唯一，使得，即函数有唯一零点.
【点睛】关键点点睛：解决本题（1）的关键是通过同构得出；（2）的关键是二次求导确定函数的单调性.
3．（2023下·河南·高三校联考阶段练习）已知函数，．
(1)过坐标原点作的切线，求该切线的方程；
(2)证明：当时，只有一个实数根．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）函数的定义域为，设切点为，
，则，
故切线方程为，
由切线过原点，得，
所以所求切线方程为；
（2）要证明时，只有一个实数根，
即证只有一个实数根，
令，
则，
即单调递减，
当时，，
又，
由此可知，的图象在上有且只有一个公共点，
从而时，只有一个实数根．
【点睛】思路点睛：本题第二问解题思路是构造函数令，结合零点存在性定理求解．
题型三：根据零点（根）的个数求参数
1．（2023上·北京·高三景山学校校考期中）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)当时，设，若有两个不同的零点，求参数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)答案见解析；
(3).
【详解】（1）由题设，则，故，，
所以在点处的切线方程为，即.
（2）由，
当，定义域为，此时，故，即在上递减；
当，定义域为，
若，则，在上递增；
若，则，在上递减；
（3）由题设，，故在有两个不同零点，
所以在在有两个不同根，
令，则，
在，则，在上递减，
在，则，在上递增，且，
趋向于0或时都趋向于，故只需，满足题设.
2．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知函数.
(1)当时，求函数在上的值域；
(2)若函数在上仅有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，，所以，
令，则，
所以，又，
所以在上的值域为.
（2）函数在上仅有两个零点，
令，则问题等价于在上仅有两个零点，
易求，因为，所以.
①当时，在上恒成立，所以在上单调递增，
所以，所以在上没有零点，不符合题意；
②当时，令，得，
所以在上，在上，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，
因为在上有两个零点，
所以，所以.
因为，
令，
所以在上，在上，，所以在上单调递减，在上单调递增；
所以，所以，
所以当时，在和内各有一个零点，即当时，在上仅有两个零点.
综上，实数的取值范围是.
3．（2023上·重庆涪陵·高三重庆市涪陵高级中学校校考开学考试）已知函数.
(1)若函数在上单调递增，求的最小值；
(2)若函数的图象与有且只有一个交点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），，
因函数在上单调递增，
所以在恒成立，即，，
的最小值为．
（2）与有且只有一个交点，
即只有一个根，
只有一个根，
令，所以的图象与的图象只有一个交点，
，令，解得或，
令，解得，所以在，上单调递增，上单调递减，的图象如下所示：

，
又的图象与的图象只有一个交点，
.
4．（2023下·湖南衡阳·高二校考阶段练习）已知函数，其中．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若方程有三个根，求的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)．
【详解】（1）解：由题意得函数的定义域为，
，
当时，，即在上单调递增；
当时，由，得或，由，得，
在上单调递减，在和上单调递增；
当时，由得或，由得，
在上单调递减，在和上单调递增，
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增；
（2）方程有三个根，即有三个根，
有三个根，显然不是方程的根，
则有三个根，即与函数的图象有三个交点，
，令，可得，
由，可得或，由，可得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值为，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
如图所示：

要使与函数的图象有三个交点，
只需，的取值范围是．
5．（2023下·浙江衢州·高二统考期末）已知函数
(1)若过点作函数的切线有且仅有两条，求的值；
(2)若对于任意，直线与曲线都有唯一交点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设过点作函数切线的切点为，
因为，所以切线方程为，即，
又因为切线过点，所以.
令，则，
所以，，递减；
，，递增；
，，递减.
当时，取极小值；当时，取极小值，
，时；时，
根据以上信息作出的大致图象，

由题意，直线与的图象有且仅有两个交点，
所以.
（2）由题可得有唯一解，即有唯一解．
令，
若，则与题设，矛盾，故.
又因为，；，，
结合题意可得在上单调递增，
即，所以，
结合（1）可得，所以.
三、专项训练
一、单选题
1．（2024上·广东江门·高三统考阶段练习）直线与函数的图象公共点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【详解】联立与，消去y得，，
令，求导得，
当时，单调递减；当时，单调递增，
因此，函数有唯一零点1，
所以直线与函数的图象公共点的个数为1．
故选：B
2．（2023上·河北·高三校联考期末）已知函数有两个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】令，则，
注意函数与函数互为反函数，它们的图象关于直线对称，
则要使函数有两个零点，只需与直线有两个交点即可，
即关于的方程有两个根，即在上有两个根，
设，则，
易知当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则，且时，，当时，，
故，
故选：A．
3．（2023下·广东阳江·高二校考期中）若函数在上只有一个零点，则常数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】令，则，
构建，原题意等价于与有且仅有一个交点，
因为，
令，解得或；令，解得；
则在上单调递增，在上单调递减，
可得在处取到极大值，在处取到极小值，
且当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于，

结合的图象可知：若与有且仅有一个交点，则或，
所以常数的取值范围是.
故选：D.
二、填空题
4．（2023上·江苏常州·高三统考期中）若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】令且，则，
令，则，
当时，即递增；当时，即递减；
所以，故恒成立，即在、上递减，
而时；时；时；
所以的图象如下图示，故有两个根．

故答案为：
5．（2023·贵州遵义·统考模拟预测）已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围为 .
【答案】
【详解】当时，，
即函数在上单调递增
函数的图像如下图所示：

由得出，
当时，显然不成立.
但时，解得，使得不等式只有唯一整数解，此时.
即时，唯一整数解是，
当时，，使得不等式只有唯一整数解，此时，
即时，唯一整数解是.
综上，.
故答案为：
6．（2023下·重庆江北·高二重庆十八中校考期中）已知函数的图象与函数的图象有两个交点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】因为，，
且在上单调递增，可知在上单调递增，
由题意可知：函数的图象与函数的图象有两个交点，
又因为，
设切点坐标为，则切线斜率，切线方程为，
若切线过原点，则，解得，
结合图象可知：若函数的图象与函数的图象有两个交点，则，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.

三、问答题
7．（2023上·山东·高三济南一中校联考期中）已知函数．
(1)若函数在上单调递增，求的取值范围；
(2)若函数的图象与有且只有一个交点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，则，
因为函数在上单调递增，
所以在恒成立，
即，
而在上单调递增，
当时，，
所以的取值范围．
（2）与有且只有一个交点，
即只有一个根，只有一个根，
令，所以的图像与的图像只有一个交点，
，令，解得或，
令，解得，
所以在上单调递增，上单调递减，
所以，，
又因为的图像与的图像只有一个交点，所以.
8．（2023上·吉林长春·高一吉林省实验校考期中）已知函数，
(1)求函数的单调区间与极值点；
(2)若，方程有三个不同的根，求的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）定义域为，
，
令得或，
当即时，，，在区间上单调递减；
，，在区间上单调递增；
故有极小值点，无极大值点，
当即时，时，，在区间单调递增，
当时，，在区间单调递减；
当时，，在区间上单调递增；
当极小值点为，极大值点为；
当即时，时，，在区间单调递增，
当时，，在区间单调递减；
当时，，fx在区间单调递增；
故有极小值点，有极大值点为；
当时，即时，，在单调递增，无减区间，无极值点．
（2）当时，即，
由（1）可知，时，单调递增，时，单调递减，
时，单调递增；
极大值，极小值，
要使有三个不同的根，则.
故的取值范围为
9．（2023上·江苏·高三校联考阶段练习）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线与轴平行，求该切线方程；
(2)讨论曲线与直线的交点个数．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1），
因为曲线在点处的切线与轴平行，
所以，
因为，所以．
所以所求切线方程为．
（2）由（1）可知，当时，
当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以．
所以当时，曲线与直线无交点；
当时，曲线与直线有且仅有一个交点；
当时，在上，，
令，得舍去，
则，又
所以在上，曲线与直线有且仅有一个交点，
又因为，
即为偶函数，
所以在上，曲线与直线有两个交点．
综上所述，当时，曲线与直线无交点；
当时，曲线与直线有且仅有一个交点；
当时，曲线与直线有两个交点．
10．（2023下·山东菏泽·高二校考阶段练习）给定函数
(1)判断的单调性并求极值；
(2)讨论解的个数．
【答案】(1)的单调递增区间是，单调递减区间是．无极大值，极小值.
(2)或时有一解；时有两解.
【详解】（1）∵
∴，
令得，
令得，
∴函数在区间上单调递减，在上单调递增，
∴当时，取得极小值为，无极大值.
（2）由（1）知
函数在区间上单调递减且当时，；
当时，取得极小值为，
从而得知，当时，图像恒在轴下方，且当时，，即以轴为渐近线，
∴当时，两函数图像恰好相切，方程有一个解；当时，两图像恰好交于一点，方程有一个解；
当时，两图像有两个交点，方程有两根.
综上，当或时，方程有一个解；当时，方程有两根.
11．（2023上·广东深圳·高三红岭中学校考阶段练习）若函数在处有极小值．
(1)求c的值．
(2)函数恰有一个零点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)3
(2)
【详解】（1）因为，所以，
又因为函数在处有极小值，
所以，解得或，
当时，，
则时，，时，，
在上单调递减，在上单调递增，
可得函数在处取得极小值；
当时，，
则时，，时，，
在上单调递增，在上单调递减，
可得函数在处取得极大值，不合题意，舍去．
所以c的值为3.
（2），
函数定义域为R，，
当时，恒成立，在R上单调递增，
时，有一个零点-1；
时，，，恰有一个零点.
当时，解得或，解得，
在和上单调递增，在上单调递减，
时，有极大值，时，有极小值，
恰有一个零点，或
解得，
综上可知，函数恰有一个零点，实数a的取值范围为.
12．（2023上·陕西·高三校联考阶段练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若在上存2个零点，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）函数的定义域为，且.
当时，在上恒成立，故在上单调递减；
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）若，在上无零点，不合题意；
若，由，得，
令，则直线与函数在上的图象有两个交点，
，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以，
又，
所以要使直线与的图象有两个交点，则，
所以，即实数的取值范围为.
13．（2023上·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若函数在上有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为
(2).
【详解】（1）当时，，
则，
令得，所以的单调递增区间为
令得，所以的单调递减区间为
（2），
则，
，∴由，得.
当，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
故当时，函数取得极大值，
又，，
且，
∴在上有两个零点需满足条件，
解得，故实数的取值范围是.
四、证明题
14．（2023上·北京朝阳·高三校考阶段练习）已知函数.
(1)求证：当 时，；
(2)求在的零点个数.
【答案】(1)证明见解析；
(2)2个.
【详解】（1）解：由函数，可得，
令，可得，
当时，可得，所以单调递减，
又由，所以，即，所以单调递减，
由，所以.
（2）解：由（1）知，，
当，可得，且，所以，
即，所以单调递减；
当，可得，且，所以，
即，所以单调递增，
又因为，，，
所以函数有两个零点.
-3
-
0
+
单调递减
单调递增
0
单调递减
极小值
单调递增