甘肃省嘉峪关市2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份甘肃省嘉峪关市2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题（解析版）-A4，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时间：120分钟 满分：150分
一、单选题
1. 若复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. C. 1D. i
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的运算求得复数，可求复数的虚部.
详解】由，可得，所以，所以，
所以的虚部为.
故选：A.
2. 如图，四边形是正方形，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用平面向量的运算法则可得结果.
【详解】易知.
故选：B
3. 已知向量满足，则实数的值为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量的平行，列出关于m的方程，可求得答案.
【详解】由可得 ，
故选：D
4. 已知的内角，，的对边分别是，，，且，则的形状是（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形
C. 钝角三角形D. 等腰三角形
【答案】C
【解析】
【分析】利用余弦定理可得三角形的形状.
【详解】因为，不妨设，，
则为最大角，由余弦定理可得，
即为钝角，所以是钝角三角形.
故选：C
5. 已知向量满足，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.
【详解】向量满足，
所以.
故选：B
6. 已知平面向量，不共线，，，，则（ ）
A. 三点共线B. 三点共线
C. 三点共线D. 三点共线
【答案】D
【解析】
【分析】运用向量共线的判定先证明向量共线，再得到三点共线.
【详解】对于A，，与不共线，A不正确；
对于B，，，则与不共线，B不正确；
对于C，，，则与不共线，C不正确；
对于D，，
即，又线段AC与CD有公共点C，所以三点共线，D正确．
故选：D．
7. 如图，为测量山高MN，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测．已知山高，两座山都垂直地面，则山高MN长度为（ ）.
A. 150B. C. 300D.
【答案】A
【解析】
【分析】在直角中，，BC＝100，可求出AC，在中由正弦定理求出AM，在直角△MAN中即可求出山高MN.
【详解】在直角中，，BC＝100，可得，
在中，，，则，
由正弦定理有：，即，故，
在直角△中，，可得().
故选：A.
8. 在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意得出，再由，，可得出，由三点共线得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值.
【详解】如下图所示：
，即，，
，，，，
，、、三点共线，则.
，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为，故选：B.
【点睛】本题考查三点共线结论的应用，同时也考查了利用基本不等式求和式的最小值，解题时要充分利用三点共线得出定值条件，考查运算求解能力，属于中等题.
二、多选题
9. 已知复数，以下结论正确的是（ ）
A. 是纯虚数B.
C. D. 在复平面内，复数对应的点位于第三象限
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用复数运算，及模的运算，结合复平面可作出各选项判断.
【详解】
对于A，，纯虚数，A正确；
对于B，，B正确：
对于C，，C错误：
对于D，，对应的点为，位于第三象限，D正确.
故选：ABD.
10. 对于，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A. 若，则为等腰三角形
B. 若，则
C. 若，，，则符合条件的有两个
D. 若，则是钝角三角形
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，利用函数单调性判断；对于B，由正弦定理判断；对于C，求出判断即可；对于D，由正弦定理得，再利用余弦定理判断.
【详解】对于A，若，因为函数在上为单调函数，所以，
所以为等腰三角形，所以A正确；
对于B，若，可得，由正弦定理，
可得，可得，所以B正确；
对于C，因为，所以符合条件的有0个，所以C不正确；
对于D，若，由正弦定理得，
则，因为，所以，
所以是钝角三角形，所以D正确.
故选：ABD.
11. 下列说法中错误的有（ ）
A. 已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
B. 已知向量，，则不能作为平面的一个基底
C. 若，，则
D. 是所在平面内一点，且满足，则是的内心
【答案】AC
【解析】
【分析】由向量夹角为锐角，根据数量关系即可求得A选项，由平面向量基本定理以及向量数量积的运算法则即可判断BC选项，由已知条件可以判断出点在角平分线上，故可以判断出结论.
【详解】对A选项，，，且与的夹角为锐角，且与不共线，，则且，
解得且.故A选项错误；
对B选项，，则不能作为平面的一个基底，故B选项正确；
对C选项，因为向量，所以不一定满足，故C选项错误.
对D选项，因为，由可知，垂直与角的外角平分线，所以点在角的平分线上，同理点在角的平分线上，点在角的平分线上，所以是的内心.故D选项正确.
故选：AC
三、填空题
12. 设复数满足，则________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据复数的四则运算可求得，进而可求共轭复数以及模长.
【详解】，则，
故.
故答案为：.
13. 已知，，向量在方向上的投影向量是（是与方向相同的单位向量），则______．
【答案】12
【解析】
【分析】运用平面向量的投影向量及数量积公式计算即可.
【详解】由题意知，在方向上的投影向量为，
所以，
所以.
故答案为：12.
14. 在中，，.
①若，则角的大小为_____；
②若角有两个解，则的取值范围是_____.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】①利用正弦定理求得的值， 结合角的取值范围可求得结果；
②作出图形，结合图形可得出角有两个解时，满足的不等式，进而可求得的取值范围.
【详解】①由正弦定理可得，
，；
②在中，，，如下图所示：

若使得角有两个解，则，即.
故答案：；.
【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，同时也考查了利用三角形多解求边长的取值范围，考查计算能力，属于中等题.
四、解答题
15. 已知复数，.
（1）求；
（2）复数，对应的向量分别是，，其中为坐标原点，当时，求的值.
【答案】（1）29 （2）
【解析】
【分析】（1）结合共轭复数、复数乘法运算求得正确答案.
（2）结合向量数量积的坐标表示求得正确答案.
【小问1详解】
∵，∴.
【小问2详解】
∵，.
，
∵，∴.
16. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求A；
（2）若，的面积为，求a的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知结合正弦定理及余弦定理可求，进而可求；
（2）由已知结合三角形的面积公式可求，然后结合余弦定理即可求解．
【小问1详解】
由得，由正弦定理得．
由余弦定理得．
，．
【小问2详解】
由于的面积为，
，
，
由余弦定理得：．
．
17. 如图，在菱形中，.
（1）若，求的值；
（2）若，求.
【答案】（1）1 （2）9
【解析】
【分析】（1）利用向量的线性运算求，结合平面向量的基本定理求得，进而求得.
（2）先求得，然后利用转化法求得.
【小问1详解】
因为，
所以，
所以，
所以，
故.
【小问2详解】
，
，
为菱形，，
所以，
.
18. 已知锐角的内角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）当时，求周长的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理化为三角函数，逆用两角和的正弦公式，化简即可求解；
（2）由三角形为锐角三角形可得出B的范围，再由正弦定理表示出三角形的周长，利用三角恒等变换化简，求正弦型三角函数的值域即可得解.
【小问1详解】
∵，
∴，
∴，
∵，∴，
∴.
【小问2详解】
∵，∴.
∵为锐角三角形，∴，
∴由正弦定理可得：，
周长
，
∵，
∴，
∴周长的取值范围是.
19. 如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．已知在仿射坐标系下，．

（1）求向量，仿射坐标；
（2）当时，求；
（3）设，若对恒成立，求的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）向量的线性运算计算即可；
（2）应用向量夹角公式计算即可；
（3）先把恒成立转化为向量的数量积求出向量的模，再结合余弦函数的值域求解.
【小问1详解】
由已知得，所以的仿射坐标为，
同理，所以的仿射坐标为．
【小问2详解】
当时，，，，
所以，
，
，
所以．
【小问3详解】
，
，
，
由得．
得对恒成立，
又．所以，得．
此时．
因为，，所以，
所以，所以，
所以的最大值为．