北京市首都师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）

2022北京首都师大附中高二（上）期中

数学

一、选择题（每题5分）

1.直线的倾斜角为（    ）

A.   B.   C.   D.

2.圆心，半径为3的圆的方程是（    ）

A.   B.

C.   D.

3.已知直线方程的一个法向量可以是（    ）

A.   B.   C.   D.

4.点到直线距离等于（    ）

A.4   B.   C.1   D.

5.三棱锥中，M、N分别是AB、OC的中点，且，，，用、、表示，则等于（    ）

A.   B.

C.   D.

6.已知直线与平行，则系数（    ）

A.-3   B.-6   C.   D.

7.直线：与圆：的位置关系为（    ）

A.相切      B.相交但直线不过圆心

C.相交且直线过圆心   D.相离

8.已知向量，是平面内的两个不相等的非零向量，非零向量在直线上，则“，且”是的（    ）

A充分不必要条件   B.必要不充分条件

C.充要条件    D.既不充分也不必要条件

9.点在圆上，点在直线：上，则的最小值是（    ）

A.   B.   C.   D.1

10.如图，在棱长为2的正方体中，E为BC的中点，点P在线段上，点P到直线的距离的最小值为（    ）

A.   B.   C.   D.

二、填空题（每题5分）

11.圆的圆心坐标为______，半径为_______

12.过点，且方向向量为的直线方程是__________.

13.已知两条直线：，：，若，则的值为___________.

14.已知向量，，则在方向上的投影为________.

15.如图，已知长方体中，，，则点到平面的距离为__________.

16.已知矩形，，，沿BD将折起成，若点在平面BCD上的射影落在的内部（包括边界），则四面体的体积的最大值为__________，最小值为__________.

三、解答题（每题14分）

17.已知三个顶点是，，.

（1）求AB边中线CD所在直线方程；

（2）求AB边的垂直平分线的方程；

（3）求的面积

18.如图，在直三棱柱中，，，，点D是BC中点.

（1）求异面直线与所成角的余弦值；

（2）求平面与平面所成角的余弦值.

19.（1）求过点且圆心为的圆的方程：

（2）过点作（1）中圆的切线，求出切线方程.

20.在四棱锥中，平面，，，，，，E是PA中点，F在线段AB上，且满足.

（1）求证：平面PBC.

（2）求二面角余弦值.

（3）在线段PA上是否存在点Q，使得FQ与平面PFC所成角的余弦值是?若存在，求出AQ的长；若不存在，请说明理由.

21.如图，的边AB边所在直线的方程为，满足，点在AC边所在直线上且满足.

（1）求AC边所在直线的方程；

（2）求的外接圆的方程；

（3）若点N坐标为，其中n为正整数.试讨论在的外接圆上是否存在点P，使得成立?说明理由.

参考答案

一、选择题

1.【答案】A

【解析】【分析】首先将直线化为斜截式求出直线的斜率，然后再利用倾斜角与斜率的关系即可求解.

【详解】由直线，则，

设直线的倾斜角为，

所以，所以.

故选：A

【点睛】本题考查了直线的斜截式方程、直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】【分析】根据圆心坐标及半径，即可得到圆的方程.

【详解】因为圆心为，半径为3，

所以圆的方程为：.

故选：D.

3.【答案】A

【解析】【分析】根据题意求出直线的方向向量，由法向量的定义再逐个分析判断.

【详解】因为直线的斜率为2，

所以直线的一个方向向量为，

对于A，因为，所以为直线的一个法向量，所以A正确，

对于B，因为，所以不是直线的法向量，所以B错误，

对于C，因为，所以不是直线的法向量，所以C错误，

对于D，因为，所以不是直线的法向量，所以C错误，

故选：A

4.【答案】D

【解析】【分析】由点到直线的距离公式计算.

【详解】由题意所求距离为.

故选：D.

5.【答案】B

【解析】【分析】根据空间向量运算求得正确答案.

【详解】

.

故选：B

6.【答案】B

【解析】【分析】由直线的平行关系可得，解之可得.

【详解】解：∵直线与直线平行，

∴，解得.

故选：B.

7.【答案】B

【解析】

【分析】先求出圆心和半径，再求出圆心到直线的距离与半径比较可得结果.

【详解】由，得，

所以圆心，半径为，

因为圆心到直线：的距离为，

所以直线与圆相交，

因为不在直线：上，

所以直线与圆相交但直线不过圆心，

故选：B

8.【答案】B

【解析】【分析】由线面垂直的定义和判定定理即可得到答案.

【详解】由题意，，.

若与方向相反，且，在平面内，则向量，所在的直线要么重合，要么平行，因此根据线面垂直的判定定理，由，且无法得到.

若，根据线面垂直的定义，可以得到，且.

所以“，且”是的必要不充分条件.

故选：B.

9.【答案】B

【解析】【分析】根据题意可知圆心，又由于线外一点到已知直线的垂线段最短，结合点到直线的距离公式，即可求出结果.

【详解】由题意可知，圆心，

所以圆心到：的距离为，所以的最小值为.

故选：B.

10.【答案】A

【解析】【分析】建立空间直角坐标系，将点到直线的距离的最小值转化为异面直线与的距离，利用空间向量可求得结果.

【详解】以为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

，，，

设，，，

则，∴，

，∴，

令，则，∴，

∴异面直线与的距离为，

∵P在上运动，∴P到直线的距离的最小值为.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：将点P到直线的距离的最小值转化为异面直线与的距离求解是解题关键.

二、填空题

11.【答案】①.②.

【解析】【分析】配方后可得圆心坐标和半径.

【详解】圆标准方程是，

圆心坐标为，半径为.

故答案为：；.

12.【答案】

【解析】【分析】根据直线的方向向量求出直线斜率，然后利用点斜式求出直线方程.

【详解】直线方程方向向量为，直线的斜率为

∵直线过点，∴直线方程为，即

故答案为：

13.【答案】

【解析】【分析】利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出m的值.

【详解】当时，不满足，舍去；

当时，直线的斜率，的斜率

∵，∴，

解得

故答案为：.

14.【答案】

【解析】【分析】根据向量投影的计算公式，计算出在方向上的投影.

【详解】依题意在方向上的投影为.

【点睛】本小题主要考查向量在另一个向量上的投影的计算，考查空间向量的数量积的坐标运算，属于基础

题.

15.【答案】

【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据空间向量中点到平面距离公式，即可求出结果.

【详解】以为坐标原点，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，.

设，则，，，

设平面的法向量为，则，，

，即，所以，，

可取，

又，

点到平面的距离为，即点到平面的距离为.

故答案为：.

16.【答案】①.   ②.

【解析】【分析】结合到平面BCD的距离的最大值和最小值来求得正确答案.

【详解】过作，垂足为O，

，.

当在平面BCD上的投影在BD上时，到平面BCD的距离最大，如下图所示，

此时平面平面BCD，且交线为平面，所以平面BCD，

所以四面体体积的最大值为.

当在平面BCD上的投影M在BC上时，到平面BCD的距离最小，

则平面BCD，由于平面BCD，所以，

由于，，平面，

所以平面，由于平面，所以，

，，

，

所以四面体的体积的最小值为.

故答案为：；

【点睛】求解三棱锥体积的最值问题，要找准突破口，也即是按三棱锥的体积公式，如果底面积固定（如本题），则通过找高的最值来进行求解.

三、解答题

17.【答案】（1）

（2）

（3）8

【解析】【分析】（1）求出AB中点D坐标后，由截距式写出直线方程并整理；

（2）求出AB的斜率，由垂直关系得垂直平分线的斜率，从而可得直线方程；

（3）求出C到直线AB的距离，再求得AB的长后可得三角形面积.

【小问1详解】

因为，，所以AB中点D的坐标为，

方程为，即；

【小问2详解】

，AB中垂线的斜率为-3，垂直平分线方程为；

【小问3详解】

直线AB方程为，即，

点C到直线AB的距离为，

，

所以.

18.【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】以A为原点，、、为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，标记处各个点的坐标.

（1）表示出，，用向量法求异面直线与所成角的余弦值；

（2）用向量法求平面与平面所成角的余弦值.

【详解】

如图示：以为原点，、、为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系

，，，，，.

（1），，

所以异面直线与所成角的余弦值

.

（2）显然面的一个法向量.

设面的一个法向量为，，，

则，不妨取，则

由图示，平面与平面所成角为锐角，所以

所以平面与平面所成角的余弦值为.

19.【答案】（1）；（2）或.

【解析】【分析】（1）求出半径后可得圆标准方程；

（2）分类讨论.验证斜率不存在的直线是切线，斜率存在时设出直线方程，由圆心到切线距离等于半径求得参数值得切线方程.

【详解】（1）由已知圆半径为，所以圆方程为；

（2）易知直线与相切，

当切线斜率存在时，设切线方程是，即，

由，解得，切线方程是，即.

所以切线方程是或.

20.【答案】（1）证明见解析

（2）

（3）存在，

【解析】【分析】（1）取PB的中点M，连接EM和CM，证明四边形CDEM为平行四边形即可得证；

（2）以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面PBC和FPC的法向量，结合向量夹角的余弦公式即可求解；

（3）设存在点Q，结合线面角的正弦值等于线与法向量夹角的余弦值的绝对值，直接计算即可.

【小问1详解】

取PB的中点M，连接EM和CM，

∵E，M分别为PA，PB的中点，∴且，

又且，∴且，∴四边形CDEM为平行四边形，

∴，又平面，平面BPC，∴平面；

【小问2详解】

由题意可得DA，DC，DP两两互相垂直，如图，以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，

设平面PBC的法向量为，则令，则，，

∴.

设点F的坐标为，则，，由，

得，∴，，

设平面FPC的法向量为，由得

令，则，，∴，

则，又由图可知，二面角为锐角，故该二面角的余弦值为.

【小问3详解】

存在，由（2）知，可设，，

∴，

∴

∵FQ与平面PFC所成角的余弦值是，∴其正弦值为，

∴，整理得，解得，（舍），

∴存在满足条件的点，，且.

21.【答案】（1）；

（2）；

（3）当或2时，存在点，当时，不存在点.

【解析】【分析】（1）由又在AC上且，得，结合点坐标及直线AB的斜率，可求出AC边所在直线的方程；（2）结合（1）中结论，直线AB，AC的方程联立，得点A；由B、C两点关于M点对称，得的外接圆是以M为圆心，以AM为半径的圆；（3）若在的外接圆上存在点P，使得成立，则P为线段NT的垂直平分线l与圆M的公共点.所以当l与圆M相离时，不存在点P；

当l与圆M相交或相切时则存在点P.设N点坐标，点N到直线距离d与半径r=22比较，即可得到结论.

【小问1详解】

因为，

所以，又T在AC上，所以，为，

又AB边所在直线的方程为，

所以直线AC的斜率为3-.

又因为点在直线AC上，

所以AC边所在直线的方程为.

即.

【小问2详解】

AC与AB的交点为A，

所以由

解得点的坐标为，

因为，

所以，

所以为斜边上的中点，即为外接圆的圆心.

又.

从外接圆的方程为：.

【小问3详解】

若在的外接圆圆M上存在点P，使得成立，则P为线段NT的垂直平分线与圆M的公共点.所以当与圆M相离时，不存在满足条件的点P；当与圆M相交或相切时则存在满足条件的点P.

由，，知的斜率为，线段的中点为.

线段的垂直平分线为，即.

圆M的圆心M到直线的距离为，

（1）当时，而，由，此时直线与圆相交，存在满足条件点P；

（2）当时，此时直线与圆相交，存在满足条件的点P；

（3）当时，，，，

所以

此时直线与圆M相离，不存在满足条件的点P

综上：当或2时，存在点，当时，不存在点P.

【点睛】本题主要考查了两直线垂直的斜率关系的应用，直线方程的点斜式的应用，直角三角形的外接圆的性质的应用，两直线的交点、点到直线的距离公式等基础知识，本题考查的知识点较多，要求考生具备综合应用知识的能力，属于中档题.