甘肃省嘉峪关市2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷（解析版）

这是一份甘肃省嘉峪关市2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷（解析版），共11页。试卷主要包含了单选题.，多选题.，填空题.，解答题.等内容，欢迎下载使用。
一、单选题.
1. 若复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. C. 1D. i
【答案】A
【解析】由，可得，所以，所以，
所以的虚部为.
故选：A.
2. 如图，四边形是正方形，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】易知.
故选：B.
3. 已知向量满足，则实数的值为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】由可得.
故选：D.
4. 已知的内角，，的对边分别是，，，且，则的形状是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
【答案】C
【解析】因为，不妨设，，
则为最大角，由余弦定理可得，
即为钝角，所以是钝角三角形.
故选：C.
5. 已知向量满足，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】B
【解析】向量满足，
所以.
故选：B.
6. 已知平面向量，不共线，，，，则（ ）
A. 三点共线B. 三点共线
C. 三点共线D. 三点共线
【答案】D
【解析】对于A，，与不共线，A不正确；
对于B，，，则与不共线，B不正确；
对于C，，，则与不共线，C不正确；
对于D，，
即，又线段AC与CD有公共点C，所以三点共线，D正确．
故选：D．
7. 如图，为测量山高MN，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测．已知山高，两座山都垂直地面，则山高MN长度为（ ）.
A. 150B. C. 300D.
【答案】A
【解析】在直角中，，BC＝100，可得，
在中，，，则，
由正弦定理有：，即，故，
在直角△中，，可得().
故选：A.
8. 在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如下图所示：
，即，，
，，，，
，、、三点共线，则.
，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.
故选：B.
二、多选题.
9. 已知复数，以下结论正确的是（ ）
A. 是纯虚数 B.
C. D. 在复平面内，复数对应的点位于第三象限
【答案】ABD
【解析】，
对于A，，纯虚数，A正确；
对于B，，B正确：
对于C，，C错误：
对于D，，对应的点为，
位于第三象限，D正确.
故选：ABD.
10. 对于，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A. 若，则为等腰三角形
B. 若，则
C. 若，，，则符合条件的有两个
D. 若，则是钝角三角形
【答案】ABD
【解析】对于A，若，因为函数在上为单调函数，所以，
所以为等腰三角形，所以A正确；
对于B，若，可得，由正弦定理，
可得，可得，所以B正确；
对于C，因为，所以符合条件的有0个，所以C不正确；
对于D，若，由正弦定理得，
则，因为，所以，
所以是钝角三角形，所以D正确.
故选：ABD.
11. 下列说法中错误的有（ ）
A. 已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
B. 已知向量，，则不能作为平面的一个基底
C. 若，，则
D. 是所在平面内一点，且满足，则是的内心
【答案】AC
【解析】对A选项，，，且与的夹角为锐角，
且与不共线，，则且，
解得且，故A选项错误；
对B选项，，则不能作为平面的一个基底，故B选项正确；
对C选项，因为向量，
所以不一定满足，故C选项错误.
对D选项，因为，
由可知，垂直与角的外角平分线，所以点在角的平分线上，
同理点在角的平分线上，点在角的平分线上，所以是的内心，故D选项正确.
故选：AC.
三、填空题.
12. 设复数满足，则________.
【答案】
【解析】，则，
故.
13. 已知，，向量在方向上的投影向量是（是与方向相同的单位向量），则______．
【答案】12
【解析】由题意知，在方向上的投影向量为，
所以，
所以.
14. 在中，，.
①若，则角的大小为_____；
②若角有两个解，则的取值范围是_____.
【答案】
【解析】①由正弦定理可得，
，；
②在中，，，如下图所示：
若使得角有两个解，则，即.
四、解答题.
15. 已知复数，.
（1）求；
（2）复数，对应的向量分别是，，其中为坐标原点，当时，求的值.
解：（1）∵，∴.
（2）∵，.
，
∵，∴.
16. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求A；
（2）若，的面积为，求a的值．
解：（1）由得，
由正弦定理得．由余弦定理得．
，．
（2）由于的面积为，，，
由余弦定理得：．
．
17. 如图，在菱形中，.
（1）若，求的值；
（2）若，求.
解：（1）因为，，
所以，
所以，
所以，
故.
（2），
，
为菱形，，
所以，
.
18. 已知锐角的内角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）当时，求周长的取值范围.
解：（1）∵，∴，
∴，
∵，∴，
，∴.
（2）∵，∴.
∵为锐角三角形，∴，
∴由正弦定理可得：，
周长
，
∵，∴，
∴周长的取值范围是.
19. 如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．已知在仿射坐标系下，．
（1）求向量，仿射坐标；
（2）当时，求；
（3）设，若对恒成立，求的最大值．
解：（1）由已知得，
所以的仿射坐标为，
同理，所以的仿射坐标为．
（2）当时，，，，
所以，
，
，
所以．
（3），
，
，
由得．
得对恒成立，
又．所以，
得．
此时．
因为，，所以，
所以，所以，
所以的最大值为．