2026年中考第二次模拟考：数学二模模拟卷（青海省卷专用）

这是一份2026年中考第二次模拟考：数学二模模拟卷（青海省卷专用），共17页。试卷主要包含了已知，下列计算正确的是，如图，3的算术平方根是___等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1． 数轴上点P的位置如图所示，则点P表示的数可能是（ ）
A．B．C．D．
A
【分析】本题考查了数轴表示实数，无理数的估算，由数轴可知，点表示的数在到之间，根据选项进行判断即可．
【详解】解：根据题意，可得点表示的数在到之间，
各选项中，，，，
故只有满足在到之间．
2．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
D
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解.
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意；
3．一次函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
B
【分析】本题考查了一次函数图象与其系数的关系：对于一次函数（k为常数，），当的图象在一、二、三象限；当的图象在一、三、四象限；当的图象在一、二、四象限；当的图象在二、三、四象限，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，
∴四个选项中，只有B选项中的函数图象符合题意，
故选：B．
4．已知：如图，，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
D
【分析】本题考查了平行线性质，三角形的外角性质，先根据平行线的性质得到，然后根据三角形外角性质解答即可．
【详解】解：设和交于点F，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
5．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C． D．
C
【分析】本题主要考查了去括号，二次根式的减法运算，同底数幂的除法，完全平方公式，掌握这些知识是解题的关键．运用去括号法则、二次根式的减法运算法则、指数运算法则和完全平方公式．通过逐一验证每个选项的计算是否正确，
【详解】解：A、，A错误．
B、和不是同类二次根式，， B错误．
C、， C正确．
D、， D错误．
故选C
6．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（ ）
A．（20﹣x）2＝20xB．x2＝20（20﹣x）
C．x（20﹣x）＝202D．以上都不对
A
【分析】点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，则，即可求解．
【详解】解：由题意知，点P是AB的黄金分割点，
且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，
∴，
∴（20−x）2＝20x，
故选：A．
【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
7．如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，是以点为圆心， 为半径的弧，弦的长为，则的长是（ ）
A．B．C．D．
D
【分析】本题考查了等边三角形的判定，求弧长，根据已知可得，则是等边三角形，进而根据弧长公式，即可求解．
【详解】解：依题意，，
∴是等边三角形．
∴．
∴的长为．
故选：D．
8．如图1，在等腰直角三角形中，，点D为边的中点；动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到的中点时，的长为（ ）
A．2 B．2.5 C． D．4
A
【分析】本题考查了根据函数图象得到信息，三角形中位线，等腰直角三角形的性质，得到当点P运动到点C时，的面积最大是解题的关键；
根据运动轨迹可得的面积先增大再减小，可得当点P运动到点C时，的面积最大为4，即可求得，再利用三角形中位线定理即可解答．
【详解】解：根据题意动点P从点A出发，沿边方向匀速运动过程中，的面积先增大再减小，当点P运动到点C时，的面积最大，根据函数图象可得此时的面积为4，如图，
∵等腰直角三角形，，点D为边的中点，
∴，
∴，
当点P运动到的中点时，
∵点D为边的中点，
∴；
故选：A.
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
9．3的算术平方根是___．
【详解】试题分析：3的算术平方根是，故答案为．
考点：算术平方根．
10．电影《哪吒之魔童闹海》自上映以来，好评如潮，截至2025年4月22日，总票房已超157亿元，再次刷新中国电影票房纪录．将数据157亿用科学记数法表示为_______
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：157亿，
故答案为：．
11．在函数 中，自变量的取值范围是_______．
【分析】本题主要考查了函数自变量的取值范围、分式有意义的条件等知识点，掌握分式有意义的条件是解题的关键．
根据分式有意义的条件列出关系式求解即可．
【详解】解：由题意可得：，
解得：．
故答案为：．
12．2025年国产AI大模型的爆火，引发了全球科技界的广泛关注．若小庆同学从“豆包”、“腾讯元宝”、“即梦AI”、“文心一言”四种应用软件中随机选取两种进行学习，则小庆同学选取的两种软件为“豆包”和“腾讯元宝”的概率为________．
【分析】本题考查列表法或画树状图求概率．根据题意记“豆包”、“腾讯元宝”、“即梦AI”、“文心一言”分别用字母A，B，，表示，列出表格表示出所有等可能的结果，再找出恰好选中“豆包”和“腾讯元宝”的结果，再根据概率公式计算即可．
【详解】解：记“豆包”、“腾讯元宝”、“即梦AI”、“文心一言”分别用字母A，B，，表示，
根据题意可列出表格如下：
由表可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中“豆包”和“腾讯元宝”的有2种结果，
小庆同学恰好选中“豆包”和“腾讯元宝”的概率为．
故答案为：．
13．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的k的值_____．
（答案不唯一）
【分析】本题考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到，结合一元二次方程的二次项的系数不为0，进行求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，
∴且，
∴k的值可以为（答案不唯一）；
故答案为：（答案不唯一）．
14．一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图，这枚古钱币的半径为____________ ．
13
【分析】本题考查了垂径定理，正方形的性质，勾股定理，先根据题意，则是的直径，过作，连接，再结合正方形的性质以及垂径定理得，，由勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】解：如图所示：是的直径，过作，连接，
依题意，，
∵，
∴，，
∵一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，
∴，
在中，，
即这枚古钱币的半径为，
故答案为：13
15．如图，在边长为4的等边三角形中，是中线，将绕点顺时针旋转得到，连接，则____________．
【分析】过点E作交延长线于点H，由等边三角形的性质得到，继而由三线合一得到，，由勾股定理得到，旋转得到，，则，继而，即可求解面积．
【详解】解：过点E作交延长线于点H，
∵为等边三角形
∴，
∵是中线，
∴，，
∴由勾股定理得：，
由旋转得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，角直角三角形的性质，旋转的性质，正确构造辅助线是解题的关键．
16．如图是由若干个大小相同的“”组成的一组有规律的图案，其中第1个图案用了2个“”，第2个图案用了6个“”，第3个图案用了12个“”，第4个图案用了20个“”，……，依照此规律，第n个图案中“”的个数为________（用含n的代数式表示）．
三、解答题（本大题共9个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分6分）计算：．
【分析】本题考查了有理数的乘方运算、特殊角的三角函数值（）、绝对值的性质。解题的关键是熟练掌握乘方、三角函数、绝对值的基础计算规则，
（1） 先计算乘方；再代入特殊角三角函数值，计算；接着化简绝对值；最后将各项结果进行加减运算．
【详解】（1）
18．（本小题满分8分）先化简，再求值：，其中
【分析】本题考查分式通分、因式分解、除法变乘法的化简方法，代入求值时准确计算．先对括号内通分计算；再将除法转化为乘法（乘以倒数），对分子因式分解（完全平方公式）；然后约分简化分式；最后将代入化简后的式子计算．
解：
当时，原式
∴化简结果为，代入求值结果为．
19．（本小题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数的图象交于点，射线与反比例函数的图象交于点C，连接． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积．
(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为
(2)
【分析】本题考查待定系数法求解析式，函数图象的交点，坐标系中三角形的面积．
（1）把点代入一次函数，即可得到k的值，得到一次函数的表达式．把点代入一次函数，得到，把点代入反比例函数，求出m的值，得到反比例函数的表达式；
（2）结合函数图象关于原点中心对称可知，根据求解即可．
【详解】（1）解∶∵一次函数的图象与x轴交于点，
∴，解得，
∴一次函数的表达式为．
∵一次函数过点，
∴，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象过点，
∴，解得，
∴反比例函数的表达式为．
（2）解：射线与反比例函数的图象交于点C，
结合函数图象关于原点中心对称可知，
过点作轴于点E，过点作轴于点D，
∴，，
∵，
∴，
∴．
20．（本小题满分8分）已知：如图，矩形．
(1)尺规作图：在边上找一点E，将矩形沿折叠，使点C落在边上；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）所作图形中，若，，求的长．
(1)图见解析
(2)
【分析】本题考查矩形与折叠，尺规作图—作角平分线和线段，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键：
（1）以为圆心，为半径画弧，交于点，作的角平分线，交于点，即为所求；
（2）折叠的性质，得到，在中，勾股定理求出的长，进而求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）∵四边形是矩形，
∴，
∵由折叠可得，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：，
∴．
21．（本小题满分6分）
小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点处安装测角仪，测得河对岸点的俯角为与的夹角为，又测得点与河岸点之间的距离为．已知，点在同一平面上，点在同一水平直线上，且．求河宽．（参考数据：，，，）
【分析】本题考查解直角三角形，掌握相关知识是解决问题的关键．延长交于点，则，在中，利用的三角函数可求，则可求，进而在中利用三角函数值可求， 则可求．
【详解】解：如解图，延长交于点，则，
在中，，
，，
，
在中，，
，
，
河宽约为．
22．（本小题满分8分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，E为BC上一点，以CE为直径作⊙O，AB与⊙O相切于点D，连接CD，若BE=OE=2．
（1）求证：∠A=2∠DCB； （2）求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）连接OD，求出∠ODB=90°，求出∠B=30°，∠DOB=60°，求出∠DCB度数，关键三角形内角和定理求出∠A，即可得出答案．
（2）根据勾股定理求出BD，分别求出△ODB和扇形DOE的度数，即可得出答案．
【详解】（1）连接OD，
∵AB是⊙O切线，
∴∠ODB=90°,
∴BE=OE=OD=2,
∴∠B=30°，∠DOB=60°．
∵OD=OC，
∴∠DCB=∠ODC=∠DOB=30°,
∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°,
∴∠A=2∠DCB．
（2）∵∠ODB=90°，OD=2，BO=2+2=4，由勾股定理得：BD=2，
∴阴影部分的面积．
23．（本小题满分8分）西宁市某中学希望进一步提高学生体育与健康素养，为了解学生每天校外体育活动时间，随机抽取了若干名学生进行调查，将这些学生一天的校外体育活动时间x（分钟）分为五个小组：
A：；B：；C：；D： ；E：
现将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据统计图信息，解答下列问题：
(1)本次调查的样本容量是_________，并将频数分布直方图补充完整；
(2)若该校共有学生3000人，请根据调查结果估计，该校学生每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生有多少人？
(3)已知A组有1名男生和2名女生，从中随机抽取2名学生，请用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
(1)60，频数分布直方图见详解
(2)1200人
(3)
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．也考查了频数分布直方图．
（1）由的人数除以所占百分比求出样本容量，进而求出组的人数，将频数分布直方图补充完整即可；
（2）由该校学生总人数乘以每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生所占的百分比即可．
（3）画树状图，共有 6 种等可能的结果，恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的结果有 4 种，再由概率公式求解即可；
【详解】（1）解：本次调查的样本容量是：，
则组的人数，
将频数分布直方图补充完整如下：
（2）解：（人），
该校学生每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生有1200人．
（3）解：画树状图如图：
共有 6 种等可能的结果，恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的结果有 4 种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为，
故答案为：．
24．（本小题满分10分）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用．
【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据．
【收集整理数据】
【数学建模探究】
【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：与之间的关系可以近似地用______________函数表示，与之间的关系可以近似地用______________函数表示．（选填：一次、二次、反比例）
【检验】根据猜想求出与与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证．
【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么的最大值是多少？
【猜想】：图见解析，一次，二次；【检验】：，，验证见解析；【应用】：最大为
【分析】本题考查一次函数，二次函数的实际应用，正确求出函数解析式，是解题的关键：
猜想：描点，连线，画出函数图象，根据图象形状，判断函数类型即可；
检验：待定系数法求出函数解析式，再代入另外一组数据进行验证即可；
应用：设，由题意，得到，得到，根据二次函数求最值即可．
【详解】解：【猜想】：描点，连线，画图如下：
猜想：与之间的关系可以近似地用一次函数表示，与之间的关系可以近似地用二次函数表示；
故答案为：一次，二次；
【检验】：设，把代入，得，
解得：，
∴，
验证：当时，，符合题意；
设，把点，代入，得，
解得，
∴，
验证：当时，，符合题意；
【应用】：∵，设，
由题意，得：，
∴，
∴当时，最大为；
故最大为．
25．（本小题满分10分）综合与探究
【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形．
【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”．
【问题解决】如图3，在四边形中，，，．求：
①与的位置关系为：__________：
②_____．（填“>”，“”或“”）
【方法应用】①如图4，若，将绕点逆时针旋转至，点恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形．
②如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由．
问题解决：①互相平行；②=；【方法应用】①见解析；②或或
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
问题解决：①根据等腰三角形的性质得出，从而可得；
②证明得出，即，由可得结论；
方法应用：①根据双等四边形的定义进行证明；②分，或，或，三种情况讨论求解即可．
【详解】解：[问题解决]①∵，
∴，
∴，
∴；
②∵，，
∴，
，
，
，
；
故答案为：①平行；②＝；
方法应用：①为旋转得到，
，
令，则，，
，
由旋转得，，
又，
∴，
，
，
，
四边形为双等四边形；
②作于点，
，，
，，
设，则： ，
在中，，即，
解得：，
，，
若，时，，
若，时，
，
作于点，
∴，
，
，
若，时，如图，
，
，
，
，
．
综上所述：满足条件时，或或．第一个第二个
A
A
—
—
—
—
运动时间
0
4
8
12
16
20
…
运动快慢
12
10
8
6
4
2
…
运动路程
0
44
80
108
128
140
…