甘肃省嘉峪关市第一中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题（含解析）

这是一份甘肃省嘉峪关市第一中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知函数，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．设函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（ ）

A．函数在上单调递增B．函数在上单调递增
C．函数在处取得极小值D．函数在处取得极大值
3．已知函数的导函数为，且满足，则
A．B．C．D．
4．设直线是曲线在点处的切线，则直线与x轴，y轴围成的三角形面积为（ ）
A．2B．1C．D．4
5．设，若为函数的极大值点，则（ ）
A．B．
C．D．
6．设，，，…，，，则（ ）
A．B．
C．D．
7．设P为曲线上的点，若在点P处的切线的倾斜角的取值范围是，则点P的横坐标的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知函数，则（ ）
A．在上单调递增
B．是的极大值点
C．有三个零点
D．在上最大值是
10．已知函数的图象如图所示，若为的导函数，则下列关系正确的是（ ）

A．B．
C．D．
11．Sigmid函数是一个在生物学中常见的S型函数，也称为S型生长曲线，常被用作神经网络的激活函数.记为Sigmid函数的导函数，则（ ）
A．B．Sigmid函数是减函数
C．函数的最大值是D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．函数在处的切线斜率为 .
13．已知函数在处取得极小值，则的极大值为
14．已知，分别为直线和曲线上的点，则的最小值为
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数.
（1）若，曲线在点处的切线斜率为1，求该切线的方程；
（2）若在的单调递增，求实数a的取值范围.
16．已知的一个极值点为2.
（1）求m的值；
（2）求函数的单调区间；
（3）求函数在区间上的最值
17．给定函数.
（1）判断函数f（x）的单调性，并求出f（x）的极值；
（2）画出函数f（x）的大致图象，无须说明理由（要求：坐标系中要标出关键点）；
（3）求出方程的解的个数.
18．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数（称为的二阶导数），若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数.
（1）若既有极大值又有极小值，求m的取值范围；
（2）当时，①求的对称中心；
②计算的值.
19．已知函数（）.
（1）若关于x的方程有两个不相等的实根，求a的取值范围；
（2）若，
①证明：；
②设，求的最小值；
参考答案
1．【答案】B
【详解】解：由题意可得，因为，所以．
故选B
2．【答案】B
【详解】由图象可知，当时，，
所以函数在上单调递减，A错误；
当时，
所以函数在上单调递增，B正确，C错误；
函数在处取得极小值，D错误．
故选B
3．【答案】C
【详解】求得，令，解得，得到，即可求解的值，得到答案.
【详解】由题意，函数，则，
令，则，解得，即，
令，则，故选C.
4．【答案】A
【详解】因为，所以，
所以，
所以直线的方程为，即，
令，得，令，得，
所以直线与x轴，y轴围成的三角形面积为.
故选A
5．【答案】B
【详解】由题意可得，
①当，即时，
则，得或；，得；
则在和上单调递增，在上单调递减，
则为函数的极小值点，不符合题意；
②当，即时，
则，得或；，得；
则在和上单调递增，在上单调递减，
则为函数的极大值点，符合题意；
③当，即时，恒成立，则在上单调递增，
则无极值，不符合题意.
综上所得，，故A错误；B正确；
若，则；若，则，故CD错误.
故选B
6．【答案】C
【详解】因为，所以，即，
所以，即，
所以，即，
所以，即，
所以，即，
又，所以.
故选C
7．【答案】A
【详解】，设点P的横坐标为，
设在点P处的切线的倾斜角为，
因为，所以，
所以，解得.
故选A.
8．【答案】D
【详解】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C，，则，
当时，，与图象不符，排除C.
故选D.
9．【答案】BCD
【详解】解：因为
所以，
令，解得或，
与随的变化情况如下表：
因此函数在，上单调递增，在上单调递减，故错误；
是的极大值点，故正确；
因为，，，，
由函数的单调性及零点存在性定理可知有三个零点，故正确；
当的定义域为时，
在，上单调递减，在，上单调递增，
又， ，
所以在，上的最大值是4，故正确．
故选．
10．【答案】BD
【详解】对于AB，由图可知，，所以，A错B对；
对于CD，由图可知，，所以C错D对.
故选BD
11．【答案】ACD
【分析】根据题意，求出导函数，代入验证可以判断A；利用导数研究函数的单调性，进而可以判断B；利用基本不等式，可以判断C；易知函数关于点对称，进而可以求D.
【详解】由函数得.
对于A，，故A正确；
对于B， ，，则Sigmid函数是增函数，故B错误；
对于C，，当且仅当，即时取等号，故C正确；
对于D，因为＋＋1，
所以，故D正确．
故选ACD.
【思路导引】求解函数的最值，导数法是一种很重要的方法，但在某些问题中，用导数可能很繁琐，可变形函数借助均值不等式、配方法等求解.
12．【答案】/
【详解】,则，
故处的切线斜率为.
13．【答案】
【详解】由题意得，，
，解得，
， ，
在上单调递增，在上单调递减，
的极大值为.
14．【答案】
【详解】直线与曲线相切于点A，
由题意的最小值为切点A到直线的距离，如图所示，
对求导有，由可得，即，
故的最小值为.
15．【答案】（1）
（2）.
【详解】（1）当时，，，
，令解得，
又∵，所以切线方程为：即.
（2）∵在单调递增，∴时，恒成立，
又，∴在上恒成立，
∴恒成立，即在上恒成立，
又当时，，当且仅当时等号成立，
∴，∴a取值范围是.
16．【答案】（1）
（2）函数在区间上单调递减，在区间，上单调递增.
（3）最小值为，最大值为13.
【详解】（1）因为，所以，
∵的一个极值点为2，
∴，解得，
经验证时，有极值点2.
（2）由（1），，
令，得或，
令，得；令，得或，
故函数在区间上单调递减，在区间，上单调递增.
（3）由（2）知，在上为增函数，在上为减函数，
∴是函数的极大值点，又，，，
∴函数在区间上的最小值为，最大值为13.
17．【答案】（1）函数的减区间为，增区间为，有极小值，无极大值；
（2）具体见解析；
（3）具体见解析.
【详解】（1），时，，单调递减，时，，单调递增，故函数在x=-1处取得极小值为，无极大值.
（2）
作图说明：由（1）可知函数先减后增，有极小值；描出极小值点，原点和点（1，e）；当时，函数增加得越来越快，当时，函数越来越接近于0.
（3）结合图象可知，若，则方程有0个解；若，则方程有2个解；若或，则方程有1个解.
18．【答案】（1）或.
（2）①；②2024
【详解】（1），∴.
∵既有极大值又有极小值，∴有两个不相等的实数根，
∴，∴或.
（2）①当时，，
∴，.
令得，
又，∴的对称中心为.
②∵的对称中心为，∴，
∴
.
19．【答案】（1）
（2）①证明见解析；②
【详解】（1）由得，即.
由题意函数与直线有两个交点.
设曲线与直线切于点，则，
解得，，∴与直线相切，

∴当时，的图象与直线有两个交点，方程有两个不相等的实根，
∴a的取值范围是.
（2）①设，则，
由，得，所以当时，；当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
∴，即，∴．
②，
由①即，∴
∴，∴.
2
0
0
极大值
极小值