2025-2026学年北京市平谷区高二上学期期末教学质量监控数学试卷（学生版）

这是一份2025-2026学年北京市平谷区高二上学期期末教学质量监控数学试卷（学生版），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10题，每题4分，共40分；在每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1. 直线经过点和，则直线的斜率（ ）
A. B. C. D.
2. 抛物线的焦点坐标（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知数列满足，，那么其前4项和等于（ ）
A. 7B. 10C. 14D. 15
4. 若直线与圆相切，则的值等于（ ）
A. 1或B. 10或C. 或D.
5. “”是“直线和平行”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率（ ）
A. B. C. D.
7. 已知直线：与圆：相交于、两点，则弦长最短时直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
8. 在中国古代数学经典著作《九章算术》中，称图中的多面体为“刍（chú）甍(méng)”.若底面是边长为4的正方形，，和是等腰三角形，，且平面和平面与平面所成角均为，则多面体所有棱长之和为（ ）

A. B.
C. D.
9. 已知等比数列的前项和为，前项积为，若首项为，则（ ）
A. 和既有最大值，又有最小值B. 有最小值，无最大值
C. 无最大值，无最小值D. 无最小值，有最小值
10. 某文创公司设计了一款纪念徽章，其平面轮廓曲线方程为：（单位：厘米），关于该徽章轮廓曲线分析正确的是（ ）
A. 没有对称性B. 徽章轮廓是一个圆
C. 最远的两点距离为厘米D. 平面面积是平方厘米
二、填空题（本大题共5题，每题5分，共25分，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11. 过点且与直线垂直的直线的方程是____________.
12. 已知抛物线上一点到准线的距离为，则____________.
13. 在棱长为1的正方体中，为中点，则点到平面的距离为____________.
14. 在中，，，，则此三角形的最短边的长度是___________.
15. 已知数列的各项均为正数，其前项和满足，给出下列四个结论：
①；
②为等比数列；
③数列中存在大于2的项；
④数列中无最小项.
其中所有正确结论序号为____________.
三、解答题（本大题共6题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16. 已知圆的圆心在轴上，且经过点，.
（1）求圆的标准方程；
（2）若圆与直线交于两点，，求的面积.
17. 已知数列的前项和，等差数列满足，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设数列前项和为，求最大值.
18. 如图，在三棱锥中，平面平面，，，，是的中点，在上，且平面.

（1）求证：平面；
（2）求证：为的中点；
（3）求直线与平面所成角的正弦值.
19. 为提高学生的文化素养、兴趣爱好和整体的幸福感，某校图书馆对学生的借阅类别进行调查，从而优先选择增加相应类别的数量.现从全校学生中采用分层抽样抽出150名学生进行借阅类别调查，调查结果如下表：
假设所有学生的选择相互独立，用频率估计概率
（1）假设全校共有1500名学生，根据样本数据估计全校喜欢借阅文学类书籍的学生人数；
（2）分别从高一、高二、高三三个年级中各随机抽取1人，估计这3人中至少有2人选择借阅文学类书籍的概率；
（3）记样本中高三学生选择三类书籍的频率依次为，，，其方差为；样本中高三学生不选择三类书籍的频率依次为，，，其方差为.写出与的大小关系.（结论不要求证明）
20. 已知椭圆的短半轴长为，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设斜率为直线过左焦点，且与椭圆交于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，是否存在，使得为等腰直角三角形，若有，求直线方程；若没有，说明理由.
21. 定义：对于数列，若存在正整数，使得对任意都有，（约定时，），则称为“对称等差数列”.
（1）已知数列是“对称等差数列”，且，，求，的值，并写出数列的一个通项公式.
（2）若数列是“对称等差数列”，证明：与均是等差数列；
（3）设数列是“对称等差数列”，且数列的前项和，求的解析式.2
高一
高二
高三
选择
不选择
选择
不选择
选择
不选择
参考、工具类
20
40
25
25
30
10
文学类
30
30
30
20
25
15
自然、科学类
40
20
40
10
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