北京市清华大学附属中学2025-2026学年高二第一学期期末数学试题（含答案解析）

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一、单选题
1. 直线的一个方向向量可以为（ ）
2. 抛物线的准线方程为（ ）
3. 下列函数在定义域内单调递增的是（ ）
4. 已知圆被直线分成弧长相等的两部分，则（ ）
5. 在等差数列中，，则（ ）
6. 在正四棱锥中，的面积为3，的面积为4，则该四棱锥的侧面与底面所成的二面角的正弦值为（ ）
7. 已知椭圆与双曲线有共同的焦点，是与的一个公共点，则（ ）
8. 已知函数在R上单调递增，“是奇函数”是“对于任意的，有成立”的（ ）
9. 如图，神舟十二号的飞行轨道是以地球球心为左焦点的椭圆（图中虚线），我们把飞行轨道上的点与地球表面上的点的最近距离叫近地距离，最远距离叫远地距离.设地球半径为，若神舟十二号飞行轨道的近地距离是，远地距离是，则神舟十二号的飞行轨道的离心率为（ ）
10. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在棱上运动（不与重合），点在平面内，平面，延长至，使得，设，，则关于的函数图像大致为（ ）
二、填空题
11. 函数的定义域为______．
12. 已知双曲线与直线没有公共点，则符合题意的一个的值为______．
13. 已知圆柱的表面积为，则圆柱体积的最大值为______．
14. 已知直线与交于两点，
（1）时，______；
（2）若在圆上或其内部存在一点，使得，则的取值范围为______．
15. 已知无穷数列的各项都是正数，前项和为，，给出下面四个结论：
①；②存在，，；
③；
④存在，使得，，．
其中，全部正确结论的序号为______．
三、解答题
16. 如图，四棱锥中，平面，四边形是边长为1的正方形，分别为的中点，．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
17. 已知．
(1)求的单调递减区间；
(2)已知，若方程在上恰有三个互不相等的实数根，求的取值范围．
18. 中，角的对边分别为．已知．
(1)求的大小；
(2)若，从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积．
①边上的中线长为；
②；
③．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分．
19. 已知椭圆的短轴长为，离心率．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线与椭圆交于不同两点，线段的中垂线交轴于点关于的对称点为点，直线交直线于点，求证：直线恒过定点．
20. 已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)已知点，过作曲线的切线，直线交轴于点．
①求证：点在轴的下方；
②设与轴交于点，曲线在点处的切线与轴交于点为坐标原点，当时，求证：．
21. 如果无穷正实数数列满足：
①对于任意的正整数，都有；
②对于任意的，存在正整数，使得．
则称数列为数列．
(1)判断下列数列是否为数列？
①；②；
(2)已知数列是数列，，其中表示中较大的数．证明：数列是数列；
(3)已知数列是数列，，其中表示中较小的数．证明：数列是数列．
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
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C．2
D．6
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A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
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