山西省部分重点中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份山西省部分重点中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版），共18页。试卷主要包含了本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色，墨水签宇笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：必修第二册第六，七章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知向量，则（ ）
A B. C. D.
2. 若复数z满足，则z的虚部为（ ）
A. －2B. －1C. －2iD. －i
3. 已知的内角A，B，C的对边分别为，则（ ）
A B. C. 或D. 或
4. 已知复数，在复平面内，复数对应的点分别为A，B，且点A与点B关于直线对称，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知向量，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知的内角A，B，C的对边分别为，则是（ ）
A. 直角三角形B. 针角三角形C. 等边三角形D. 等腰三角形
7. 已知的内角A，B，C所对的边分别为，且，则的外接圆的面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 设O为等腰内切圆的圆心，，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设，则下列关于复数的说法正确的是（ ）
A. B.
C. 若，则为共轭复数D. 若，则的最大值为6
10. 已知的内角A，B，C的对边分别为，则（ ）
A.
B. 是锐角三角形
C. 若M是BC上一点，且，则
D. 若D是BC上一点，且AD平分，则
11. 如图，长方形ABCD中，，点P是线段AD上的一点，点E，F分别为线段PB，PC上的动点，且，点M，N分别为线段BC，EF的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值为
B.
C. 若，则的最小值为
D. 若，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知i虚数单位，则______．
13. 已知非零向量的夹角为，且，则在上的投影向量为______．
14. 如图，某幼儿园计划在一个两面靠墙的角落规划一个三角形活动区域（即区域），地面形状如图所示．已知点M，N分别在AB，BC上，，则最长为______m．
四，解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知复数z满足．
（1）求复数z；
（2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数m的取值范围．
16. 已知向量．
（1）若，求实数k的值；
（2）若与的夹角为钝角，求实数k的取值范围．
17. 已知在锐角中，内角A，B，C的对边分别是．
（1）求C；
（2）若，求的周长．
18. 如图，在平行四边形ABCD中，Q是线段BC上的动点，且满足，P是CD的中点，设．
（1）用向量表示向量；
（2）设．
①求值；
②求的面积．
19. 已知的内角A，B，C的对边分别为．
（1）求A；
（2）若，求的值；
（3）设点O为外接圆圆心，M是BC的中点，，若，求的值．
2024级高一学年下学期第一次月考
数学
考生注意：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色，墨水签宇笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：必修第二册第六，七章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知向量，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量减法的坐标运算可得.
【详解】因为，所以．
故选：C
2. 若复数z满足，则z的虚部为（ ）
A. －2B. －1C. －2iD. －i
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由复数的运算代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，所以，所以z的虚部为．
故选：B
3. 已知的内角A，B，C的对边分别为，则（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由正弦定理代入计算，即可得到结果.
【详解】由正弦定理，得，所以，又，所以．
故选：A
4. 已知复数，在复平面内，复数对应的点分别为A，B，且点A与点B关于直线对称，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数对应点对称，可得出，再由复数的加法及复数的模求解.
【详解】因为，所以点．
因为点A与点B关于直线对称，
所以，
所以．
故选：A
5. 已知向量，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量差的模的性质求解.
【详解】由，
可得．
故选：C
6. 已知的内角A，B，C的对边分别为，则是（ ）
A. 直角三角形B. 针角三角形C. 等边三角形D. 等腰三角形
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由余弦定理代入计算即可得到边，从而得到结果.
【详解】设，由余弦定理，
得，整理得，所以，
所以为等腰三角形．
故选：D
7. 已知的内角A，B，C所对的边分别为，且，则的外接圆的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由余弦的和差角公式代入计算，可得，然后结合正弦定理代入计算，即可得到外接圆的半径，从而得到结果.
【详解】由，
得，所以．
又因为，结合正弦定理（其中R为的外接圆的半径），
所以，解得，
则的外接圆的面积为．
故选：D
8. 设O为等腰内切圆的圆心，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用余弦定理求出三角形中，再由内切圆性质得出，根据向量求出即可.
【详解】因为，所以，所以．
由余弦定理，得，
即，解得．
取BC的中点E，连接AE，如图，
则，
所以的内心O在线段AE上，OE为内切圆的半径，
因为，所以，
所以，得，
所以，所以，
又，
所以，
所以，所以．
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设，则下列关于复数的说法正确的是（ ）
A. B.
C. 若，则为共轭复数D. 若，则的最大值为6
【答案】ABD
【解析】
【分析】设，，根据共轭复数概念、复数乘法、复数模的坐标表示逐项判断AB；根据共轭复数的概念可判断C；根据复数的几何意义可判断D.
【详解】对于A，设，则，A正确；
对于B，设，故
，
而，B正确；
对于C，，因为，
所以，即，但a与m不一定相等，C错误；
对于D，若，则复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，
表示圆上的点与点的距离，则距离的最大值为，D正确．
故选：ABD
10. 已知的内角A，B，C的对边分别为，则（ ）
A.
B. 是锐角三角形
C. 若M是BC上一点，且，则
D. 若D是BC上一点，且AD平分，则
【答案】AC
【解析】
【分析】由余弦定理求出判断A，由余弦定理求出判断B，利用等面积法求高判断C，根据三角形的面积公式求判断D.
【详解】由余弦定理，得，解得，故A正确；
由余弦定理，得，所以为钝角三角形，故B错误；
设BC边上的高长h，则，解得，故C正确；
设BC边上的角平分线为AD，则，
则，即，
解得，故D错误．
故选：AC
11. 如图，长方形ABCD中，，点P是线段AD上的一点，点E，F分别为线段PB，PC上的动点，且，点M，N分别为线段BC，EF的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值为
B.
C. 若，则的最小值为
D. 若，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意，以B为坐标原点，建立平面直角坐标系，由数量积的坐标运算即可判断AD，由基底法表示向量即可判断B，由向量模长的坐标公式即可判断C.
【详解】以B为坐标原点，BC，BA所在的直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，
如图所示，则，，
设，所以，
所以，
所以．的最小值为－3，此时，A正确；
因为，
所以
，B错误；
因为，，
所以，
所以，
当时，，所以，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为，故C正确；
因为，
若，则，
所以，即，当且仅当即时，等号成立，
所以，即的最小值是，D正确．
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知i是虚数单位，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由复数的运算代入计算，即可得到结果.
【详解】由的周期性可得，
，
故答案为：
13. 已知非零向量夹角为，且，则在上的投影向量为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由数量积的运算律结合投影向量的定义代入计算，即可得到结果.
详解】由题知，
所以在上的投影向量为．
故答案为：
14. 如图，某幼儿园计划在一个两面靠墙的角落规划一个三角形活动区域（即区域），地面形状如图所示．已知点M，N分别在AB，BC上，，则最长为______m．
【答案】140
【解析】
【分析】根据余弦定理及基本不等式求解即可.
【详解】在中，
由余弦定理，得，
所以．
在中，
由余弦定理得，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以．
故答案为：
四，解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知复数z满足．
（1）求复数z；
（2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设且，根据复数的代数形式运算及复数相等求解；
（2）化简后，根据复数对应点所在象限列出不等式求解.
【小问1详解】
令且，则，
所以，则解得
所以．
【小问2详解】
由，得，
故在复平面内对应的点位于第三象限，则
解得，即实数m的取值范围为．
16. 已知向量．
（1）若，求实数k的值；
（2）若与的夹角为钝角，求实数k的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出向量的坐标，由求解即可；
（2）由题意可得，且与不共线，据此求解即可.
【小问1详解】
解：因为，
所以．
因为，则，
所以，解得．
【小问2详解】
解：由（1）知，
所以．
因为与的夹角为钝角，
所以，且与不共线．
即，解得且，
所以实数k的取值范围是．
17. 已知在锐角中，内角A，B，C的对边分别是．
（1）求C；
（2）若，求的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理转化后，利用三角函数求解；
（2）由正弦定理求出，再由余弦定理即可得解.
【小问1详解】
由及正弦定理，得．
而，所以．
又为锐角三角形，所以，所以
【小问2详解】
由正弦定理，
得．
因为，所以．
由余弦定理得，即，
所以，所以，故
所以的周长为.
18. 如图，在平行四边形ABCD中，Q是线段BC上的动点，且满足，P是CD的中点，设．
（1）用向量表示向量；
（2）设．
①求的值；
②求的面积．
【答案】（1），，
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）根据题意，由平面向量基本定理结合向量的线性运算代入计算，即可得到结果；
（2）①由向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果；②由三角形的面积公式代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
因为P是CD中点，所以，
得．
由， 得 ，
又由向量减法，得 ．
【小问2详解】
①由，得，
则，
，
．
又，所以，
故，解得（舍去）或，所以．
②由①知，，
所以的面积．
19. 已知内角A，B，C的对边分别为．
（1）求A；
（2）若，求的值；
（3）设点O为的外接圆圆心，M是BC的中点，，若，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理转化为三角函数，再由两角和的正弦公式化简可得解；
（2）由余弦定理及正弦定理化简得解；
（3）利用向量的线性运算及数量积的运算律化简求值即可.
【小问1详解】
由及正弦定理，得，
即．
因为，
所以，
因为，所以．
因为，所以．
【小问2详解】
由余弦定理知，所以，
由正弦定理及，得，所以，
所以．
【小问3详解】
因为M是BC的中点，所以，
两边平方得，
则，即．
令边AB，AC的中点分别为E，F，如图，
由点O为的外接圆圆心，得，
，
，
所以．