【专项复习】高考数学专题01 数列求通项（数列前n项和Sn法、数列前n项积Tn法）（题型训练）.zip

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\l "_Tc3190" 二、典型题型 PAGEREF _Tc3190 \h 2
\l "_Tc17413" 题型一：法：角度1：用，得到 PAGEREF _Tc17413 \h 2
\l "_Tc11234" 题型二：法：角度2：将题意中的用替换 PAGEREF _Tc11234 \h 4
\l "_Tc24158" 题型三：法：角度3：已知等式中左侧含有： PAGEREF _Tc24158 \h 5
\l "_Tc1954" 题型四：法：角度1：已知和的关系 PAGEREF _Tc1954 \h 7
\l "_Tc3297" 题型五：法：角度2：已知和的关系 PAGEREF _Tc3297 \h 8
\l "_Tc28785" 三、数列求通项（法、法）专项训练 PAGEREF _Tc28785 \h 9
一、必备秘籍
1对于数列，前项和记为；
①；②
②：
2对于数列，前项积记为；
①；②
①②：
二、典型题型
题型一：法：角度1：用，得到
例题1．（2023秋·江苏·高三校联考阶段练习）记是数列的前项和，已知，且.
(1)记，求数列的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）因为，①所以，②
②-①得，，因为，所以，
所以数列的奇数项和偶数项分别是以4为公差的等差数列，
令代入，得，由，得，
所以，
所以数列是公差为4，首项为5的等差数列，其通项公式为
例题2．（2023春·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）已知数列的前项和为，．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）①，
当时，②，
两式①-②得：，
当时，，不符合上式，
所以；
例题3．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知等比数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）因为，所以时，，
所以，所以，
因为，
又因为为等比数列，所以，所以，
则等比数列首项为2，公比为3，
所以
例题4．（2023秋·江苏无锡·高二江苏省南菁高级中学校考阶段练习）已知数列的前项和为，，，．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）因为，
所以当时，，
两式相减，得到，
整理得，
又因为，所以，
所以数列是公差为的等差数列．
当时，，解得或，
因为，所以，
由（1）可知，即公差，
所以；
题型二：法：角度2：将题意中的用替换
例题1．（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知数列的前项和为.
(1)求；
【答案】(1)
【详解】（1），可得，
可得，即数列为首项为2，公差为2的等差数列，
可得，由，可得；
例题2．（2023秋·河北唐山·高二校考期末）已知数列中，，，前项和为，若．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）若，
由，可得，
则数列是首项为2，公差为1的等差数列，
所以，即，
当时，，则
例题3．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知各项均为正数的数列的首项，其前n项和为，且（）．
(1)求；
【答案】(1)
【详解】（1），
又，
又，数列是首项为1，公差为1的等差数列，
，故
例题4．（2023秋·安徽滁州·高三校考期末）记首项为的数列的前项和为，且当时，
(1)证明：数列是等差数列；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）当时，，即，
则，可得，
所以，且，
所以数列是首项为，公差为的等差数列．
题型三：法：角度3：已知等式中左侧含有：
例题1．（2023春·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考阶段练习）已知数列{}满足：．
(1)求的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）因为，①
所以时，，②
①②得：
，所以，
又，不符合上式，故
例题2．（2023秋·广东珠海·高三校考开学考试）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）由，
得当时， 即，
当时，，
则，即，
当时，也满足上式，
综上所述，；
例题3．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考阶段练习）在数列中，.
(1)求数列的通项；
【答案】(1)；
【详解】（1）由，，得当时，，
两式相减得：，即，而，
因此构成以为首项，3为公比的等比数列，
则当时，，即，显然不满足上式，
所以数列的通项.
例题4．（2023春·福建厦门·高二厦门外国语学校校考期末）已知数列为正项等比数列，数列满足，，．
(1)求；
【答案】(1)
【详解】（1）令，
当时，，由，则；
当时，，由，则.
由数列为正项等比数列，设其公比为，则，所以.
题型四：法：角度1：已知和的关系
例题1．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知数列的前项的积
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1），
当时，.
当时，，满足上式，
.
例题2．（2022秋·黑龙江大庆·高三阶段练习）已知数列的前项积.
(1)求的通项公式；
【答案】(1)
(1)解：（1）.
当时，；
当时，，也符合.
故的通项公式为.
例题3．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三校考阶段练习）已知为数列的前n项的积，且，为数列的前n项的和，若（，）.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求的通项公式.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【详解】解：（1）证明：，.
，
是等差数列.
（2）由（1）可得，.
时，；
时，.
而，，，均不满足上式.
（）.
题型五：法：角度2：已知和的关系
例题1．（2023·福建泉州·泉州七中校考模拟预测）已知数列的前项的积记为，且满足
(1)证明：数列为等差数列;
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）当时，，得，
当时，，所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列.
例题2．（2020春·浙江温州·高一校联考期中）设数列的前n项积（）．
（1）求数列的通项公式；
【答案】（1）；（2）详见解析．
【详解】（1）当时，，∴，
又
∴，∴，所以数列是以为首项，
1为公差的等差数列，∴
∴.
例题3．（2023秋·江苏·高二专题练习）已知数列的前n项之积为，且满足．
(1)求证：数列是等差数列；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）由题意知：，
∴，∴，
∴数列是公差为3的等差数列；
三、数列求通项（法、法）专项训练
一、单选题
1．（2023秋·江西·高三统考开学考试）设为数列的前项积，若，且，当取得最小值时，（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】A
【详解】解：由题意得，又，，
所以，
所以是公比为的等比数列.
因为，所以，
解得，
所以，
则，，，
当时，，
因为，
所以最小.
故选：A.
2．（2023秋·内蒙古包头·高三统考开学考试）已知为数列的前项积，若，则数列的前项和（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为为数列的前项积，所以可得，
因为，所以，
即，所以，
又，得，所以，
故是以3为首项，2为公差的等差数列；
，
故选：A
3．（2023春·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末）已知等比数列的前项积为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设等比数列的公比为，
当，则，所以，，，
若，则，，，不符合题意；
若，则单调（或为常数），此时不满足，故不符合题意，所以；
当，，此时奇数项为负，偶数项为正，则，，，不符合题意，
当，，此时奇数项为正，偶数项为负，则，，，不符合题意，
所以，故A错误，
又，
，
又，所以，所以，
故对任意的，，则对任意的，，故B错误；
又，，所以，，
所以，，
，
所以，故D正确，C错误．
故选：D．
4．（2023秋·江西宜春·高二校考开学考试）若数列的前项积，则的最大值与最小值的和为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】C
【详解】∵数列的前项积，
当时，，
当时，，
，
时也适合上式，
∴，
∴当时，数列单调递减，且，
当时，数列单调递减，且，
故的最大值为，最小值为，
∴的最大值与最小值之和为2.
故选：C.
二、填空题
5．（2023春·河南南阳·高二校考阶段练习）已知为数列的前n项积，且，则 ．
【答案】
【详解】当时，则；
当时，则；
注意到也符合上式，所以.
故答案为：.
三、解答题
6．（2023春·湖南湘潭·高二湘潭县一中校联考期末）设数列的前项和为，，且.
(1)求的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）因为，
故时，，
两式相减得，
又，，所以，故，满足上式，
故，且，
所以为等比数列，且首项为2，公比为3，从而.
7．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）数列的各项均为正数，前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式．
【答案】(1)
【详解】（1）∵，
所以或，∵，∴，
……①．……②．
① - ②得是首项为3，公差为2得等差数列，；
8．（2023春·山西朔州·高二怀仁市第一中学校校联考期末）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，，又，
所以，即.
又数列是等比数列，所以，
当时，，解得，
所以；
9．（2023春·江西九江·高二校考期末）记数列的前n项和为，已知，.
(1)求的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）因为，所以，
两式相减得，即，
又，所以，
所以是首项为3，公差为2的等差数列，
所以.
10．（2023春·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）已知正项数列的前n项和为，满足：.
(1)计算并求数列的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）由①，
当时，，解得（舍去），
当时，②，
由①②得，
即，
又，所以，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以；
11．（2023春·浙江杭州·高二校联考期中）已知等差数列的前项和为，且，，数列满足，．
(1)求数列和的通项公式；
【答案】(1)，，，
【详解】（1）设等差数列公差为，则，整理得，解得，
∴，，
对于数列：当时，，
当时，由，得，
两式相减得，当时，也满足上式，
∴，．
12．（2023·江西南昌·江西师大附中校考三模）已知是数列的前项和，满足，且.
(1)求；
【答案】(1)
【详解】（1）因为，显然，
所以，即，
所以
，
所以，又当时，也满足，所以.
13．（2023春·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期中）设正项数列的前n项和为，且，当时，．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）由，得，
因为，所以，
所以是以为首项，1为公差的等差数列，所以，
所以，当时，，
当时，也满足上式，
所以数列的通项公式为．
14．（2023春·江西宜春·高二校联考期末）已知数列满足，等差数列的前n项和为，且．
(1)求数列和的通项公式；
【答案】(1)，；
【详解】（1）当时，，
，当时，，
两式相减，得，即，显然满足上式，因此，
设公差为，则，即，解得，
因此，
所以数列和的通项公式分别为，.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，且满足，.
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）当时，，
当时，，，即，
，，，
是首项为2，公差为1的等差数列，
，，
，
综上，
16．（2023春·辽宁大连·高二校联考期中）已知正项数列满足，前项和满足.
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）由可得，
即，
因为，所以，则，
，
所以，
又因为，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，
，
当时，，
当时，，
所以；
17．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)；
【详解】（1），
当时，，即，
当时，，
得，即，
满足上式，
数列的通项公式为；
18．（2023春·广东佛山·高二校考阶段练习）在数列中，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）∵，
当时，，
当时，，
所以，即（），
又∵也适合，
∴；
（2）由（1）知，
，
∴.
19．（2023秋·广东茂名·高二统考期末）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）解：因为，
所以时，，
两式作差得，，
所以时，，
又时，，得，符合上式，
所以的通项公式为．
20．（2021秋·江西九江·高二校考期中）为数列的前项和，为数列的前项积，已知.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【详解】（1）当时，，即，解得.
当时，，所以，所以，
即是以，公差为2的等差数列.
（2）因为的通项公式为，
所以当时，
当时，
又因为，
所以数列的通项公式为：.
法归类
角度1：已知与的关系；或与的关系
用，得到
例子：已知，求
角度2：已知与的关系；或与的关系
替换题目中的
例子：已知；
已知
角度3：已知等式中左侧含有：
作差法（类似）
例子：已知求
法归类
角度1：已知和的关系
角度1：用，得到
例子：的前项之积.
角度2：已知和的关系
角度1：用替换题目中
例子：已知数列的前n项积为，且.