内蒙古包头市2024届高三下学期二模考试数学（文）试卷(含答案)

这是一份内蒙古包头市2024届高三下学期二模考试数学（文）试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知全集,集合满足,则( )
A.B.C.D.
2．已知复数(i为虚数单位),则的虚部为( )
A.B.C.D.
3．设m,,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
4．若非零向量,满足,则向量与向量的夹角为( )
A.B.C.D.
5．从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张,则抽到两张卡片上的数字之积是3的倍数的概率为( )
A.B.C.D.
6．已知函数的值域为.若,则实数t的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．已知数列为等比数列,且,,设等差数列的前n项和为,若,则( )
A.或36B.C.36D.18
8．声音是由物体振动产生的声波,其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数,但我们平时听到的乐音不止是一个音在响,而是许多个音的结合,称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数,则下列说法正确的是( )
A.的一个周期为
B.的最大值为
C.的图象关于点对称
D.在区间上有2个零点
9．在平面直角坐标系xOy中,设,动点满足,则的最大值为( )
A.B.C.D.
10．在正方体中,E为BD的中点,则直线与所成角的余弦值为( )
A.0B.C.D.
11．设是定义域为R的奇函数,且.若,则( )
A.B.C.D.
12．已知双曲线的左､右焦点分别为,,双曲线C的离心率为e,在第一象限存在点P,满足,且,则双曲线C的渐近线方程为( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．抛物线的准线方程为,则实数a的值为__________.
14．在中,A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,,,则边__________.
15．若实数满足约束条件,则的最小值为__________.
16．已知圆柱的两个底面的圆周在表面积为的球O的球面上,则该圆柱的侧面积的最大值为__________.
三、解答题
17．某企业拟对某产品进行科技升级,根据市场调研与模拟,得到科技升级投入m(万元)与科技升级直接收益y(万元)的数据统计如下:
根据表格中的数据,建立了y与m的两个回归模型:
模型①:模型②:.
（1）根据下列表格中的数据,比较模型①､②的相关指数的大小,并选择拟合精度更高､更可靠的模型;
（2）根据（1）选择的模型,预测对该产品科技升级的投入为100万元时的直接收益.
(附:刻画回归效果的相关指数,越大,模型的拟合效果越好)
18．如图,在多面体DABCE中,是等边三角形,,.
（1）求证:;
（2）求三棱锥的体积.
19．已知函数.
（1）若是函数的极值点,求a的值;
（2）求函数的单调区间.
20．己知椭圆过点,且焦距为.
（1）求椭圆E的标准方程;
（2）过点作两条互相垂直的弦AB,CD,设弦AB,CD的中点分别为M,N.证明:直线MN必过定点.
21．已知数列为有穷数列,且,若数列满足如下两个性质,则称数列为的k增数列:
①;
②对于,使得的正整数对有k个.
（1）写出所有4的1增数列;
（2）当时,若存在m的6增数列,求m的最小值.
22．在直角坐标系xOy中,曲线W的参数方程为(为参数,),
以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为
.
（1）求曲线W的普通方程和直线l的直角坐标方程;
（2）已知点,若直线l与曲线W交于M,N两点,求的值.
23．已知.
（1）求不等式的解集;
（2）若的最小值为n,正实数a,b,c满足,求证.
参考答案
1．答案：B
解析:因为,,所以,
所以.
故选:B.
2．答案：A
解析:,则,其虚部为,
故选:A.
3．答案：B
解析:时,m和n可能都是负数,得不出,充分性不成立;时,得出,得出,必要性成立,
是的必要不充分条件.
故选:B.
4．答案：C
解析:
5．答案：D
解析:从6张卡片中无放回随机抽取2张,共有15种情况,其中数字之积是3的倍数的有,,,,,,,,,共9种情况,故所求概率为.
6．答案：A
解析:由题意得,函数的定义域为R,令,
则,所以,所以函数的值域为,因为,所以,故选A.
7．答案：C
解析:为等比数列,设其公比为q,,,,则,则,等差数列中,.故选:C.
8．答案：D
解析:函数,
对于A:,故A错误;
对于B:函数,,
令,所以函数在上单调递增,在上单调递减,故函数在时,函数取得最大值为,故B错误;对于C:当时,,故C错误;对于D:当,时,,,故在区间上有2个零点,故D正确.故选:D.
9．答案：C
解析:,
整理得:,
故动点P的轨迹为以为圆心,2为半径的圆,
因为,,所以A,B,D三点共线,如图,
设,则,,所以,
当PB与圆相切时,为锐角且最大,最大,即,
所以,
,
,即的最大值为.
故选:C.
10．答案：D
解析:连接,取的中点F,连接DF,易知,
为异面直线与所成角,
设正方体棱长为2,
则,,,
,
故选:D.
11．答案：A
解析:因为是定义域为R的奇函数,所以,则,所以,所以函数是以4为周期的周期函数,所以.
12．答案：A
解析:设,,由双曲线的定义可得,
由,且,
可得,
,
,
解得,,
在中,由余弦定理可得,
即,化为,
即为,
则双曲线的渐近线方程为.
故选:A.
13．答案：
解析:
14．答案：
解析:,,,
则,即,
故,
解得.
故答案为:.
15．答案：5
解析:
16．答案：
解析:设球的半径为R,圆柱的底面半径为r,母线为l,则由题意知,,解得,又圆柱的两个底面的圆周在表面积为的球O的球面上,
则圆柱的两个底面圆的圆心关于球心对称,且,
则圆柱的侧面积,,
因为,当且仅当,即,时,等号成立,
所以,.
故答案为:.
17．答案：（1）见解析
（2）198.6万元
解析:（1）由表格中的数据,,
所以,模型①的相关指数小于模型②的相关指数,
即模型②的拟合效果精度更高､更可靠.
（2）当万元时,科技升级直接收益的预测值为:
(万元)
18．答案：（1）见解析
（2）
解析:（1）证明:取BC中点O,连接AO,EO.
是等边三角形,O为BC中点,
,
又,,
,平面AEO,
又平面AEO,
.
（2）连接DO,则,
由,得,,
又,,
,
又,平面ABC
所以
19．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析:（1）函数定义域为,,
因为是函数的极值点,
所以,解得或,
因为,所以.
此时,
令得,令得,
在单调递减,在单调递增,所以是函数的极小值点.
所以.
（2）
因为,所以,
令得;令得;
函数的单调减区间为,单调增区间为.
20．答案：（1）
（2）见解析
解析:（1）依题意有,,解得,
所以椭圆的方程为.
（2）设,,,则,
联立,故,
,,
故,
由代替m,得,
当,即时,,过点.
当,即时,
,,
令,
直线恒过点.
当,经验证直线MN过点.
综上,直线MN恒过点.
21．答案：（1）
（2）
解析:（1）由题意得,则或,
故所有4的1增数列有数列1,2,1和数列1,3.
（2）当时,因为存在m的6增数列,
所以数列的各项中必有不同的项,所以且
若,满足要求的数列中有四项为1,一项为2,
所以,不符合题意,所以
若,满足要求的数列中有三项为1,两项为2,符合m的6增数列.
所以,当时,若存在m的6增数列,m的最小值为7
22．答案：（1）
（2）见解析
解析:（1）因为曲线W的参数方程为(为参数,),
所以,,所以,.
即曲线的普通方程为
直线l的极坐标方程为,则,
转换为直角坐标方程为
（2）直线l过点,直线l的参数方程为(为参数),
令点M,N对应的参数分别为,,
将代入,得,
则,,故
23．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）①当时,,解得;
②当时,,解得;
③当时,,无解;
综上,不等式的解集为.
（2）因为,
当且仅当时等号成立.所以,即.
.
当且仅当,即时等号成立.
序号
1
2
3
4
5
6
7
m
2
3
4
6
8
10
13
y
13
22
31
42
50
56
58
回归模型
模型①
模型②
回归方程
182.4
79.2