北京市第二十中学2025-2026学年高一启承班上学期期末数学试卷（含答案）

这是一份北京市第二十中学2025-2026学年高一启承班上学期期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(3,4)，则sinα=( )
A. 45B. 35C. 43D. 34
2.若复数z满足z=21−i，则z+z=( )
A. 1B. 2C. 4D. 3
3.已知a=2,b=1,a与b的夹角为120∘，则a+2b的值为( )
A. 2B. 3C. 2D. 7
4.已知正弦型函数y=2sinx+φφ0)的部分图象如图所示．若A，B，C，D四点在同一个圆上，则ω= ( )
A. 1B. 12C. πD. π2
10.在等腰直角三角形ABC中，AB=2,M为斜边BC的中点，以M为圆心，MA为半径作AC⌢，点P在线段BC上，点Q在AC⌢上，则AP+MQ的取值范围是( )
A. 0, 10B. 0,2+ 2
C. 2− 2, 10D. 2− 2,2+ 2
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.求值：sin15 ∘cs15 ∘= ．
12.已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60∘，BC=2BP，则AP⋅BD= ．
13.已知函数fx=sinωx+φφ>0，若f−π6=fπ2，则满足条件的一组取值可以是ω= ，φ= ．
14.在△ABC中，a=2 6，b=2c，csA=−14，则S△ABC= ．
15.函数f(x)是定义域为R的奇函数，满足f(π2−x)=f(π2+x)，且当x∈[0,π)时，f(x)=sinxx2−πx+π，给出下列四个结论：
①f(π)=0; ②π是函数f(x)的周期; ③函数f(x)在区间(−1,1)上单调递增; ④函数g(x)=f(x)−sin1(x∈[−10,10])所有零点之和为3π．
其中，正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知函数fx=csxtanx．
(1)求fx的定义域和最小正周期；
(2)若fθ= 55，且θ∈π2,π，求tan2π−θ的值．
17.在▵ABC中，a2+b2+ab=c2,sinC= 3sinB．
(1)求C；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得▵ABC存在且唯一，求▵ABC的周长．
条件①：a= 3；条件②：▵ABC的面积为3 34；条件③：AC边上的高等于32．
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18.在平面直角坐标系中，M−2,0,N−3,1,P−1,3，设a=MN,b=MP．
(1)若a+mb⊥a，求m的值；
(2)若向量c满足c=6，且c//b−a，求向量c的坐标．
19.已知函数f(x)= 32sinωx+cs2ωx2−12(ω>0)，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使f(x)唯一确定，求：
(Ⅰ)ω的值及f(x)的单调递增区间；
(Ⅱ)f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值．
条件①：函数y=f(x)图象的相邻两个对称中心间的距离为π2；
条件②：函数y=f(x)的图象可以由函数y=cs2x的图象平移得到；
条件③：直线x=−π3为函数y=f(x)图象的一条对称轴．
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
20.已知函数fx=sin2x+sinx−π
(1)求fπ6；
(2)求函数在−π6,π2上的最大值与最小值；
(3)在区间0,m上有且仅有一个x0，使得fx0=2，求m的取值范围．
21.已知集合A=a1,a2,⋯⋯ak(k≥2)，其中ai∈Z(i=1,2,⋯⋯k)，新定义1个性质G；若对任意的x∈A，必有−x∉A，则称集合A具有性质G.由A中元素可构成两个点集P和Q：P=(x,y)x∈A,y∈A,x+y∈A ，Q=(x,y)x∈A,y∈A,x−y∈A ，其中P中有m个元素，Q中有n个元素．
(1)已知集合J=0,1,2,3与集合K=−1,2,3和集合L=yy=x2−2x+2 ，判断它们是否具有性质G，若有，则直接写出其对应的集合P，Q；若无，请说明理由；
(2)集合A具有性质G，若k=100，求：集合Q最多有几个元素？
(3)试判断：集合A具有性质G是m=n的什么条件，请说明理由．
参考答案
1.A
2.C
3.A
4.B
5.A
6.A
7.C
8.A
9.D
10.A
11.14/0.25
12.−1
13.1 ； ； ； ； ；；π3
14. 15
15. ① ③ ④
16.【详解】(1)由题可得y=tanx定义域为x|x≠π2+kπ,k∈Z，函数y=csx的定义域为R，
所以函数fx=csxtanx的定义域为x|x≠π2+kπ,k∈Z；
由f(x)=cs xtan x=cs x⋅sin xcs x=sin x(cs x≠0)，因y=sinx的最小正周期为2π，
所以可得fx=csxtanx的最小正周期为2π．
(2)由fθ= 55，即sinθ= 55，因sin2θ+cs2θ=1，且θ∈π2,π，
所以csθ=− 1−sin2θ=− 1−15=−2 55，
所以tan2π−θ=−tanθ=−sinθcsθ=− 55−2 55=12．

17.【详解】(1)在▵ABC中利用余弦定理可得，csC=a2+b2−c22ab，
因为a2+b2+ab=c2，所以csC=−12，
又C∈0,π，所以C=2π3；
(2)由sinC= 3sinB，结合正弦定理可得，c= 3b，
因为a2+b2+ab=c2，所以a2+ab=2b2，
选①：若a= 3，则2b2− 3b−3=0，则b= 3(负值舍去)，则c=3，
故▵ABC的周长为a+b+c= 3+ 3+3=3+2 3；
选②：S▵ABC=12absinC=12× 32ab= 34ab=3 34，则ab=3，
则a2+3=2b2，则a4+3a2−18=0，得a2=3(负值舍去)，
故a= 3，b= 3，c=3，
故▵ABC的周长为a+b+c= 3+ 3+3=3+2 3；
选③：因为AC边上的高等于32，所以a=32sinC=32sin2π3= 3，
因为a2+ab=2b2，所以2b2− 3b−3=0，则b= 3(负值舍去)，则c=3，
故▵ABC的周长为a+b+c= 3+ 3+3=3+2 3；

18.【详解】(1)由题意得，a=MN=−1,1,b=MP=1,3，
则a2=1+1=2,b⋅a=−1+3=2，
又a+mb⊥a，所以a+mb⋅a=a2+mb⋅a=2+2m=0，得m=−1；
(2)设c=x,y，则c= x2+y2=6，即x2+y2=36，
因为b−a=1,3−−1,1=2,2，c//b−a，所以2x=2y，即x=y，
故x=y=3 2或x=y=−3 2，
故向量c的坐标为3 2,3 2或−3 2,−3 2．

19.解：(Ⅰ)函数f(x)= 32sinωx+cs2ωx2−12= 32sinωx+1+csωx2−12=sin(ωx+π6)；
选条件①：函数y=f(x)图象的相邻两个对称中心间的距离为π2，故函数的最小正周期为π，所以ω=2；
故f(x)=sin(2x+π6)，令−π2+2kπ≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z)，
整理得−π3+kπ≤x≤kπ+π6(k∈Z)，
故函数的单调递增区间为[−π3+kπ,kπ+π6](k∈Z)．
(Ⅱ)由于x∈[0,π2]，所以2x+π6∈[π6,7π6]，
当x=π2时，函数取得最小值为−12，当x=π6时，函数取得最大值为1．
条件②：函数y=f(x)的图象可以由函数y=cs2x的图象平移得到，所以ω=2；
故f(x)=sin(2x+π6)，令−π2+2kπ≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z)，
整理得−π3+kπ≤x≤kπ+π6(k∈Z)，
故函数的单调递增区间为[−π3+kπ,kπ+π6](k∈Z)．
(Ⅱ)由于x∈[0,π2]，所以2x+π6∈[π6,7π6]，
当x=π2时，函数取得最小值为−12，当x=π6时，函数取得最大值为1．
条件③：直线x=−π3为函数y=f(x)图象的一条对称轴，当x=−π3时，f(−π3)=±1，故(−π3)ω+π6=kπ+π2，(k∈Z)，所以ω=−3k−1(k∈Z)，
当k=−1时，ω=2；
故f(x)=sin(2x+π6)，令−π2+2kπ≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z)，
整理得−π3+kπ≤x≤kπ+π6(k∈Z)，
故函数的单调递增区间为[−π3+kπ,kπ+π6](k∈Z)．
(Ⅱ)由于x∈[0,π2]，所以2x+π6∈[π6,7π6]，
当x=π2时，函数取得最小值为−12，当x=π6时，函数取得最大值为1．
20.【详解】(1)代入可得fπ6=sin2π6+sinπ6−π=14−12=−14;
(2)由诱导公式可得fx=sin2x−sinx，令t=sinx,x∈−π6,π2，由正弦函数的性质可知y=sinx在−π6,π2上单调递增，
故t∈−12,1，所以原函数换元后转化为gt=t2−t,t∈−12,1，由二次函数的性质可知对称轴为t=12，
所以函数gt在t∈−12,1上的最小值为g12=122−12=−14，最大值为g−12=−122−−12=34，
故函数fx在−π6,π2上的最大值为f−π6=34，最小值为 fπ6=−14；
(3)由fx0=2可得t2−t=2，解得t=2或t=−1，因为−1≤t=sinx≤1，所以t=sinx=−1，
故需满足sinx=−1在0,m有且仅有一个解，由正弦函数的性质可知在0,m第一个解为x=3π2，第二个解为x=7π2，
若要使得sinx=−1在0,m有且仅有一个解，则3π2