高中数学人教A版 (2019)必修 第一册二次函数与一元二次方程、不等式当堂检测题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册二次函数与一元二次方程、不等式当堂检测题，共4页。
知识点一 一元二次不等式的概念
一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式．
知识点二 二次函数的零点
一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点.
知识点三 一元二次不等式的解集的概念
使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集．
知识点四 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.
知识点诠释：
（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；
（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；
（3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集.
知识点五 利用不等式解决实际问题的一般步骤
(1)选取合适的字母表示题中的未知数；
(2)由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；
(3)求解所列出的不等式(组)；
(4)结合题目的实际意义确定答案．
知识点六 一元二次不等式恒成立问题
(1)转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立
(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题.
知识点七 简单的分式不等式的解法
系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间”
【题型归纳目录】
题型一：解不含参数的一元二次不等式
题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇
题型三：含有参数的一元二次不等式的解法
题型四：一次分式不等式的解法
题型五：实际问题中的一元二次不等式问题
题型六：不等式的恒成立问题
【典型例题】
题型一：解不含参数的一元二次不等式
例1．（2022·浙江·高一阶段练习）不等式的解集是（ ）
A．B．
C．或D．
例2．（2022·广东·新会陈经纶中学高一期中）不等式的解集是（ ）
A．RB．C．或D．
例3．（2022·安徽省利辛县第一中学高一阶段练习）不等式的解集为（ ）
A．B．或
C．D．或
例4．（2022·新疆喀什·高一期末）解下列不等式：
(1)；
(2).
【方法技巧与总结】
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．
(2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．
(3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．
(4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．
(5)根据图象写出不等式的解集．
题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇
例5.已知关于的不等式的解集为，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
例6．（2022·四川·射洪中学高一阶段练习）已知不等式的解集为，则（ ）
A．B．C．D．
例7．（2022·湖南·怀化五中高一期中）若关于x的不等式的解集为，则实数m的值为______.
例8．已知不等式的解集是，则不等式 的解集是________.
例9．若不等式的解集是，则实数_____，_____．
【方法技巧与总结】
三个“二次”之间的关系
(1)三个“二次”中，一元二次函数是主体，讨论一元二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．
(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的一元二次函数相联系，通过一元二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：
题型三：含有参数的一元二次不等式的解法
例10．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）解关于x的不等式
例11．（2022·陕西·长安一中高一期中）已知关于x的不等式的解集为．
(1)写出a和b满足的关系；
(2)解关于x的不等式．
例12．（2022·贵州·遵义航天高级中学高一阶段练习）设函数.
(1)若，解不等式；
(2)若，解关于x的不等式
例13．（2022·陕西·西安高新第三中学高一期中）已知函数.
(1)若关于的不等式的解集为，求的值；
(2)若，解关于的不等式.
例14．（2022·北京市第五中学高一阶段练习）请回答下列问题：
(1)若关于的不等式的解集为或，求，的值.
(2)求关于的不等式的解集.
【方法技巧与总结】
解含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．
(2)判断方程根的个数：讨论判别式Δ与0的关系．
(3)写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
题型四：一次分式不等式的解法
例15．若不等式的解集为，则不等式的解集为___________.
例16．（2022·河北省博野中学高一阶段练习）不等式的解集是____________.
例17．（2022·全国·高一期末）不等式的解集为______．
例18．（2022·上海师大附中高一期中）不等式的解集是_________
例19．（2022·天津·南开翔宇学校高一期中）不等式的解集为________.
【方法技巧与总结】
分式不等式转化为整式不等式的基本类型有哪些？
（1）
（2）
（3）且
（4）且
题型五：实际问题中的一元二次不等式问题
例20．（2022·贵州黔东南·高一期末）黔东南某地有一座水库，设计最大容量为128000m3．根据预测，汛期时水库的进水量（单位：m3）与天数的关系是，水库原有水量为80000m3，若水闸开闸泄水，则每天可泄水4000m3；水库水量差最大容量23000m3时系统就会自动报警提醒，水库水量超过最大容量时，堤坝就会发生危险；如果汛期来临水库不泄洪，1天后就会出现系统自动报警．
(1)求的值；
(2)当汛期来临第一天，水库就开始泄洪，估计汛期将持续10天，问：此期间堤坝会发生危险吗？请说明理由．
例21．（2022·湖南·高一课时练习）一家汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量（辆）与创收价值（元）之间有如下关系式：．若这家制造厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内生产的摩托车数量应满足什么条件？
例22．（2022·湖北十堰·高一期中）某学校欲在广场旁的一块矩形空地上进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均种满宽度相同的鲜花.已知两块绿草坪的面积均为200平方米.
(1)若矩形草坪的长比宽至少多10米，求草坪宽的最大值；
(2)若草坪四周及中间的宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.
例23．（2022·新疆·乌苏市第一中学高一开学考试）为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化．如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（阴影部分）均种植宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为300平方米．
(1)若矩形草坪的长比宽至少多5米，求草坪宽的最大值；
(2)若草坪四周的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值．
例24．（2022·江苏·南京市第二十九中学高一期中）1.通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场. 2021年，该种玻璃售价为25欧元/平方米，销售量为80万平方米，销售收入为2000万欧元.
(1)据市场调查，若售价每提高1欧元/平方米，则销售量将减少2万平方米；要使销售收入不低于2000万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米？
(2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在2022年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入万欧元作为技术创新费用，投入500万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位/万平方米）至少达到多少时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和？并求出此时的售价.
【方法技巧与总结】
利用不等式解决实际问题需注意以下四点
(1)阅读理解材料：应用题所用语言多为文字语言，而且不少应用题文字叙述篇幅较长．阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型，这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向．
(2)建立数学模型：根据(1)中的分析，把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且，建立所得数学模型与已知数学模型的对应关系，以便确立下一步的努力方向．
(3)讨论不等关系：根据(2)中建立起来的数学模型和题目要求，讨论与结论有关的不等关系，得到有关理论参数的值．
(4)作出问题结论：根据(3)中得到的理论参数的值，结合题目要求作出问题的结论．
题型六：不等式的恒成立问题
例25．若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是____________.
例26．若关于的不等式有解，则实数a的取值范围是____________．
例27.关于的不等式在内有解，则的取值范围为________．
例28．已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是__________．
例29．若不等式在R上恒成立，则实数a的取值范围是___________．
例30．若对任意， 恒成立，则的最大值为_________．
例31．（2022·湖南·高一课时练习）设二次函数．
（1）若方程有实根，则实数的取值范围是______；
（2）若不等式的解集为，则实数的取值范围是______；
（3）若不等式的解集为R，则实数的取值范围是______．
例32．若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
例33．已知二次函数.若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【方法技巧与总结】
不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。
【同步练习】
一、单选题
1．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．或D．或
2．（2022·全国·高一课时练习）若不等式的解集是，则的值为（ ）
A．-10B．-14C．10D．14
3．已知函数的图象都在轴的上方，求实数的取值范围( )
A．B．
C．D．
4.不等式的解集为，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·湖南·高一课时练习）一元二次不等式的解集为R的一个充要条件是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·广东广州·高一期末）使不等式成立的充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
7．关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（ ）
A．B．C．或1D．或4
8．（2022·全国·高一专题练习）不等式组有解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．或
C．D．或
二、多选题
9．关于x的不等式-10(其中xZ，a)的解集中元素的个数可能有（ ）
A．个B．个C．个D．无数个
10．已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论序号是（ ）
A．B．不等式的解集为
C．不等式的解集为或D．
11．（2022·江苏·高一专题练习）已知方程及分别各有两个整数根，及，，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A．，，，
B．
C．
D．
12．（2022·浙江·金华市曙光学校高一期中）在上定义运算，若关于的不等式的解集是集合的子集，则整数的取值可以是（ ）
A．0B．1C．D．2
三、填空题
13．（2022·上海·上外附中高一期中）关于的方程的两个根为素数，则___________．
14．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高一阶段练习）不等式的解集为__________．
15．（2022·安徽·泾县中学高一开学考试）记关于x的不等式的解集为A，集合，若，则实数a的取值范围为___________.
16．（2022·上海杨浦·高一期末）设a为实数，若关于x的一元一次不等式组的解集中有且仅有4个整数，则a的取值范围是____________.
四、解答题
17．（2022·黑龙江·大庆外国语学校高一阶段练习）解不等式：
(1)
(2)
18．（2022·江苏·扬州大学附属中学高一期中）已知关于的不等式.
(1)若不等式的解集为，求；
(2)若，求不等式的解集.
19．（2022·安徽·合肥市第十中学高一期中）经过长期观测得到：在某地交通繁忙时段内，公路段汽车的车流量y(单位：千辆/h)与汽车的平均速度v(单位：km/h)之间的函数解析式为：
(1)若要求在该时间段内车流量超过9.1千辆/h，则汽车的平均速度应在什么范围内？
(2)该时段内当汽车的平均速度v为多少时车流量最大？最大车流量为多少？
20．已知关于的方程有两个不等实根.
(1)求实数的取值范围；
(2)设方程的两个实根为，且，求实数的值；
21．已知关于x的不等式的解集为或．
(1)求的值；
(2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围．
22．（2022·全国·高一课时练习）解关于的不等式：.
二次函数
（）的图象
有两相异实根
有两相等实根
无实根