山西省部分重点高中2025-2026学年高一下学期5月月考试题 数学（含解析）

这是一份山西省部分重点高中2025-2026学年高一下学期5月月考试题 数学（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若复数，则z的虚部为（ ）
A．B．C．D．
2．已知某圆锥的底面积为，轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
3．设m，n，l是不同的直线，是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
4．如图所示正方形的边长为2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）
A．12cmB．16cmC．D．
5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则此三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
6．已知为的三个内角的对边，向量.若，且，则角B的大小为（ ）
A．B．C．D．
7．已知棱长为的正方体的一个面在一半球底面上，且四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为（ ）
A．B．C．D．
8．已知的外接圆圆心为，角所对的边分别为，且，，若，则（ ）
A．8B．13C．16D．32
二、多选题
9．已知i为虚数单位，复数，则（ ）
A．的共轭复数为B．
C．为实数D．在复平面内对应的点在第一象限
10．圆柱的轴截面为正方形，则下列结论正确的有（ ）
A．圆柱内切球的半径与图柱底面半径相等
B．圆柱内切球的表面积与圆柱表面积比为
C．圆柱内接圆锥的表面积与圆柱表面积比为
D．圆柱内切球的体积与圆柱体积比为
11．已知平面内三个向量，，满足，且 ，，给出下列四个结论：其中正确的是（ ）
A．若，则射线OC平分；
B．若，则的最小值为；
C．若，，则面积是面积的4倍；
D．若，，设点C到OA所在直线的距离为d，则d的取值范围为
三、填空题
12．已知，若与夹角为钝角，则实数的取值范围为___________
13．已知直三棱柱中，，，Q点为棱的中点，一只虫子由表面从Q点爬到点的最近距离为______.
14．在中，，过点D的直线分别交直线于点，且，，其中，，则的最小值为______.
四、解答题
15．已知平面向量满足，其中.
(1)若，求实数m的值；
(2)若，求向量与的夹角的大小.
16．如图，在平面四边形中，，.
(1)若，，求的值；
(2)若，，求的面积.
17．如图，空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且．
(1)求证：四点共面；
(2)设与交于点，求证：三点共线．
18．设的内角A，B，C所对的边分别为b，c，且满足，．
(1)求A；
(2)若为锐角三角形，求周长的取值范围；
(3)若的内切圆半径，求的面积S.
19．“平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点”被称为费马点，是由法国数学家费马在十七世纪提出的，意大利数学家托里拆利给出了确定费马点的方法：当的三个内角均小于时，满足的点O为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.请用上述知识解决下面的问题：在中，角所对的边分别为，且.
(1)求；
(2)已知，点为的费马点.
①若，记，求；
②若为锐角三角形，求的取值范围.
参考答案
1．C
【详解】因为，
所以z的虚部为.
2．B
【详解】因为底面积为，所以圆锥的底面半径为2，轴截面为等边三角形，
所以该圆锥的母线长为4，
所以.
3．C
【详解】对于A，由，与可能平行，相交或异面，故A错误；
对于B，由，与可能平行或相交，故B错误；
对于C，由线面平行的性质定理可得，故C正确；
对于D，由，则与可能平行或异面，故D错误.
故选：C.
4．B
【详解】在直观图中，，
则在原图形中，所以，
即原图形的周长为16.
故选：B.
5．B
【详解】移项得，可化为
，
展开得，
整理得，又，所以，即，则为直角三角形.
故选：B．
6．A
【详解】由可得，即，
由，所以，
因为，则，
所以，而，则，且，
所以，则得.
7．A
【详解】如图，设半球的球心为，半径为，连接，
由题易知半球的球心是底面正方形的中心，且，，
在中，，得到，
故半球的体积为，
故选：A.
8．B
【详解】由余弦定理可得，
因为，代入化简可得，所以，
因为，
所以为边的中点，，
取的中点为，
因为是的外接圆圆心，
所以，
由数量积的几何意义可知，
同理，
所以.
9．BD
【详解】对于A,故A错误，
对于B，则，故，故B正确，
对于C，为虚数，故C错误，
对于D，，对应的点为，故在复平面内对应的点在第一象限，故D正确，
故选：BD
10．ABD
【详解】设圆柱的底面半径为，则圆柱的高为，所以内切球的半径为，A正确；
圆柱的表面积为，内切球的表面积为，所以圆柱内切球的表面积与圆柱表面积比为，B正确；
圆柱内接圆锥的表面积为，圆柱内接圆锥的表面积与圆柱表面积比为错误；
圆柱内切球的体积，圆柱的体积，所以，D正确.
故选：.
11．ACD
【详解】对于A，若，则，
因为，故为等腰三角形，取为的中点，
则，而平分，故平分，故A正确；
对于B，若，则，
所以 ，
当时，，故，故B错误；
对于C，若，则,取，
以为邻边做平行四边形,则，
由于，故到直线的距离为到直线距离的4倍，
故面积是面积的4倍，故C正确；
对于D，取，则，
由可得，
因为，故在直线上，
取的中点，过作的平行线交于，过作的平行线交于，
则，，
因为，故在线段上（如图所示），
故到的距离为，到的距离为，
故的取值范围为，故D正确；
12．
【详解】由与夹角为钝角，得，
解得，
当时，可得，解得，不在范围内，
所以实数的取值范围为
13．5
【详解】将直三棱柱侧面展开如图所示：
因为，所以，，
因为，
所以结合展开图可知，从点爬到点的最近距离为.
14．
【详解】如下图所示：

因为，易知，
又，所以，
易知三点共线，利用共线定理可得，
又，，
所以；
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
15．(1)9
(2)
【详解】（1）因为，又，
所以，
解得；
（2）因为，
所以，解得，
所以，
所以，
所以，
，
所以向量与夹角的余弦值为，
又由，可得.
16．(1)
(2)
【详解】（1）在中，，，
由余弦定理得，
所以，
在中，，，，
所以由正弦定理得，得，
，得.
（2）在中，，
由余弦定理得，
在中，，，
则余弦定理得，
因为，所以，解得，
所以，
因为，所以，
所以的面积.
17．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）证明：在中，∵为的中点，
∴．
在中，∵，
∴，∴，
∴四点共面．
（2）∵，，，
∴平面，平面，
又平面平面，
∴直线．∴三点共线．
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由，可得,
，
,
，又，则,
，又，
.
（2）由（1），由正弦定理得，，
，
因为为锐角三角形，所以，
，则，
，
所以的周长范围为.
（3）由，
，即，
由余弦定理得，得，
，即，
解得或（舍去），
所以.
19．(1)
(2)①；②
【详解】（1）根据正弦定理，有，
即，
又因为，
所以，
即，
即，
因为三角形中，则有，
即，所以，
又，所以，则；
（2）因为，所以和均小于，
又为费马点，则有，
（ⅰ）在中，由正弦定理得，
即，得，
在中，由正弦定理得，
在中，，
由正弦定理得，
①②两式相除得，化简得，
所以；
（ⅱ）
，
由，
得，
整理得，
因为，
所以
，
因为是锐角三角形，所以，即，
所以，所以，
则，所以，
所以的取值范围是.