2024-2025学年北京师范大学附属中学高二上学期期末考试数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年北京师范大学附属中学高二上学期期末考试数学试题（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设x∈R，向量a=(1,x,1)，b=(2,−4,2)，a//b，则x=( )
A. −4B. −3C. −2D. −1
2.若直线3x+4y+m=0与圆x−12+y−12=1相切，则m的值是( )
A. −2或12B. 2或−12C. −2或−12D. 2或12
3.如图，在直角三角形OAB中，A=π2，边OA所在直线的倾斜角为π6，则直线AB的斜率为( )
A. − 3B. − 33C. −1D. 1
4.点P(3,0)关于直线l:2x−y−1=0的对称点Q的坐标是( )
A. (−2,−3)B. (−1,2)C. (−1,−3)D. (1,0)
5.已知α,β是空间中两个不同平面，m,n是两条不同直线，则下列命题中正确的是( )
A. 若m//α，n//β，α//β，则m//nB. 若m⊂α，n⊂β，α⊥β，则m⊥n
C. 若m⊥α，n⊥β，m//n，则α//βD. 若m⊥n，m⊥α，n//β，则α⊥β
6.已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是平行四边形，M为侧棱PC上的点，且PM=2MC，若BM=xAB+yAD+zAP，则x+y+z=( )
A. −53B. −23C. 23D. 53
7.设椭圆C的焦点为F1,F2，离心率为e，则“e∈(12,1)”是“C上存在一点P，使得PF1⋅PF20)的焦点F且垂直于x轴的直线交抛物线E于点A，l是E在点A处的切线.点B是E上异于A的任意一点，过B且垂直于x轴的直线交x轴于点M，交l于点C，则|CM||BF|=( )
A. 34B. 1C. 32D. 不确定
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.双曲线x29−y24=1的离心率为 ，渐近线方程为 ．
12.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=π2,AC=BC=CC1，点D是A1C的中点，则BD与AA1所成角的余弦值为 ．
13.已知抛物线C的焦点为F(0,1)，则C的标准方程为 ；设点Q(2,3)，点P在C上，则|PF|+|PQ|的最小值为 ．
14.在▵ABC中，a=4，c−b=2，则∠B的一个取值可以为 ．
15.曲线C是平面内到原点O的距离与到直线x=1的距离的乘积等于常数a2(a>1)的点的轨迹.给出下列四个结论：
①曲线C过点(0,1)；
②曲线C关于x轴对称；
③曲线C存在渐近线；
④曲线C与被x轴截得的弦长大于 5．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
已知圆C:x2+y2+4x−12y+24=0，过点M(−4,0)作斜率为1的直线l交圆C于A，B两点．
(1)写出圆C的标准方程，圆心坐标和半径；
(2)求线段AB的中垂线方程；
(3)求AB．
17.(本小题12分)
已知六面体ABCDEF的底面ABCD是矩形，AB=4，AD=3，AF//DE且DE=2AF=4．
(1)求证：BF//平面DEC；
(2)若DE⊥平面ABCD，求直线BF与平面BEC夹角的正弦值．
18.(本小题12分)
已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 22，上顶点为A(0,1).过A的直线l与E的另一个交点为B．
(1)求E的方程；
(2)若|AB|=43 2．
(i)求l的方程；
(ii)求▵OAB的面积．
19.(本小题12分)
在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，点E为线段PD的中点，点F为线段PC(不含端点)上的动点．
(1)证明：平面AEF⊥平面PCD；
(2)若存在点F，使得平面PAC与平面AEF的夹角为π4，求PFPC的值．
(3)在(2)的条件下，求四面体P−AEF的体积．
20.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0经过点−1, 32，且a=2b．
(1)求C的方程；
(2)设椭圆C的左焦点为F，过F的直线l交C于P,Q两点.是否存在点T(t,0)，使得∠PTF=∠QTF恒成立？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
21.(本小题12分)
在平面内，有m个椭圆和n条抛物线(m,n∈N∗)，任意两条曲线均存在公共点，且任意三条及以上的曲线无公共点.设所有公共点个数为V.这些公共点将椭圆和抛物线共分割为L条曲线段(或曲射线)，上述图形将平面分割为S个互不连通的区域.如图，一个椭圆与一条抛物线相交，此时S=4.已知对于任意m,n∈N∗，V+S−L=1成立．
(1)当m=n=1时，直接写出S的最大值及此时V和L的值；
(2)当m=n=2时，是否存在V，使得S=25？若存在，求出V的值；若不存在，说明理由；
(3)对于给定的m,n∈N∗，设所有S的最大值为S(m,n).当S(m,n)=221+n时，试求出m+n的值．
参考答案
1.C
2.C
3.A
4.B
5.C
6.C
7.B
8.B
9.D
10.B
11. 133
y=±23x

12. 66
13.x2=4y
4

14.π6(答案不唯一)
15.②③④
16.(1)圆C的标准方程为(x+2)2+(y−6)2=16，圆心为(−2,6)，半径r=4．
(2)由直线l的斜率为1，得线段AB的中垂线m的斜率为−1，
又m过圆心(−2,6)，则m方程为y−6=−1(x+2)，
所以线段AB的中垂线方程为x+y−4=0．
(3)直线l的方程为x−y+4=0，圆心(−2,6)到直线l的距离为：d=−2−6+4 1+1=2 2，
所以|AB|=2 r2−d2=2 42−(2 2)2=4 2．

17.(1)
如图，取DE中点M，连接MF,MC．
∵AF//DE且DE=2AF=4，∴AF//DM，AF=DM，
∴四边形ADMF是平行四边形，∴MF//AD，MF=AD，
∵四边形ABCD是矩形，∴BC//AD，BC=AD，
∴BC//MF，BC=MF，
∴四边形BCMF是平行四边形，∴BF//CM，
∵BF⊄平面DEC，CM⊂平面DEC，
∴BF//平面DEC．
(2)∵DE⊥平面ABCD，∴DE⊥DA,DE⊥DC，
∵四边形ABCD是矩形，∴DA⊥DC，
以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则B3,4,0,F3,0,2，E0,0,4,C0,4,0，
∴BF=0,−4,2，BC=−3,0,0，EC=0,4,−4．
设平面BEC一个法向量为n=x,y,z，
则n⋅EC=0n⋅BC=0，即4y−4z=0−3x=0,
令y=1，则x=0,z=1，即n=0,1,1，
设直线BF与平面BEC所成角为θ，则sinθ=csBF,n=BF⋅nBFn=−2 20× 2= 1010，
∴直线BF与平面BEC夹角的正弦值为 1010．

18.(1)因为椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 22，
所以ca= 22，即a= 2c，
因为E的上顶点为A(0,1)，所以b=1
因为a2=b2+c2，所以2c2=1+c2，所以c=1，所以a= 2，
所以椭圆E的方程为x22+y2=1．
(2)(i)若直线l的斜率不存在，则|AB|=2≠4 23，不合题意．
若直线l的斜率存在，设l的方程为y=kx+1，设B(x0,y0)，
由y=kx+1x2+2y2=2，得(1+2k2)x2+4kx=0，
因为Δ=16k2>0，所以k≠0，所以x0=−4k1+2k2，
所以AB= 1+k2⋅0−x0= 1+k2⋅4k2k2+1=4 23，
化简得k4+k2−2=0，解得k2=1或−2(舍)，
所以k2=1，解得k=1或k=−1，都满足Δ>0，
所以直线l方程为y=x+1或y=−x+1；
(ii)由(i)得B的坐标为(±43,−13)，
所以▵OAB的面积S▵OAB=12⋅OA⋅xB=12×1×43=23．

19.(1)因为底面ABCD为正方形，所以CD⊥AD，
因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，
又因为PA∩AD=A，PA,AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD，
因为AE⊂平面PAD，所以CD⊥AE，
因为PA=AD，且E为PD的中点，所以AE⊥PD，
又因为CD∩PD=D，CD,PD⊂平面PCD，
所以AE⊥平面PCD，
又因为AE⊂平面AEF，
所以平面AEF⊥平面PCD．
(2)因为PA⊥平面ABCD，AB,AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AD,PA⊥AB，
因为四边形ABCD是正方形形，所以AD⊥AB，
以A为原点，AB,AD,AP分别为x轴､y轴､z轴，建立空间直角坐标系，
则A0,0,0,B2,0,0，C2,2,0,D0,2,0,P0,0,2,E0,1,1，
则AE=0,1,1，AP=0,0,2，PC=2,2,−2，
设PF=λPC(0