湖南省衡阳市2023-2024学年高三下学期二模数学试题（Word版附解析）

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1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数，则（ ）
A B. C. D.
3. 已知双曲线的左焦点为，虚轴的上、下端点分别为，若，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知是等比数列，且，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
5. 已知，则（ ）
A. B. C. 2D. 4
6. 已知函数部分图像如图所示，，则（ ）

A. 0B. C. D.
7. 某种用保温材料制成的管道在单位长度上的热损失单位：满足，其中分别为管道的内外半径（单位：），分别为管道内外表面的温度（单位：），为保温材料的导热系数（单位：），某工厂准备用这种管道传输的高温蒸汽，根据安全操作规定，管道外表面温度应控制为，已知管道内半径为，当管道壁的厚度为时，，则当管道壁的厚度为时，约为（ ）
参考数据：.
A. B. C. D.
8. 已知三棱锥中，，三棱锥的体积为，其外接球的体积为，则线段长度的最大值为（ ）
A. 7B. 8C. D. 10
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在正四棱柱中，是棱中点，则（ ）
A. 直线与所成的角为B. 直线与所成的角为
C. 平面平面D. 直线与平面所成角的正弦值为
10. 已知圆是直线上一动点，过点作直线分别与圆相切于点，则（ ）
A. 圆上恰有一个点到的距离为B. 直线恒过点
C. 的最小值是D. 四边形面积的最小值为
11. 已知函数的定义域均为是奇函数，且，，则（ ）
A. B. 为奇函数
C. 偶函数D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 曲线在点处的切线方程为______．
13. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），（为坐标原点），，则______．
14. 已知有两个盒子，其中盒装有3个黑球和3个白球，盒装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．甲从盒、乙从盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入盒中．按上述方法重复操作两次后，盒中恰有7个球的概率是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数，当时，取得极值．
（1）求的解析式；
（2）求在区间上的最值．
16. 某报社组织“乡村振兴”主题征文比赛，一共收到500篇作品，由评委会给每篇作品打分，下面是从所有作品中随机抽取的9篇作品的得分：82，70，58，79，61，82，79，61，58．
（1）计算样本平均数和样本方差；
（2）若这次征文比赛作品的得分服从正态分布，其中和的估计值分别为样本平均数和样本方差，该报社计划给得分在前50名的作品作者评奖，则评奖的分数线约为多少分？
参考数据：．
17. 如图（1）所示，在平面四边形中，是边长为2的等边三角形，，为边的中点，将沿折成直二面角，得到如图（2）所示的四棱锥．
（1）若为棱的中点，证明：平面；
（2）求二面角的正弦值．
18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于两点，的周长为8．
（1）求方程；
（2）若直线与交于两点，且原点到直线的距离为定值1，求的最大值．
19. 莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：（为的质因数个数，为质数，），例如：，对应．现对任意，定义莫比乌斯函数
（1）求；
（2）若正整数互质，证明：；
（3）若且，记的所有真因数（除了1和以外的因数）依次为，证明：．