2025-2026学年下学期河北雄安新区高三数学4月模拟考试试卷含答案

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2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑; 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
考试时间为 120 分钟, 满分 150 分
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合 A={x∈N∣0b>0 的左、右焦点分别为 F1,F2,A,B 分别为椭圆 C 的左、 右顶点,直线 l 过 F2 与椭圆 C 交于 P,Q 两点 (不同于点 A,B ), △PF1Q 的周长为 43 , 直线 PA 与 PB 的斜率分别为 kPA,kPB ,且 kPA⋅kPB=−23 ,则椭圆 C 的离心率为
A. 13 B. 33 C. 23 D. 23
7. 早在西周时期，中国就有对勾股定理探讨的实例，数学家商高曾经和周公讨论过 “勾 3 股 4 弦 5 ”的问题. “勾 a 股 b 弦 c ” 指的是直角三角形的两条直角边长分别是 a,b ，斜边长为 c.如图,已知在长方形 ABCD 中, △ABD 满足 “勾 3 股 4 弦 5 ”, AD=3 , P 为 CD 上一点, 且 AP⋅DB=0 ,则向量 AD 可用向量 AP,BD 表示为

A. AD=916AP+516BD B. AD=720AP+1120BD
C. AD=524AP−1324BD D. AD=1625AP+925BD
8. 已知 A,B 为圆 O:x+22+y2=4 上的不同两点,过 A,B 两点分别作圆 O 的切线,且两切线的交点 P 在直线 l:x+2y−3=0 上,则 PO⋅AB 的最小值为
A. 23 B. 4 C. 6 D. 35
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项 符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 下列说法正确的是
A. ∃x∈R,x2+3x+2≤0
B. 若 x∈R ,则 “ x>23 ” 是 “ 2xbc2−1 ,则 a>b
10. 在 △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,A=π3,a=4 ,则下列结论正确的是
A. ccsB+bcsC=4 B. 若 c=7 ,则符合条件的三角形有两个
C. b2+c2≤32
D. csCcsB∈−∞,−2∪−12,+∞
11. 已知函数 fx=lnxx ,则下列结论正确的是
A. 函数 fx 的极大值为 1e
B. 函数 fx 的极小值为 −e
C. 直线 x−y−1=0 是函数 fx 图象的一条切线
D. 若关于 x 的不等式 fx>a 有唯一的整数解,则实数 a 的取值范围是 ln22,ln33
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知函数 fx=lg2x+152,x≥0,2x,x0,b>0 的左、右焦点分别为 F1,F2,F1F2= 2c ,直线 l 过点 F1 且与双曲线 C 交于第一象限的点 P .
(1)若直线 l 与双曲线 C 的左半支交于点 Q ， PQ=PF2 ， c=3 ，且 cs∠QF1F2=1320 ， 求实数 a 的值；
(2)若点 P 的横坐标为 c ，且满足 b2=ac ，证明:直线 l 的斜率为定值.
18.(17 分) 已知函数 fx=exx 的定义域为 0,+∞ .
(1)求函数 fx 的值域；
(2)若不等式 exx−λlnexx+e2≥0 在 0,+∞ 上恒成立，求实数 λ 的最大值.
19.(17 分)当下有许多人喜欢以爬山作为锻炼身体的运动方式，有一座山，上山有①②两条路径.
(1)小李、小王、小张三人经常组队去爬这座山锻炼身体，三人选择①路径爬山的概率分别为 23,14,13 ,求小李、小王、小张三人中恰有两人选择②路径爬山的概率.
(2)若小刘决定连续两天去爬山，事件 A= “小刘第一天选择①路径爬山”， B= “小刘第二天选择②路径爬山”，且 PA=12 . 若小刘第一天选择①路径爬山，第二天仍选择① 路径爬山的概率为 15 ; 若小刘第一天选择 ②路径爬山,则第二天选择 ①路径爬山的概率为 13 . 求 PB .
(3)有一支登山队，经过一段时间的爬山锻炼后，可对每人的登山速度的提高做出评定为 “有效”和“无效”.在对全体登山队员的登山速度的提高做出评定后, 从中随机抽取一人, 登山速度的提高为 “有效”的概率为 0.88 . 现从全体登山队员中抽取一人，若此人登山速度的提高为 “有效”,则抽取下一人,直到抽取的是登山速度的提高为 “无效” 的人结束.若抽取的次数为 ξ ,且 ξ≤kk≥8且k∈N∗,Eξ≤2.5 ,求 k 的最大值.
(参考数据: ln0.88≈−0.128,0.8828≈0.028,0.8829≈0.025,0.8830≈0.022 )
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1.D ∵x∈N,∴A={1,2,3,4} . 解不等式 x2−9x+18≤0 得 3≤x≤6,∴B={x∣3≤x≤6},∴A∩B= {3,4} . 故选 D.
2.C ∵2+i111−bi=2−i1−bi=2−2bi−i−b=2−b−1+2bi,∴2−b=0,1+2b≠0, 解得 b=2 . 故选 C.
3.A: 函数 fx=x+1x−a 为奇函数, ∴fx=−f−x ,即 x+1x−a=x−1−x−a ,解得 a=0 . ∴fx=x+1x,∴f6=376 . 故选 A.
4.C设圆台的母线长为 l ,上底面的半径为 r ,则下底面的半径为 2r.∵ 圆台的侧面积为 12π,∴12l(2πr+ 4πr)=12π ,解得 lr=4 . 又 ∵l2=r2+152,∴r=1,l=4 ,则该圆台的体积为 13×15×π×12+π×22+π× 1×2)=7153π . 故选 C.
5.A由题意知,必有一位讲师去两个单位,另外两个单位各去一位讲师.第一步: 先将 4 个单位按 2:1:1 分成三组,共有 C12C21 A22=6 种方法; 第二步: 再把三名讲师分配到三个小组,有 A33=6 种分配方法,故共有 6×6=36 种选派方法.故选 A.
6.B ∵△PF1Q 的周长为 43,∴PF1+PF2+QF1+QF2=4a=43,∴a=3 ,则 A−3,0 , B3,0 . 设点 Px0,y0∵kPA⋅kPB=−23,∴y0x0+3⋅y0x0−3=−23 ,整理得 y02=−23x02−3 . 又 ∵x023+y02b2=1,∴y02=b21−x023 ,解得 b2=2 , ∴c=32−2=1,∴ 椭圆 C 的离心率 e=ca=13=33 . 故选 B.
7.D以 A 为坐标原点, AB,AD 所在直线分别为 x 轴、 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系.

∵AD=3,AB=4,∴A0,0,D0,3,B4,0,∴AD=0,3,DB=4,−3 . 设 AP=λ,3∵AP⋅DB=0 , ∴AP⋅DB=4×λ+3×−3=0 ,解得 λ=94 . 设 AD=xAP+yBD ,则 0,3=x94,3+y−4,3 ,
∴94x−4y=0,3x+3y=3, 解得 x=1625,y=925,∴AD=1625AP+925BD . 故选 D.
8.B ∵ 圆 O:x+22+y2=4 , ∴ 圆心 O−2,0 ,半径 r=2 . ∵PA,PB 是圆 O 的两条切线, ∴PA⊥OA , PB⊥OB,∴ 由圆的知识可知 A,P,B,O 四点共圆,且 AB⊥OP,PA=PB ,
∴PO⋅AB=4S△PAO=4×12×PA×AO=4PA .
又 ∵PA=PO2−4,∴ 当 PO 的值最小,即 PO⊥l 时, PO⋅AB 取得最小值.
∵POmin=−2+0−35=5,∴PO⋅AB 的最小值为 4POmin2−4=452−4=4 . 故选 B.
9.AC对于 A,∵ 不等式 x2+3x+2≤0 的解集为 −2,−1,∴∃x∈R,x2+3x+2≤0 ,故 A 正确. 对于 B ,当 2x23 能推出 2x