2025-2026学年下学期内蒙古包头高三数学4月二模试卷含答案

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2026 年普通高等学校招生全国统一考试 (第二次模拟考试) 数 学
1. 考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上。将条形码粘贴在规定区域。 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 做选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3. 回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效。
4. 考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.
1. 已知集合 A={1,2},B=1,3,lg2m ,若 A⊆B ,则 m 的值为
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
2. 若复数 z1=1+2i 与复数 z2 在复平面内对应的点关于虚轴对称，则 z1z2=
A. 5 B. -5 C. 3 D. -3
3. 设函数 fx=3x+1,x≤1lg12x−1,x>1, 若 fx=−3 ,则 fx−8=
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
4. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的渐近线方程为 y=±3x ,且实轴长为 2,则焦距为
A. 3 B. 2 C. 23 D. 4
5. 在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 与角 β 均以 Ox 为始边,已知角 α 的终边在第一象限,且 csα=13 ,将角 α 的终边按照逆时针方向旋转 60∘ 后得到角 β 的终边,则 sinβ=
A. 1+266 B. 1−266 C. 22+36 D. 22−36
6. 已知 lna>lnb>0,c>0 ,则
A. 2a0 的右焦点 F1,0 与抛物线 C2:y2=2pxp>0 的焦点重合,若椭圆 C1 与抛物线 C2 在第一象限的交点为 P 且 PF=52 ,则椭圆 C1 的离心率为_____.
14. 在 △ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，若 a2,b2,2c2 成等差数列，则 tanC−B 的最小值为_____
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
为了了解学生的基本情况，某学校对一次高三质量预测数学考试成绩进行汇总(所有学生的数学成绩都不低于 30 分)，整理后得到如下图所示的频率分布直方图:

(1)求频率分布直方图中 m 的值，并估计该校学生数学成绩的第 70 百分位数；
(2)若该校高三学生共有 1200 人，从中依据按比例分配分层抽样的方法从等级分数介于 80 至 100 之间的学生中抽出 8 人，再从这 8 人中选出 3 人，记 ξ 为 3 人中分数在 [80,90) 的人数，求 ξ 的分布列和数学期望.
16. (15分)

在 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，若 a=1 ， bcsC+3csinB=a+2c.
(1)求 ∠B 的大小；
(2)如图所示， D 为 △ABC 外一点， ∠DCB=∠B ， CD=3,AC=AD ,求 △ACD 外接圆的半径.
17. (15 分)
如图，在平行六面体 ABCD−A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，侧棱 AA1=3 ，且 ∠AiAB=∠A1AD=120∘

(1)求证: BD⊥ 平面 ACC1A1 ；
(2)求平面 AB1C 与平面 ACC1A1 夹角的余弦值.
18. (17 分)
已知 A,B 两点的坐标分别是 −1,−1 和 1,−1 ,直线 AC,BC 相交于点 C ,且直线 AC 的斜率与直线 BC 的斜率的差是 2 .
(1)求点 C 的轨迹 Γ 的方程；
(2)已知 Γ 上存在三点 P,Q,R ，且 P,Q 关于直线 y=12x+m 对称.
① 求 m 的取值范围;
②若 △PQR 为等边三角形，求 PQ .
19. (17 分)
已知函数 fx=lnx−sinx+1 .
(1)讨论 fx 在 x∈0,π 上的单调性;
(2)已知 f′x 为 fx 的导数，若两个不相等的实数 x1,x2∈0,π 满足 f′x1=f′x2 ,求证: fx1+fx2>0 .
2026 年普通高等学校招生全国统一考试 (第二次模拟考试) 数学参考答案
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
1. C 2.B 3. A
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.
9.BD 10.ABD 11.BCD
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 16
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.
15. 解: (1) 由题意得 10×0.002+2×0.004+m+0.020+0.028+0.030=1 ,
解得 m=0.012 。 .2 分
因为 0.02+0.04+0.2+0.3=0.560.7,
所以该校学生数学成绩的第 70 百分位数位于 [70,80) 内,设其为 x ,
则 0.02+0.04+0.2+0.3+x−70×0.028=0.7 ，解得 x=75 。
故估计该校学生数学成绩的第 70 百分位数为 75。 .5 分
(2)因为 80,90),90,100可两组数据的频率之比为 0.12:0.04 = 3:1,
所以 8 人中等级分数位于 80,90),[90,100 内的人数分别为 6,2 .7 分
由题知 ξ 的所有可能取值为1,2,3,
Pξ=1=C61C22C83=656=328,
Pξ=2=C62C21C83=3056=1528,
Pξ=3=C63C83=2056=514
11 分
所以 ξ 的分布列为
所以 Eξ=1×328+2×1528+3×514=94 .13 分
16. 解: (1) 由正弦定理得 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC ,
∵bcsC+3csinB=a+2c, ∴sinBcsC+3sinCsinB=sinA+2sinC , .2 分
由三角形内角和知， B+C=180∘−A ，则 sinA=sinB+C=sinBcsC+csBsinC ，
代入后化简 3sinCsinB=csBsinC+2sinC ，
∵sinC≠0,∴3sinB=csB+2 ,即 3sinB−csB=2 , .4 分
∵3sinB−csB=2sinB−30∘=2,∴sinB−30∘=1 , .5 分
∵0sin1−cs1=2sin1−π4>0 .8 分
所以 x∈1,π2 有 f′x>0,fx 在 x∈1,π2 单调递增;
综上所述， fx 在 x∈0,π 上单调递增 .9 分
(2)由题意可得 1x1−csx1=1x2−csx2 .10 分
不妨设 π>x1>x2>0 ,则 x1−x22∈0,π2,x1+x22∈0,π 11 分
先证明当 x∈0,π2 时,有 sinx