甘肃省嘉峪关市2024−2025学年高一下学期第一次月考 数学试题（含解析）

这是一份甘肃省嘉峪关市2024−2025学年高一下学期第一次月考 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．1D．i
2．如图，四边形是正方形，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量满足，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知的内角，，的对边分别是，，，且，则的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰三角形
5．已知向量满足，则（ ）
A．B．C．0D．1
6．已知平面向量，不共线，，，，则（ ）
A．三点共线B．三点共线
C．三点共线D．三点共线
7．如图，为测量山高MN，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测．已知山高，两座山都垂直地面，则山高MN长度为（ ）.
A．150B．C．300D．
8．在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知复数，以下结论正确的是（ ）
A．是纯虚数B．
C．D．在复平面内，复数对应的点位于第三象限
10．对于，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则
C．若，，，则符合条件的有两个
D．若，则是钝角三角形
11．下列说法中错误的有（ ）
A．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
B．已知向量，，则不能作为平面的一个基底
C．若，，则
D．是所在平面内一点，且满足，则是的内心
三、填空题
12．设复数满足，则 .
13．已知，，向量在方向上的投影向量是（是与方向相同的单位向量），则 ．
14．在中，，.
①若，则角的大小为 ；
②若角有两个解，则的取值范围是 .
四、解答题
15．已知复数，.
（1）求；
（2）复数，对应的向量分别是，，其中为坐标原点，当时，求的值.
16．已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
(1)求A；
(2)若，的面积为，求a的值．
17．如图，在菱形中，.
（1）若，求的值；
（2）若，求.
18．已知锐角的内角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）当时，求周长的取值范围.
19．如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．已知在仿射坐标系下，．

（1）求向量，的仿射坐标；
（2）当时，求；
（3）设，若对恒成立，求的最大值．
参考答案
1．【答案】A.
【详解】由，可得，所以，所以，
所以的虚部为.
故选A.
2．【答案】B
【详解】易知.
故选B
3．【答案】D
【详解】由可得 ，
故选D
4．【答案】C
【详解】因为，不妨设，，
则为最大角，由余弦定理可得，
即为钝角，所以是钝角三角形.
故选C
5．【答案】B
【详解】向量满足，
所以.
故选B.
6．【答案】D
【详解】对于A，，与不共线，A不正确；
对于B，，，则与不共线，B不正确；
对于C，，，则与不共线，C不正确；
对于D，，
即，又线段AC与CD有公共点C，所以三点共线，D正确．
故选D．
7．【答案】A
【详解】在直角中，，BC＝100，可得，
在中，，，则，
由正弦定理有：，即，故，
在直角△中，，可得().
故选A.
8．【答案】B
【详解】如下图所示：
，即，，
，，，，
，、、三点共线，则.
，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为，故选B.
9．【答案】ABD
【详解】对于A，，为纯虚数，A正确；
对于B，，B正确：
对于C，，C错误：
对于D，，对应的点为，位于第三象限，D正确.
故选ABD.
10．【答案】ABD
【详解】对于A，若，因为函数在上为单调函数，所以，
所以为等腰三角形，所以A正确；
对于B，若，可得，由正弦定理，
可得，可得，所以B正确；
对于C，因为，所以符合条件的有0个，所以C不正确；
对于D，若，由正弦定理得，
则，因为，所以，
所以是钝角三角形，所以D正确.
故选ABD.
11．【答案】AC
【详解】对A选项，，，且与的夹角为锐角，且与不共线，，则且，解得且，
故A选项错误；
对B选项，，则不能作为平面的一个基底，故B选项正确；
对C选项，因为向量，所以不一定满足，故C选项错误；
对D选项，因为，
由可知，垂直于角的外角平分线，所以点在角的平分线上，同理，点在角的平分线上，点在角的平分线上，所以是的内心，
故D选项正确.
故选AC
12．【答案】/
【详解】，则，
故.
13．【答案】12
【详解】由题意知，在方向上的投影向量为，
所以，
所以.
14．【答案】
【详解】①由正弦定理可得，
，；
②在中，，，如下图所示：

若使得角有两个解，则，即.
15．【答案】（1）29
（2）
【详解】（1）∵，∴.
（2）∵，.
，
∵，∴.
16．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知结合正弦定理及余弦定理可求，进而可求；
（2）由已知结合三角形的面积公式可求，然后结合余弦定理即可求解．
【详解】（1）由得，由正弦定理得．
由余弦定理得．
，．
（2）由于的面积为，
，
，
由余弦定理得：．
．
17．【答案】（1）1
（2）9
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
所以，
故.
（2），
，
为菱形，，
所以，
.
18．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∵，∴，
∴.
（2）∵，∴.
∵为锐角三角形，∴，
∴由正弦定理可得：，
周长
，
∵，
∴，
∴周长的取值范围是.
19．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）由已知得，所以的仿射坐标为，
同理，所以的仿射坐标为．
（2）当时，，，，
所以，
，
，
所以．
（3），
，
，
由得．
得对恒成立，
又．所以，得．
此时．
因为，，所以，
所以，所以，
所以的最大值为．