海南省东方市八所中学学年高一下学期期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份海南省东方市八所中学学年高一下学期期中考试数学试题（解析版）-A4，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（满分150分 考试时间120分钟）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量，，若，则的值为（ ）
A. B. C. D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】根据垂直向量的坐标表示，可得答案.
【详解】由题意可得，解得.
故选：B.
2. 若，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】分析：由公式可得结果.
详解：
故选B.
点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题.
3. 若线段上、、三点满足，则这三点在线段上的位置关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量的线性关系得到和 是共线同向的，且进而得到答案.
【详解】根据题意得到和是共线同向的，且.
故选：A.
4. 已知，是不共线非零向量，则以下向量可以作为基底的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】由不共线的两个非零向量才可以作为基底，结合共线定理对各项逐一判断.
【详解】对于A，因为，所以与共线，不能作为基底；
对于B，设，则，解得，所以与共线，不能作为基底；
对于C，设，则，即：，此时无解，所以与不共线，可以作为基底；
对于D，设，则，即：，解得，所以与共线，不能作为基底；
故选：C.
5. 已知中，，，分别是角，，的对边，且满足，则该三角形的形状是（ ）
A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰或直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦定理将边化为角，再逆用两角差的正弦公式及三角形内角和定理求解即可.
【详解】因为，
由正弦定理可得：，
所以，
所以，
所以或，
即(舍去)或，
故直角三角形，
故选：C
6. 已知（为虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数相等的条件可求.
【详解】，而为实数，故，
故选：B.
7. 如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，，若，则（ ）
A. B. 1C. 5D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量的坐标表示求解即得.
【详解】由，，得，由，得，
因此，所以.
故选：B
8. 在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量的线性运算，建立方程组，解之即可求解.
【详解】由题可知，点在上，
，
又，
，解得.
故选：C．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知复数，为虚数单位，其共轭复数为，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 的虚部为
C. 对应的点位于复平面的第三象限D.
【答案】CD
【解析】
【分析】利用复数的模长公式可判断A选项；利用复数的概念可判断B选项；利用复数的几何意义可判断C选项；利用复数的减法可判断D选项.
【详解】因为，则.
对于A选项，，A错；
对于B选项，的虚部为，B错；
对于C选项，对应的点的坐标为，位于第三象限，C对；
对于D选项，，D对.
故选：CD.
10. 已知点，，，则下列结论正确的是（ ）
A. 是直角三角形
B. 若点，则四边形是平行四边形
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据向量垂直、平行的坐标表示，线性运算的坐标表示求解后判断各选项．
【详解】，，所以，，是直角三角形，A正确.
若点，则,，四边形是平行四边形，B正确.
若，则，C错误.
若，则是中点，，D正确.
故选：ABD．
11. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. 是函数的一条对称轴D. 是函数的对称中心
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据函数图象知：、、为对称轴、是函数的一个对称中心，结合余弦函数的性质即可判断各选项的正误.
详解】由图知：，即，而，可得，A正确；
且，可得，B错误；
为对称轴，C正确；
由是函数的一个对称中心，则是函数的对称中心，D正确；
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再判断其虚部.
【详解】因为，
所以复数的虚部为.
故答案为：
13. 已知，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用两角和的正切公式即可求解.
【详解】因为，
所以．
14. 记内角，，的对边分别为，，，若，，，则外接圆的面积为________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据给定条件，利用余弦定理求出边，再利用正弦定理求出三角形外接圆半径即可求解.
【详解】依题意，，得，
设外接圆的半径为，所以外接圆的面积为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，．
（1）求与的坐标；
（2）求向量，的夹角的余弦值．
【答案】（1），．
（2）
【解析】
【分析】（1）利用平面向量线性运算的坐标表示运算；
（2）利用平面向量夹角的坐标表示运算.
【小问1详解】
，．
【小问2详解】
，，，
,．
16. 在中，，，．
（1）求；
（2）求边上的高．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理求得，由此求得.
（2）利用余弦定理求的，结合面积法求得边上的高.
【小问1详解】
由正弦定理得，
由于，所以是锐角，所以
【小问2详解】
由余弦定理得，
，
，
解得或，
设边上的高为，
则，
所以，或.
17. 已知向量=（3，4），=（1，2），=（－2，－2）．
（1）求||，||的值；
（2）若=m+n，求实数m，n的值；
（3）若（+）∥ （－+ k），求实数k的值．
【答案】（1）||=5；；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用向量的模长的坐标公式即得；
（2）利用向量的线性坐标表示即得；
（3）利用向量平行的坐标表示即求.
【小问1详解】
∵向量=（3，4），=（1，2），
∴||=5，；
【小问2详解】
∵=（3，4），=（1，2），=（－2，－2），=m+n，
∴（3，4）=m（1，2）+n（－2，－2） =（m－2n，2m －2n），
所以，
得；
【小问3详解】
∵（+）∥(－+ k)，
又－+k=(－1－2k，－2－2k )，+=（4，6），
∴6 (－1－2k)=4 (－2－2k),
解得，
故实数k的值为.
18. 海军某舰队在一未知海域向正西方向行驶（如图），在A处测得北侧一岛屿的顶端D的底部C在西偏北的方向上，行驶4千米到达B处后，测得该岛屿的顶端D的底部C在西偏北方向上，山顶D的仰角为，求此岛屿露出海平面的部分CD的高度.
【答案】千米
【解析】
【分析】先在中，根据已知角度求出，再利用正弦定理求出BC的长度，最后在直角三角形中，根据正切函数求出岛屿露出海平面部分CD的高度.
【详解】已知舰队从处行驶到处，在处测得在西偏北方向上，
在处测得在西偏北方向上，所以，.
根据三角形内角和为，可得.
在中，已知千米，，，
由正弦定理可得：（千米）.
在中，因为测得山顶的仰角为，即，且.
所以（千米）.
则岛屿露出海平面的部分CD的高度为千米.
19. 已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）设a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知，，且，求的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再根据正弦函数单调性结合整体思想即可得出答案；
（2）根据，求得角，再根据，求得，最后利用余弦定理即可得出答案.
【小问1详解】
解：，
令，得，
∴的单调递增区间为；
【小问2详解】
解：由，得，
∵，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴，
由余弦定理得，
∴，
∴的周长为．