甘肃省嘉峪关市重点高中2025-2026年高二下学期4月第一次阶段性考试 数学（含解析）

这是一份甘肃省嘉峪关市重点高中2025-2026年高二下学期4月第一次阶段性考试 数学（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求．
1. 一质点做直线运动，其运动的位移 （单位：m）与时间 （单位：s）的关系为 ，则 时
的瞬时速度为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
分析：先对 求导，然后将 代入导数式，可得该质点在 时 瞬时速度.
解析： ，所以当 时， ．
故选：A．
2. 已知点 关于 轴的对称点为 ，则 的坐标为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
【解析】
分析：利用空间中对称点的性质求解即可.
解析：因为点 关于 轴的对称点为 ，
所以 ，故 C 正确.
故选：C
3. 下列求导运算正确的是（ ）
A. ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
答案：D
分析：直接根据导数的四则运算及复合函数求导法则判断即可．
解析：对于 A， ， ，故 A 错误；
对于 B， ，故 B 错误；
对于 C， ，故 C 错误；
对于 D， ，故 D 正确；
故选：D．
4. 函数 的定义域为 ，它的导函数 的部分图像如图所示，则下列结论中正确的是（
）
A. 是 的极小值点 B.
C. 函数 在 上有极大值 D. 函数 有三个极值点
答案：B
分析：由图像可得 有三个零点，但 附近导函数同号可知 不是极值点从而判断 AD；由
在 上， 上的单调性可以判断 BC.
解析：当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，所
以有 ，因此选项 B 正确；
当 时， ， 单调递增，所以 在 上没有极大值，因此选项 C 不正确；
当 时， ， 单调递增，于是 附近导函数 不变号，因此 不是 的极
值点，只有当 和 时函数有极值点，所以选项 A 不正确，选项 D 不正确，
故选：B
5. 函数 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
分析：求导，根据函数的单调性求解.
解析：由题意可得 .
由 ，得 ，由 ，得 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 .
故选：D.
6. 若点 是曲线 上任意一点，则点 到直线 的距离的最小值为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：点 是曲线 上任意一点,
所以当曲线在点 P 的切线与直线 平行时，点 P 到直线 的距离的最小，
直线 的斜率为 1，由 ，解得 或 （舍）.
所以曲线与直线的切点为 .
点 到直线 的距离最小值是 .选 C.
7. 若函数 在区间 上单调递增，则实数 k 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
分析：求导，可得 对 恒成立，可得 对 恒成立，求得
的最大值即可.
解析：由 ，可得 ，
因为函数 在区间 上单调递增，
所以 对 恒成立，即 对 恒成立，
即 对 恒成立，
令 ，则 ，因为 ，所以 ，
所以 在 上单调递减，
所以 ，所以 ，
所以实数 k 的取值范围是 .
故选：D.
8. 已知 ，则 的大小为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
分析：设 ，利用导数可得 在 上单调递增，在 上单调递减，从而可
得 最大，再根据对数的运算性质比较 的大小即可.
解析：解：因为 ， ，
设 ，
则 ，
所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
所以 ， ，
又因为 ，
所以 .
故选：A.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知空间向量 ， ，则下列选项正确的是（ ）
A. B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
答案：BD
分析：根据模长公式即可求解 A，根据垂直的坐标关系即可求解 B，根据平行满足的坐标关系即可求解 C，
根据夹角公式即可求解 D.
解析：A： ，A 错误；
B：由 知， ，解得 ，B 正确；
C：由 知， ，解得 ，C 错误；
D：若 ， ，则 ，D 正确.
故选：BD
10. 若函数 的导函数为 ，且 ，则（ ）
A. B. C. D.
答案：BC
分析：求导，得到 ，进而得到函数解析式及导函数解析式，代入求值，得到答案.
解析：A 选项，由题意得 ，令 ，
解得 ，A 错误；
BCD 选项， ，
所以 ，BC 正确，D 错误.
故选：BC
11. 已知函数 ，则（ ）
A．当 时， 单调递减 B．当 时，
C．若 有且仅有一个零点，则 D．若 ，则
答案：ABD
【解析】当 时， ， ，
设 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
当 时， 取得最大值，因为 ，
所以 ， 单调递减，故 A 正确；
当 时，
，则 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
当 时， 取得最小值， ，所以 .
设 ， ，
因为 ，所以 ， 单调递增，所以 ，
所以 ，故 B 正确；
，
若 ，则 ，
设 ，即 ，
设 ，则 ，
因为 ，所以 ， ， 单调递减，
若 有且仅有一个零点，则 ，此时 ，故 C 错误；
若 ，则 ，即 ，
因为 单调递减，所以 ，故 D 正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知函数 在 处的导数 ，则 ．
答案： 2
解析： .
故答案为： .
13. 已知 ， ， ，点 ，若 平面 ABC，则点 的坐标为______．
答案：
分析：利用线面垂直得线线垂直，即 ，结合坐标运算求解即可
解析：因为 ， ， ， ，所以 ， ，
，
因为 平面 ABC， 平面 ABC，
所以
所以点 的坐标为 ．
故答案为：
14. 英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式:当 在 处的 阶导数都存在时，
.注: 表示 的 2 阶导数，即
为 的导数， 表示 的 阶导数，即为 的导数. 表示 的阶乘，
即 .该公式也称为麦克劳林公式.根据该公式估算 的值为_____.(精确到小数点后两
位)
答案：0.84
分析：根据麦克劳林公式，求出 ，令 即可求解.
解析：令 ，
则 ， ， ， ，
故 ，
由麦克劳林公式得， ，
所以 .
故答案为：0.84.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)求函数 的极大值与极小值.
答案：(1)增区间为 和 ，减区间为
(2)极大值为 ，极小值为
解题思路：（1）根据题意，求得 ，结合 和 的解集，即可得
到函数 的单调区间；
（2）由（1）中，函数的单调性，列表，求得函数 的极值.
解析： （1）由函数 ，可得 ，
令 ，可得 或 ；令 ，可得 ，
则函数 的增区间为 和 ，减区间为 .
（2）解：由（1）可得
+ 0 0
↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑
所以函数 的极大值为 ，极小值为 .
16.在 如 图 所 示 的 平 行 六 面 体 中 ， ， ， ，
， ，设 ， ， .
（1）用 ， ， 表示 ， ， ；
（2）求 的长；
（3）求异面直线 与 所成角的余弦值.
答案：（1） ， ，
（2）
（3）
分析：（1）利用空间向量基本定理即可；
（2）利用模长公式求解即可；
（3）利用向量夹角公式求解即可
解析：（1）
，
，
，
（2）
， ， ，
， ， ，
因
，
所以 ，即 的长为 ；
（3）
因为 ， ，
同理可求得 ， ，
又因
，
所以 ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .
17.（15 分）已知函数.
(1)当时，
（i） 求曲线在点处的切线方程;
（ii） 当 时， 求函数的最大值;
(2)若 是函数的极大值点，求实数的取值范围.
答案：(1)（i） ;（ii）在 处函数 取得最大值为 .
(2)
解题思路： （1）（i）利用导数的几何意义，根据条件 的解析式，求出 、 的值即可求出;
（ii）分析出 的单调区间，得到极值，分析得出最值即可.
（2）利用 ， ，联立解出不等式即可.
解析： （1）（i）当 时， ， ，
，
，
切线方程的点斜式为： ，
整理得： .
（ii） ， ，对任意实数恒成立
的符号由 决定：
当 时 ，函数单调递减；
当 时 ，函数单调递减.
是极小值点， 时， ，
时， ，故 ，
∴当 时，在 处函数 取得最大值为 .
（2） ,
,
是函数 的极大值点, ，
，
,化简得 .
设 ，
,
为了确保 是极大值点,还需满足 ，
，
，解得： ，
的取值范围是 .
18. 已知函数
（1）讨论 的单调性；
（2）证明： .
答案：（1）答案见详解
（2）证明见详解
分析：（1）求导可得 ，分 和 两种情况，结合导函数的符号判断原函数单调
性；
（2）构建 ， ，根据单调性以及零点存在性定理分析
的零点和符号，进而可得 的单调性和最值，结合零点代换分析证明.
（1）
由题意可得： 的定义域为 ， ，
当 时，则 在 上恒成立，
可知 在 上单调递减；
当 时，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 上单调递减，在 上单调递增；
综上所述：当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）
构建 ，
则 ，
由 可知 ，
构建 ，
因为 在 上单调递增，则 在 上单调递增，
且
可知 在 上存在唯一零点 ，
当 ，则 ，即 ；
当 ，则 ，即 ；
可知 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，
又因为 ，则 ， ，
可得 ，
即 ，所以 .
19. 已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）当 时，若函数 有 2 个不同的零点 ， ．
（ⅰ）求 a 的取值范围；
（ⅱ）证明： ．
答案：（1）单调递增区间为 ，无单调递减区间
（2）（ⅰ） ；（ⅱ）证明见解析
分析：（1）利用导数判断函数的单调区间；
（2）（ⅰ）转化为函数 与 有两个交点的问题；
（ⅱ）由函数的两个零点可得 ，再利用构造函数的方法证明即可.
（1）
当 时， ，则 ，
令 ，得 ，
当 时， ；当 时， ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 在 处取得极小值， ，所以 ，
所以 恒成立，
即 在 上单调递增；
故单调递增区间为 ，无单调递减区间．
（2）
（ⅰ）当 时，若函数 有 2 个不同的零点 ， ，
∴ 恰有 2 个正实数根 ， ，
令 ，则 与 有两个不同交点，
∴ ，
∴当 时， ；当 时， ，
∴ 上单调递减，在 上单调递增，又 ，
当 x 从 0 的右侧无限趋近于 0 时， 趋近于 ；
当 x 无限趋近于 时， 的增速远大于 的增速，则 趋近于 ，
则 图象如下图所示，
∴当 时， 与 有两个不同交点，
∴实数 a 的取值范围为 ．
（ⅱ）证明：由（ⅰ）知： ， ，
∴ ， ，
∴ ，则 ，
不妨设 ，
要证 ，则需证 ，
∵ ，∴ ，∴ ，则只需证 ，
令 ，则只需证 时， 恒成立，
令 ，
∴ ，
∴ 上单调递增，∴ ，
∴当 时， 恒成立，
∴原不等式 得证．