山西省太原市某校2024−2025学年高一下学期4月月考 数学试题（含解析）

这是一份山西省太原市某校2024−2025学年高一下学期4月月考 数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知平面向量，，若与共线，则实数（ ）
A．B．8C．D．2
2．已知复数满足，则的虚部是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的正方形，则原图形的周长是（ ）
A．16B．12C．D．
4．在中，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．已知某商品的形状为圆台，该圆台的轴截面是上底为2，下底为4，腰为3的等腰梯形，则该圆台的表面积为（ ）
A．B．C．D．
6．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，BC边上一点D满足，且AD平分.若的面积为，则（ ）
A．B．2C．D．4
7．已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，“六芒星”是由两个边长为正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点，是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A．复数的共轭复数的模为1B．复数在复平面内对应的点在第一象限
C．复数是方程的解D．
10．已知，点是平面内一点，记，，则（ ）
A．当，时，则在方向上的投影向量为
B．当，时，为锐角的充要条件是
C．当时，点、、三点共线
D．当，时，动点经过的重心
11．中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（ ）
A．
B．若，则有两解
C．若为锐角三角形，则取值范围是
D．若为边上的中点，则的最大值为
三、填空题
12．已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为 ．
13．若一个正四棱台的上、下底面边长分别为2、4，它的高为2，则该四棱台的表面积为 ．
14．在中，点满足为线段的中点，过点作一条直线与边分别交于点两点.设，当与的面积比为时，则的值为 .
四、解答题
15．如图所示，在四边形中，，，
（1）求四边形绕旋转一周所成几何体的表面积；
（2）求四边形绕旋转一周所成几何体的体积.
16．在中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求角；
（2）若，且的面积为，求的周长.
17．记锐角三角形的内角，，的对边分别为a，b，c，已知，．
（1）求；
（2）求的最大值．
18．设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”．即．试求解下列问题．
（1）已知向量，满足，，，求的值．
（2）向量，，，求的最小值．
参考答案
1．【答案】D
【详解】由题意可得，
因为与共线，
所以，即，解得，
故选D
2．【答案】A
【详解】由，
可得，
所以的虚部是，
故选:A.
3．【答案】A
【详解】在直观图中，，
可得原图形是平行四边形，其底边长2，高为，
则另一边长为，所以原图形的周长为．
故选A.
4．【答案】D
【详解】由题设，且为三角形的最大角，
所以，则的面积为.
故选D
5．【答案】B
【详解】该圆台的表面积.
故选B
6．【答案】B
【详解】依题意，，
由正弦定理得.
移项可得.
所以.
所以，因为，所以，
两边同时除以，可得，即，所以.
由三角形面积公式可得，即，化简可得①.
因为，所以.
又因为平分，根据角平分线定理得，
即，所以②.
由①②解得.
故选B
7．【答案】B
【分析】先判断球心在三棱锥的高线上，由正弦定理求得，求得，借助于列方程，求出外接球半径即得.
【详解】如图，设点在底面的射影为点，
因底面边长均为，侧棱长均为，故球心在上，
连接，设球的半径为，则，
由正弦定理，解得，
在中，，则，
在中，由，解得，
则球的表面积为.
故选B.
8．【答案】B
【详解】由对称性可得，连接，与的交点为，
则为的中点，为的中点，
故，，，，
过点作直线的垂线，垂足记为，
则向量在向量上的投影向量为，
所以，
如图过点作，，垂足分别为，
所以，，
观察图象可得，其中与同向，与反向，
所以当点位于点的位置时，取最大值，最大值为，
当点位于点的位置时，取最小值，最小值为，
所以的取值范围是.
故选B.
9．【答案】AD
【详解】，，故A正确；
复数在复平面上的对应点为，则该点在第四象限，故B错误；
由，则，解得，故C错误；
，故D正确.
故选AD.
10．【答案】ACD
【详解】对于A选项，当，时，
则在方向上的投影向量为，A对；
对于B选项，当，时，
角为锐角且、不共线，即，解得且，
所以，为锐角的充要条件是，B错；
对于C选项，因为，即，
所以，，即，
又因为、有公共点，故点、、三点共线，C对；
对于D选项，设线段的中点为，
则，
因为，则，
此时，动点经过的重心，D对.
故选ACD.
11．【答案】BCD
【详解】因为，所以，，又，所以，A错；
若，则，三角形有两解，B正确；
若为锐角三角形，则，，所以，，
，，C正确；
若D为边上的中点，则，，
又，，
由基本不等式得，
，当且仅当时等号成立，
所以，所以，
当且仅当时等号成立，D正确．
故选BCD．
12．【答案】/
【详解】因为，
所以复数是纯虚数，则满足，则.
13．【答案】/
【详解】如下图所示：，
所以，
所以该四棱台的表面积为：.
14．【答案】3
【详解】因为，所以，得，
又是的中点，，，
所以
因为三点共线，所以，且，
，
所以，
即.
故答案为：.
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由题意可知，四边形绕旋转一周所成几何体为圆台挖去一个圆锥的组合体，
过点作，垂足分别为，如下图所示：
易知，所以，
又，所以，可得；
故圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为，
母线长；高，母线长，
所以圆台的侧面积为，
圆锥的侧面积为，圆台的下底面面积为，
所以几何体的表面积为．
（2）易知几何体的体积等于圆台体积减去圆锥体积，
即，
所以几何体的体积为．
16．【答案】（1）
（2）12
【详解】（1）由正弦定理知，
在中，，
所以.
又，，可得，
所以.
（2）由题意可知的面积.
因为，所以.
由余弦定理，
可得，即，
所以，所以，
故的周长为12.
17．【答案】（1）
（2）．
【详解】（1）因为，所以．
又为锐角三角形，故，则．
因为，所以．
又，故．
（2）由正弦定理得，
则，．
由（1）知，则．
所以
，
因为为锐角三角形，
所以，所以，
所以，
所以当时，即时，取得最大值．
18．【答案】（1）2
（2）16
【详解】（1）由已知，得，
设，的夹角为，由，
可得，即，又，所以，
所以；
（2），
，当且仅当，
即时等号成立．
所以的最小值是16．