北京市首都师范大学附属中学2025-2026学年高二上学期期末练习数学试题（含答案解析）

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一、单选题
1. 抛物线的准线方程是（ ）
2. 在的展开式中，的系数为（ ）
3. 已知数列是公差不为零的等差数列，且，则（ ）
4. 某学校随机抽查了本校20个同学，调查他们平均每天在课外进行体育锻炼的时间（单位：分钟），根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为8组，分别是，做出频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是（ ）
5. 近年来，盲盒产品风靡市场，深受年轻人追捧．新上市的某种盲盒产品共有6个不同的款式，每一套都有6个外观和质量相同的盲盒，且包含了这6个不同的款式．小铭喜欢其中的2款，他从一套的6个盲盒中随机购买2个，则至少有1个盲盒中是他喜欢的款式的概率为（ ）
6. 设点，动直线l：，作于点M，则点M到坐标原点O距离的最小值为（ ）
7. 已知是等差数列，是其前项和.则“”是“对于任意且，”的（ ）
8. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，如果，那么的值为（ ）
9. 在数列{an}中，若an2﹣an﹣12＝p，（n≥2，n∈N*，p为常数），则称{an}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列“的判断：
①若{an}是等方差数列，则{an2}是等差数列；
②{（﹣1）n}是等方差数列；
③若{an}是等方差数列，则{akn}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列；
④若{an}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列．
其中正确命题的个数是（ ）
10. 如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有
二、填空题
11. 设等比数列的前项和为.若、、成等差数列，则数列的公比为__________.
12. 若，则___________；___________．
13. 将4位志愿者全部分配到世博会的3个不同场馆服务，每个场馆至少分配1人，且每位志愿者不能兼职，则不同的分配方案有___________种．
14. 已知双曲线的右焦点为，过作垂直于轴的直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点，若，则离心率的取值范围为___________．
15. 无穷数列前n项和为，且满足：，，，，则下面说法中，所有正确结论的序号是_________.
① ②数列有最大值，无最小值
③，使得 ④，均有
三、解答题
16. 甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球；乙袋装有1个红球，2个白球．
(1)若从甲袋中连续抽取2次，每次取1个球，抽取后不放回，则在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率是___________．
(2)若从甲袋中随机取2个，求所取的2个球中至少有一个红球的概率；
(3)若从甲袋中随机取1个球，放入乙袋中，再从乙袋中随机取2个球，求取到的2个球中恰有1个红球的概率．
17. 已知等差数列中，．数列的前项和为，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设数列，求的前项和．
18. 某高中组织学生研学旅行．现有A，B两地可供选择，学生按照自愿的原则选择一地进行研学旅行．研学旅行结束后，学校从全体学生中随机抽取100名学生进行满意度调查，调查结果如下表：
假设所有学生的研学旅行地点选择相互独立．用频率估计概率．
(1)估计该校学生对本次研学旅行满意的概率；
(2)分别从高一、高二、高三三个年级中随机抽取1人，估计这3人中至少有2人选择去B地的概率；
(3)对于上述样本，在三个年级去A地研学旅行的学生中，调查结果为满意的学生
人数的方差为，调查结果为不满意的学生人数的方差为，写出和的大小关系．`（结论不要求证明）
19. 已知椭圆：的离心率为，A，C分别是椭圆E的上、下顶点，B，D分别是椭圆E的左、右顶点，四边形的面积为4.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设P为第一象限内椭圆E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：.
20. 已知椭圆的右顶点为A，左焦点为F，过点F作斜率不为零的直线l交椭圆于两点，连接，分别交直线于两点，过点F且垂直于的直线交直线于点R．
(1)求证：点R为线段的中点；
(2)记，，的面积分别为，，，试探究：是否存在实数使得？若存在，请求出实数的值；若不存在，请说明理由．
21. 已知数列，，，满足且，2，，，数列，，，满足，2，，，其中，，2，，表示，，，中与不相等的项的个数．
(1)数列，1，2，3，4，请直接写出数列；
(2)证明：，2，，
(3)若数列A相邻两项均不相等，且与A为同一个数列，证明：，2，，．
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
A．
B．
C．
D．
A．4
B．
C．8
D．
A．
B．
C．9
D．5
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．1
B．
C．
D．
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A．1
B．
C．3
D．6
A．1
B．2
C．3
D．4
A．种
B．种
C．种
D．种
高一
高二
高三
A地
B地
A地
B地
A地
B地
满意
12
2
18
3
15
6
一般
2
2
6
5
6
8
不满意
1
1
6
2
3
2