甘肃省嘉峪关市第一中学2024~2025学年高二下册4月月考数学试题【附解析】

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一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知函数，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依题意求出函数的导函数，再解方程即可；
【详解】解：由题意可得，因为，所以．
故选：B
2. 设函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（ ）

A. 函数在上单调递增B. 函数在上单调递增
C. 函数在处取得极小值D. 函数在处取得极大值
【答案】B
【解析】
【分析】根据导函数的正负性与原函数单调性的关系，结合极值的定义逐一判断即可.
【详解】由图象可知，当时，，
所以函数在上单调递减，A错误；
当时，
所以函数在上单调递增，B正确，C错误；
函数在处取得极小值，D错误．
故选：B
3. 已知函数的导函数为，且满足，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求得，令，解得，得到，即可求解的值，得到答案.
【详解】由题意，函数，则，
令，则，解得，即，
令，则，故选C.
【点睛】本题主要考查了导数运算，以及函数值的求解，其中正确求解函数的导数，求得的值，得出函数的解析式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
4. 设直线是曲线在点处的切线，则直线与x轴，y轴围成的三角形面积为（ ）
A. 2B. 1C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，再求出直线与坐标轴的交点，根据三角形的面积公式可得结果.
【详解】因为，所以，
所以，
所以直线的方程为，即，
令，得，令，得，
所以直线与x轴，y轴围成的三角形面积为.
故选：A
5. 设，若为函数的极大值点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先分、、三种情况讨论的单调性，即可根据极值条件得出可判断AB选项；再给赋值判断CD选项.
【详解】由题意可得，
①当，即时，
则，得或；，得；
则在和上单调递增，在上单调递减，
则为函数的极小值点，不符合题意；
②当，即时，
则，得或；，得；
则和上单调递增，在上单调递减，
则为函数的极大值点，符合题意；
③当，即时，恒成立，则在上单调递增，
则无极值，不符合题意.
综上所得，，故A错误；B正确；
若，则；若，则，故CD错误.
故选：B
6. 设，，，…，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据所给定义及导数的运算法则求出、、、，即可找到规律，从而得解.
【详解】因为，所以，即，
所以，即，
所以，即，
所以，即，
所以，即，
又，所以.
故选：C
7. 设P为曲线上的点，若在点P处的切线的倾斜角的取值范围是，则点P的横坐标的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出，然后根据导数的几何意义结合点P处切线倾斜角的取值范围求出斜率的取值范围，列不等式可求出结果.
【详解】，设点P的横坐标为，
设在点P处的切线的倾斜角为，
因为，所以，
所以，解得.
故选：A.
8. 已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.
【详解】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C，，则，
当时，，与图象不符，排除C.
故选：D.
二、多项选择题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知函数，则（ ）
A. 在上单调递增
B. 是的极大值点
C. 有三个零点
D. 在上最大值是
【答案】BCD
【解析】
【分析】对求导，令，可得值，列表可得函数的单调性与极值，再逐个选项判断即可．
【详解】解：因为
所以，
令，解得或，
与随的变化情况如下表：
因此函数在，上单调递增，在上单调递减，故错误；
是的极大值点，故正确；
因为，，，，
由函数单调性及零点存在性定理可知有三个零点，故正确；
当的定义域为时，
在，上单调递减，在，上单调递增，
又， ，
所以在，上的最大值是4，故正确．
故选：．
10. 已知函数的图象如图所示，若为的导函数，则下列关系正确的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据导数的几何意义结合图象即可判断各选项.
【详解】对于AB，由图可知，，所以，A错B对；
对于CD，由图可知，，所以C错D对.
故选：BD
11. Sigmid函数是一个在生物学中常见的S型函数，也称为S型生长曲线，常被用作神经网络的激活函数.记为Sigmid函数的导函数，则（ ）
A. B. Sigmid函数是单调减函数
C. 函数的最大值是D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】求出给定函数的导数，再逐项分析、计算并判断作答.
【详解】由函数求导得：，
对于A，，A正确；
对于B，，，则Sigmid函数是单调增函数，B不正确；
对于C，，当且仅当，即时取“=”，C正确；
对于D，因，则，D正确.
故选：ACD
【点睛】思路点睛：求解函数的最值，导数法是一种很重要的方法，但在某些问题中，用导数可能很繁琐，可变形函数借助均值不等式、配方法等求解.
三、填空题（每小题5分，共15分）
12. 函数在处的切线斜率为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】求导，代入即可求解.
【详解】,则，
故处的切线斜率为，
故答案为：
13. 已知函数在处取得极小值，则的极大值为__________
【答案】
【解析】
【分析】求导函数，求出极大值点，最后代入原函数可求得极大值.
【详解】由题意得，，
，解得，
， ，
在上单调递增，在上单调递减，
的极大值为.
故答案为：
14. 已知，分别为直线和曲线上的点，则的最小值为_______
【答案】
【解析】
【分析】利用数形结合思想可知直线与曲线相切切点到直线的距离是最小值，从而利用导数来求出切点，再用点到直线的距离公式求出最小值即可.
【详解】直线与曲线相切于点A，
由题意的最小值为切点A到直线的距离，如图所示，
对求导有，由可得，即，
故的最小值为.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知函数.
（1）若，曲线在点处的切线斜率为1，求该切线的方程；
（2）若在的单调递增，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）先根据切线斜率求出切点坐标，再由点斜式写出直线方程即可.
（2）由在的单调递增，得在上恒成立，分离参数后得在上恒成立，求出在的最小值，即可求实数a的取值范围.
【小问1详解】
当时，，，
，令解得，
又∵，所以切线方程为：即.
【小问2详解】
∵在单调递增，∴时，恒成立，
又，∴在上恒成立，
∴恒成立，即在上恒成立，
又当时，，当且仅当时等号成立，
∴，∴a取值范围是.
16. 已知的一个极值点为2.
（1）求m的值；
（2）求函数的单调区间；
（3）求函数在区间上的最值
【答案】（1）
（2）函数在区间上单调递减，在区间，上单调递增.
（3）最小值为，最大值为13.
【解析】
分析】（1）由题意可得，求解即可；
（2）由（1）可得函数解析式，根据导数的意义求得函数的单调区间；
（3）根据（2）中对函数单调性的研究，可以判断在区间上的单调性，从而得出最大最小值
【小问1详解】
因为，所以，
∵的一个极值点为2，
∴，解得，
经验证时，有极值点2.
【小问2详解】
由（1），，
令，得或，
令，得；令，得或，
故函数在区间上单调递减，在区间，上单调递增.
【小问3详解】
由（2）知，在上为增函数，在上为减函数，
∴是函数的极大值点，又，，，
∴函数在区间上的最小值为，最大值为13.
17. 给定函数.
（1）判断函数f（x）的单调性，并求出f（x）的极值；
（2）画出函数f（x）的大致图象，无须说明理由（要求：坐标系中要标出关键点）；
（3）求出方程的解的个数.
【答案】（1）函数的减区间为，增区间为，有极小值，无极大值； （2）具体见解析； （3）具体见解析.
【解析】
【分析】（1）对函数求导，进而求出单调区间和极值；
（2）结合（1），并代入几个特殊点，再结合函数的变化趋势作出图象；
（3）结合（2），采用数形结合的方法求得答案.
【小问1详解】
，时，，单调递减，时，，单调递增，故函数在x=-1处取得极小值为，无极大值.
【小问2详解】
作图说明：由（1）可知函数先减后增，有极小值；描出极小值点，原点和点（1，e）；当时，函数增加得越来越快，当时，函数越来越接近于0.
【小问3详解】
结合图象可知，若，则方程有0个解；若，则方程有2个解；若或，则方程有1个解.
18. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数（称为的二阶导数），若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数.
（1）若既有极大值又有极小值，求m的取值范围；
（2）当时，①求的对称中心；
②计算的值.
【答案】（1）或.
（2）①；②2024
【解析】
【分析】（1）根据极值点概念，借助导数计算即可；
（2）①当时，，两次求导，根据拐点概念和性质得到对称中心为.②根据对称中心，得到，再赋值计算即可.
【小问1详解】
，∴.
∵既有极大值又有极小值，∴有两个不相等的实数根，
∴，∴或.
【小问2详解】
①当时，，
∴，.
令得，
又，∴的对称中心为.
②∵的对称中心为，∴，
∴
.
19. 已知函数（）.
（1）若关于x的方程有两个不相等的实根，求a的取值范围；
（2）若，
①证明：；
②设，求的最小值；
【答案】（1）
（2）①证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）求解的切线，结合函数图象，即可求解，
（2）构造函数，求导，得函数的单调性，即可求解最值求证①，②利用同构得，进而结合①的结论，即可求解.
【小问1详解】
由得，即.
由题意函数与直线有两个交点.
设曲线与直线切于点，则，
解得，，∴与直线相切，

∴当时，的图象与直线有两个交点，方程有两个不相等的实根，
∴a的取值范围是.
【小问2详解】
①设，则，
由，得，所以当时，；当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
∴，即，∴．
②，
由①即，∴
∴，∴.
2
0
0
极大值
极小值