山西省部分重点高中2025-2026学年高一下学期4月月考试题 数学（含解析）

这是一份山西省部分重点高中2025-2026学年高一下学期4月月考试题 数学（含解析）试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知是虚数单位，若复数z满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知，，若与共线，则（ ）
A．B．C．1D．5
3．如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（ ）
A．B．C．D．
4．设是两个不共线的向量，若向量与共线，则（ ）
A．2B．C．D．
5．在中,内角所对的边分别为且.若,则的形状是
A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
6．若平面向量模长相等，且，则（ ）
A．B．0C．D．
7．如图，在平面四边形ABCD中，
若点E为边CD上的动点，则的最小值为
A．B．C．D．
8．内角的对边分别为，满足，且，则（ ）
A．为锐角B．C．D．
二、多选题
9．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
10．在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．是钝角三角形
C．的最大内角是最小内角的2倍D．若，则外接圆半径为
11．已知点在以为直径的圆上运动，且，动点为平面内一点，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为1
B．的最小值为
C．的最大值为10
D．的最小值为8
三、填空题
12．若M(3，－2)，N(－5，－1)且，则P点的坐标为__________.
13．已知向量，的夹角为，，，若，则_____________．
14．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则tanA的最大值为___________.
四、解答题
15．已知复数，，．
(1)当时，求的值；
(2)若是纯虚数，求的值；
(3)若在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围．
16．已知向量.
(1)若，求的值；
(2)若，求实数的值；
(3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围.
17．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角A；
(2)若，面积为，求内角A的角平分线AD的长度．
18．在以下三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答.
①；②；③的面积为（如多选，则按选择的第一个记分）
问题：在中，角，，的对边分别为，，，且 .
(1)求角；
(2)若，求面积的最大值；
(3)在（2）的条件下，若为锐角三角形，求的取值范围.
19．已知平面直角坐标系中，点，点（其中，为常数，且），点为坐标原点．

(1)设点为线段上靠近的三等分点，，求的值；
(2)如图所示，设点，，，…，是线段的等分点，其中，，
①当时，求的值（用含，的式子表示）；
②当，时，求的最小值．
（说明：可能用到的计算公式：，）．
参考答案
1．D
【详解】由题意知，，则，
故复数在复平面内对应的点为，在第四象限.
2．A
【详解】由与共线，可得：，解得：,
所以，则.
3．B
【详解】因是线段上的靠近A的三等分点，则.
4．B
【详解】由共线向量定理可知存在实数，使得，
即，又与是不共线向量，
所以解得.
故选：B．
5．C
【详解】在中,由余弦定理的推论: ①
将代入①得
故:,
又 由
根据正弦定理可得,
,即,
为一个内角为的等腰三角形,
即为等边三角形.
故选:C.
6．C
【详解】因为，所以，所以，所以，
因为平面向量模长相等，设，
所以，所以解得.
7．A
详解：连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，所以为等边三角形，。设
=
所以当时，上式取最小值 ，选A.
8．B
【详解】，
又，
，整理得： ，
，
，
，
当且仅当时等号成立，
又，，
，为钝角，
，，
，，
，即，
，，解得：，
，
，
．
9．ABC
【详解】对于A，，，A正确；
对于B，，则，B正确；
对于C，，则，C正确；
对于D，，，，D错误.
故选：ABC
10．CD
【详解】由，可得，
故可设，，，
由正弦定理可得，，A错误；
由题意可知为最大角，由余弦定理可得，，
故为锐角，从而可知是锐角三角形，B错误；
因为最小内角为最小角，，故，
故，C正确；
由，，结合正弦定理可得，
故，D正确．
故选：CD
11．ABC
【详解】A选项，设中点为，∵，，且，
∴，∴
由题意可知，∵，
∴，
即，当，即同向时取得最小值1.故A正确；
B选项，，
∵，即，
∴当，即反向时，取得最小值，
∴，
由图可知，当三点共线且在的两侧时，取得最大值为3，
∴，即最小值为，故正确；
选项C、D，，
∴
，
而
∵，∴，
∴
∴，
∴，
即的最大值是10，最小值是6，故C正确，D错误．
故选：ABC.
12．
详解：设点，
则，
又，
，
，故答案为.
13．/
【详解】因为向量，的夹角为，，，
.
，
，
解得．
故答案为：.
14．/0.75
【详解】在中，由射影定理及得：，
由正弦定理边化角为：，于是得，
由得，，即角是钝角，，
，
当且仅当，即时取“=”，
所以tanA的最大值为.
故答案为：
15．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）当时，．
（2）因为为纯虚数，所以，所以．
（3），
该复数在复平面内对应的点在第二象限，
则，解得，
故实数的取值范围是．
16．(1)
(2)
(3)且
【详解】（1）因为向量，且，
所以，解得，
所以.
（2）因为，且，
所以，解得.
（3）因为与的夹角是钝角，
则且与不共线，
即且，
所以且.
17．(1)
(2).
【详解】（1）由已知得．
又，
故．
因为，所以，即．
因为，所以．
（2）由题意知，解得，
根据得，
即，解得.
18．(1)答案见解析
(2)
(3)
【详解】（1）若选①：由正弦定理得，
则，
，
，
．
若选②：，切化弦，得到，
则由正弦定理得，，即，，
，
若选③：，
则，
由正弦定理得，
，
.
（2）由余弦定理得，，
则，当且仅当“”时，取“＝”号，即．
，则，当且仅当“”时取得最大值．
（3）由正弦定理得，
则，
，由于为锐角三角形，
则，
.
.
19．(1)
(2)①；②
【详解】（1）因为
而点为线段上靠近点的三等分点，
则，可得，所以.
（2）①由题意得，，
，，
所以，
事实上，对任意正整数，且时，
，，
有，
所以，
所以.
②当，时，
，，
，
令，
当，2，3时，
当或3时，上式有最小值为
当时，
当，6，7时，，当或6时，上式有最小值为
综上，的最小值为.