2025-2026学年下学期云南楚雄高二数学4月第一次月考试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期云南楚雄高二数学4月第一次月考试卷含答案，文件包含解三角形周长与周长最值问题面积与面积最值问题专项训练原卷版docx、解三角形周长与周长最值问题面积与面积最值问题专项训练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共12页， 欢迎下载使用。
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4. 本卷命题范围:人教 A 版选择性必修第二册(除去导数综合应用)。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的。
1. 数列 7,25,79,241,⋯ 的一个通项公式为
A. an=3n−2 B. an=3n+4
C. an=3n+1−2 D. an=3n+1+4
2. 已知函数 fx 的导函数为 f′x ,若 limf−5+Δx−f−5Δx=5 ,则 f′−5=
A. -5 B. -1 C. 1 D. 5
3. 在正项等比数列 an 中,若 a32=3a4 ,则 a2=
A. 3 B. 4 C. 9 D. 27
4. 在数列 an 中, a1=1,an+an+1=4 ,则 a2025=
A. -3 B. -1 C. 1 D. 3
5. 已知 f′x 为函数 fx 的导函数,若 fx=12ex−f′2x+1 ,则 f′2=
A. e2+12 B. e24 C. e2+24 D. e22
6. 已知正四棱柱的体积为 1000 , 则其所有棱长的和的最小值为
A. 120 B. 8034 C. 144 D. 12032
7. 已知 Sn 为等比数列 an 的前 n 项和, S6=−21,S4=5S2 ,则 S4=
A. 0 B. −13 C. -1 D. -5
8. 若函数 fx=12x+csx−m 在区间 0,π2 上有 2 个零点,则实数 m 的取值范围是
A. π4,1 B. π4,π12+32
C. π6,π4 D. 1,π12+32
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 下面导数运算正确的是
A. csπ2′=−sinπ2 B. lnx′=1x
C. xsinx′=sinx+xcsx D. ezx′=ez−xezx2
10. 在某次足球比赛中,运动员甲带球突破,其运动路线可视为直线运动,且位移 y (单位: m ) 与时间 t (单位:s)的函数关系式是 y=2t30≤t≤10 ,则
A. 在 1≤t≤4 这段时间内,运动员甲的平均速度为 72 m/s
B. 在 4≤t≤9 这段时间内,运动员甲的平均速度为 385 m/s
C. 运动员甲在 t=4 s 时的瞬时速度为 6 m/s
D. 运动员甲在 t=9 s 时的瞬时速度为 8 m/s
11. 如图，在纸片 △ABC 中， AB=BC,AC=8 ，且 △ABC 的面积为32，取边 AC 的中点 C1 ，在该纸片中剪去以 AC1 为边的等边 △AB1C1 得到新的纸片 M1 ，再取 C1C 的中点 C2 ，在纸片 M1 中剪去以 C1C2 为边的等边 △C1B2C2 得到新的纸片 M2 ，再取 C2C 的中点 C3 ，在纸片 M2 中剪去以 C2C3 为边的等边 △C2B3C3 得到新的纸片 M3 ，以此类推得到纸片 M1 ， ⋯ ， Mn ， ⋯ ，设 Mn 的周长为 Ln ，面积为 Sn ，则
A. Ln+1−Ln=12n−2 B. Ln=85+16−12n−3
C. Sn−Sn+1=3×122n−4 D. Sn=32−1633+3314n−2
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 若数列 an 的前 n 项和 Sn=−2n−1+3 ,则 a6= _____.
13. 已知函数 fx=x3−3x2−mx 在 0,+∞ 上单调递增，则实数 m 的取值范围是_____.
14. 已知数列 an 的通项公式为 an=n−13 ,若满足 ak+ak+1+⋯+ak+19=m 的正整数 k 恰有 2 个，则 m 的可能取值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题满分 13 分)
已知函数 fx=lnx−ax2a∈R ,且 f′2=−152 .
(1)求 a 的值；
(2)求曲线 y=fx 在 x=1 处的切线方程.
16. (本小题满分 15 分)
已知数列 an 是等差数列， a3=−4,a7=8 .
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)设数列 an 的前 n 项和为 Sn ，求 Sn 的最小值.
17. (本小题满分 15 分)
在数列 an 中, a1=12,an+1=anan+1n∈N∗ .
(1)证明: 1an 是等差数列；
(2)设 bn=anan+1 ，求数列 bn 的前 n 项和.
18. (本小题满分 17 分)
已知函数 fx=αxexα>0 的极小值为 −1e .
(1)求 a 的值；
(2)若 fx+bx2−2x>0 对 ∀x∈2,+∞ 恒成立，求实数 b 的取值范围.
19. (本小题满分 17 分)
设数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn=2an−2n+1 ,数列 bn 满足 bn=lg2ann+1 ,其中 n∈N∗ .
(1)证明 an2n 为等差数列,并求数列 an 的通项公式;
(2)求数列 an2n+1 的前 n 项和 Tn ；
(3)若不等式 1+1b11+1b3⋯1+1b2n−1≥mb2n+1 对任意正整数 n 都成立,求实数 m 的最大值.
参考答案、提示及评分细则
1.C 数列 7,25,79,241,⋯ 的各项都加上 2 后为 9,27,81,243,⋯ ,因此一个通项公式为 an=3n+1−2 . 故选 C.
2. Df′−5=limΔx→0f−5+Δx−f−5Δx=5 . 故选 D .
3. A 由等比数列的性质可得 a32=3a4=a2a4 ,由正项等比数列易知 a4≠0 ,故 a2=3 . 故选 A.
4. C 因为 a1=1,an+an+1=4 . 所以 a2=3,a3=1 . 则数列 an 是周期为 2 的周期数列,故 a2025=a1=1 . 故选 C.
5. B 由 fx=12er−f′2x+1 ,得 f′x=12er−f′2 ,所以 f′2=12e2−f′2 ,解得 f′2=e24 . 故选 B.
6. A 设正四棱柱的底面边长为 x ,高为 y ,则 x2y=1000 ,即 y=1000x2 ,正四棱柱的棱长之和 lx=8x+4y= 8x+4000x2 . 定义域为 0.+∞,l′x=8−8000x3=8x3−8000x3 ,令 l′x=0 ,得 x=10 ,当 x∈0,10 时, l′x0,lx 单调递增,所以 x=10 时, lx 取到极小值 l10=120 . 也是最小值,即正四棱柱的所有棱长的和的最小值为 120 . 故选 A.
7. D 由 S6=−21 知 S4≠0,S1−S2≠0,S6−S4≠0 ，所以 S2,S1−S2 ， S6−S4 ，成等比数列，由等比中项，得 S4−S22=S2S6−S4 ,即 S4−15S42=15S4−21−S4 ,解得 S4=−5 或 S4=0 (舍去). 故选 D.
8. D 由 fx=12x+csx−m ,得 f′x=12−sinx ,令 f′x=0 ,得 x=π6 ,当 x∈0,π6 时, f′x>0 , fx 单调递增,当 x∈π6,π2 时, f′xfπ2=π4−m,fx 在区间 0,π2 上有 2 个零点,所以 f0=1−m0 . 解得 1π3,S1=32−34×42=32−43 ，当 n≥2 时， S1−S2=3,S2−S5=3× 122,⋯,Sn−1−Sn=3×122n−4 ,以上各式相加,得 S1−Sn=3+3×14+⋯+3×14n−2= 3×1−14n−11−14=433−3314n−2 ,所以 Sn=32−1633+3314n−2 ,又 S1=32−43 满足上式,所以 Sn=32−1633+3314n−2n∈N∗ ,故 D 正确. 故选 ABD.
12. −48a6=S6−S5=−25+3−−24+3=−48 .
13. (−∞,−3] 由 fx=x3−3x2−mx ,得 f′x=3x2−6x−m ,因为 fx 在 0,+∞ 上单调递增,所以 f′x≥0 在 0,+∞ 上恒成立,即 m≤3x2−6xmin ,又 3x2−6x=3x−12−3 在 0,+∞ 上的最小值为一3,所以 m≤−3 ,即实数 m 的取值范围是 (−∞,−3] .
14. 100 或 102 或 106 当 k≥13 时, ak+ak+1+⋯+ak+19=k−13+k−12+⋯+k+6=20k−70=m , 解得 k=m+7020 ,此时等式成立的每个 m 值,都只有一个 k 值,不符合题意; 当 03994 ,符合题意; 若 k1=2,k2=5 ,此时 112−m=10 ,解得 m= 102,满足 m>3994 ,符合题意; 若 k1=3,k2=4 ,此时 112−m=12 ,解得 m=100 ,满足 m>3994 ,符合题意,故 m 可取到的值有 106 或 102 或 100 .
15. 解: (1) 由 fx=lnx−ax2 ,得 f′x=1x−2ax , 3 分
因为 f′2=−152 ,所以 f′2=12−4a=−152 ,解得 a=2 . 6 分
(2)由(1)，得 fx=lnx−2x2 ，所以 f1=−2 ， 8 分
由 f′x=1x−4x ,得 f′1=−3 , 10 分
所以曲线 y=fx 在 x=1 处的切线方程为 y−−2=−3x−1 ,即 3x+y−1=0 . 13 分
16. 解: (1)设等差数列 an 的公差为 d ,
因为 a3=−4,a7=8 ,所以 a1+2d=−4,a1+6d=8 ,解得 a1=−10,d=3 , 4 分
所以 an=a1+n−1d=−10+3n−1=3n−13 . 7 分
(2)由(1)，得 Sn=na1+nn−12d=−10n+nn−12×3=32n2−232n=32n−2362−52924 , 11 分又 n∈N∗ ,所以 n=4 时, Sn 最小, Sn 的最小值为 -22 . 15 分
17. ( 1 )证明:因为 an+1=anan+1 ， a1=12 ，所以 1an+1=1an+1 ，即 1an+1−1an=1 ， 3 分
所以数列 1an 是公差为 1 的等差数列. 6 分
(2)解:因为数列 1an 是公差为 1 的等差数列， 1a1=2 ，所以 1an=2+n−1×1=n+1 ， 9 分
所以 an=1n+1,bn=anan+1=1n+1n+2=1n+1−1n+2 . 12 分
设数列 bn 的前 n 项和为 Tn ,
则 Tn=12−13+13−14+⋯+1n+1−1n+2=12−1n+2=n2n+4 . 15 分
18. 解: (1) 由 fx=axex ,得 f′x=aex+axex=a1+xex , 2 分
又 a>0 ,令 f′x=0 ,得 x=−1 , 4 分
当 x∈−∞,−1 时, f′x0,fx 单调递增.
所以 fx 有极小值 f−1=−ae−1=−1e ,解得 a=1 . 7 分
(2) 由 a=1,fx+bx2−2x>0 ,得 xex+bx2−2x>0 ,
又 x∈2,+∞ ,所以 b>ex2−x ,
因为 fx+bx2−2x>0 对 ∀x∈2,+∞ 恒成立,所以 b>ex2−xmax,x∈2,+∞ . 10 分令 gx=ex2−x,x∈2,+∞ ,则 g′x=ex2−x+ex2−x2=ex3−x2−x2 , 12 分
令 g′x=0 ,得 x=3 ,
当 x∈2.3 时, g′x>0.gx 单调递增; 当 x∈3,+∞ 时, g′x−e3 ,即 b 的取值范围是 −e3,+∞ . 17 分
19.(1)证明:当 n=1 时， a1=S1=2a1−4 . 则 a1=4 . 1 分
当 n≥2 时, an=Sn−Sn−1,∴an−2an−1=2n .
即 an2n−an−12n−1=1 ,即 an2n 是以 a12=2 为首项,公差为 1 的等差数列,
故 an2n=n+1,∴an=n+1⋅2n . 4 分
(2)解:由(1)可得 an2n+1=n+1⋅4n , 5 分
故 Tn=2×4+3×42+⋯+n+1⋅4n ,
故 4Tn=2×42+3×43+⋯+n⋅4n+n+1⋅4n+1 ,
则 −3Tn=2×4+42+43+⋯+4n−n+1⋅4n+1
=4+41−4n1−4−n+1⋅4n+1=83−4n+83⋅4n 8 分
故 Tn=134n+83⋅4n−89 . 9 分
(3)解: bn=lg2ann+1=lg22n=n ,则 1+1b11+1b3⋯1+1b2n−1≥mb2n+1 ,
即 1+11+13⋯1+12n−1≥m2n+1 , 11 分
即 m≤1+11+13⋯1+12n−12n+1 对任意正整数 n 都成立, 12 分
令 fn=1+11+13⋯1+12n−12n+1 ,
则 fn+1=1+11+13⋯1+12n−11+12n+12n+3 ,
故 fn+1fn=2n+22n+1⋅2n+3=4n2+8n+44n2+8n+3>1 , 15 分
即 fnn∈N∗ 随着 n 的增大而增大,
故 fn≥f1=233 ,即 m≤233 ,
即实数 m 的最大值为 233 . 17 分