海南省海口市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份海南省海口市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．，，，，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知向量，，若，则（ ）
A．1B．2C．D．
4．已知函数，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．已知角终边过点，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知四边形为矩形，，，是的中点，则（ ）
A．B．C．3D．7
7．若点是两条相交直线，外的任意一点，则过点有且只有一条直线与直线，都（ ）
A．平行B．相交C．异面D．垂直
8．已知定义在实数集上的函数满足：，，且．下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数B．在区间上单调递减
C．的周期为3D．
二、多选题
9．在一次对甲、乙两个工厂生产的相同数量的零件质量（单位：克）统计中，得到如下表：
其中，根据统计数据，下列结论中正确的是（ ）
A．甲厂生产的零件质量稳定性优于乙厂
B．甲厂生产零件质量的极差可能小于乙厂
C．甲、乙两厂生产的零件中61克出现的次数相同
D．甲厂生产的零件中质量大于63克的数量多于乙厂
10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．函数的图象关于点中心对称
D．将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数为奇函数
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为
B．函数是奇函数
C．函数是增函数
D．若，则
三、填空题
12．已知复数，则 ．
13．某科研团队研究某种放射性物质的衰减规律，发现剩余质量（单位：克）随时间（单位：天）的变化规律满足，其中为初始质量．若初始质量满足，则时，的值为 ．
14．已知四边形为矩形，，，将沿折起，连接，得到三棱锥，则三棱锥外接球的表面积为 ；当三棱锥的体积最大时，其内切球的半径为 ．
四、解答题
15．在中，，，分别为角，，的对边，且．
(1)求角；
(2)若的面积为，，求边上的高的长．
16．如图，在四棱锥中，底面为菱形，是的中点，，，．
(1)求证：∥平面；
(2)求三棱锥的体积．
17．2025年海口市某中学举办校园诗词大赛，评委对参赛选手的表现进行打分．现随机抽取了40名选手的成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示频率分布直方图．
(1)求的值；
(2)估计这40名选手成绩的平均数和第95百分位数（同组中数据用该组区间中点值作代表）；
(3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人．若第二组选手成绩的平均数和方差分别为65和30，第五组选手成绩的平均数和方差分别为95和40，请据此估计第二组和第五组所有选手成绩的方差．
（附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，，记两组数据总体样本平均数为，总体样本方差为，则总体样本平均数，总体样本方差．）
18．已知函数．
(1)求函数的单调递减区间；
(2)当时，函数有两个不同零点，求的取值范围；
(3)设函数，若对任意的，都有，求的取值范围．
19．双曲函数是工程数学中一类重要的函数，也是一类最重要的初等函数，在数学与物理等众多领域有着丰富的实际应用．其中双曲正弦函数解析式为，双曲余弦函数解析式为，双曲正切函数．
(1)判断函数的单调性并说明（无需严格证明），并求其值域；
(2)求函数的最小值；
(3)，比较与的大小．
1．C
由集合的并集运算即可求解.
【详解】由合，，
所以，故C正确.
故选：C.
2．A
利用不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】充分性：因为且，由不等式的性质可得，充分性成立；
必要性：取，，，，则成立，且，但”不成立，必要性不成立.
因此，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3．B
由得，根据平面向量数量积坐标运算即可求解.
【详解】由题意有，
故选：B.
4．C
根据分段函数先求，进而即可求.
【详解】由题意有，所以，
故选：C.
5．B
利用三角函数的定义求出、的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值.
【详解】由三角函数的定义可得，，
由两角差的正弦公式可得.
故选：B.
6．A
建立平面直角坐标系，再利用坐标表示向量的数量积，从而可求解.
【详解】由题，以点为坐标原点，分别以，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
则，，，，
则，，则，故A正确；
故选：A.
7．D
由题可知两条相交直线，可唯一确定一平面，再利用平面垂线知识即可求解.
【详解】由题意可知两条相交直线，可唯一确定一平面，因点是两条相交直线，外的任意一点，则可得过点与平面垂直的垂线只有一条，从而可得只有一条直线与直线，都垂直，故D正确.
故选：D.
8．D
根据给定条件，利用赋值法逐项分析判断.
【详解】对于A，令，得，则，
令，得，函数是偶函数，A错误；
对于B，令，得，而，则函数在上不是单调递减函数，B错误；
对于C，令，得，则，
令，，得，则，，C错误；
对于D，由为偶函数，得，D正确.
故选：D
9．AB
根据平均数，中位数，众数和方差的定义逐一验证即可求解.
【详解】根据表格有，所以甲厂生产的零件质量稳定性优于乙厂，故A正确；
根据平均数，中位数和众数不能判断极差，而，所以甲厂生产零件质量的极差可能小于乙厂，故B正确；
根据众数的定义可知，众数是出现次数最多的，不能判断甲、乙两厂生产的零件中61克出现的次数相同，故C错误；
由于甲乙两厂的平均质量为63克，不能判断甲厂生产的零件中质量大于63克的数量多于乙厂，故D错误.
故选：AB.
10．BCD
根据图像先求，进而得即可判断AB，计算是否为0即可判断C，根据图像的变换得即可判断D.
【详解】由图可知，，所以，故A错误；
由，由，解得，故B正确；
所以，又，故C正确；
将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数，又为奇函数，故D正确.
故选：BCD.
11．ABD
对于A求即可判断，对于B根据函数的奇偶性即可判断，对于C利用复合函数的单调性即可判断，对于D利用奇偶性和单调性即可求解.
【详解】对于A：由，所以的定义域为，故A正确；
对于B：由A得的定义域为，又，所以是奇函数，故B正确；
对于C：令，所以，由在上单调递减，在单调递增，
根据复合函数单调性得在是减函数，故C错误；
对于D：由是奇函数且在是减函数，由得，
所以，故D正确.
故选：ABD.
12．
根据复数的除法运算先求，即可求.
【详解】由题意有，所以，
故答案为：.
13．
由题意可得，再结合对数的运算即可求解.
【详解】由题意可得当时，，
所以.
故答案为：.
14．
空：取中点，由几何知识可得，则为外接球的球心，从而可求解；空：过作于，然后再利用等体积法即可求解.
【详解】空：取中点，则，所以为外接球的球心，
所以外接球的半径为，由球的表面积公式.
（2）当三棱锥的体积最大时，平面垂直于平面，用等体积的方法求该三棱锥内切球的半径，
即过作于，则面，
在中可解，，，
在中，由，由余弦定理可得解得，
在中用勾股定理得，
因为，，
代入公式
即，解得.
故答案为：；.
15．(1)
(2)
（1）根据正弦定理边角互化即可求解，
（2）根据面积公式可得，进而根据余弦定理可求解，即可根据面积公式求解.
【详解】（1）由结合正弦定理可得
因为，则
所以．
则有故．
（2）由得
因，所以
由余弦定理得
所以，解得
所以
．
16．(1)证明见解析
(2)
（1）连接交于，且连接，即证，利用线面平行的判断定理即可求解；
（2）先求点到平面的距离，再求底面面积，根据三棱锥的体积公式即可求解.
【详解】（1）连接交于，且连接，则为的中点．
因为是的中点，所以为的中位线，所以，
又因为面，面，所以面
（2）因为，为的中点，所以，
又因为，所以，
因为，面，，所以面，
菱形中，，，所以，所以，
因为为的中点，所以点到面的距离为
又
所以
所以三棱锥的体积为．
17．(1)
(2)平均数为77，第95百分位数为95分
(3)
（1）由各组的频率和为1列方程即可求解；
（2）根据平均数和百分位数的定义求解即可；
（3）先根据频率分布直方图求出第二组、第五组的频数，然后根据所给的平均值、方差公式求解即可.
【详解】（1）因为，所以；
（2）40名选手成绩的平均数为，
因为前4组的频率和为，
前5组的频率和为，
所以第95百分位数位于内，设其为，
则，解得，
即第95百分位数为95分．
（3）设第二组、第五组选手成绩的平均数、方差分别为，，，，
且从第二组选取的人数为，从第五组选取的人数为，
则第二组和第五组所有选手的成绩平均数为，
第二组和第五组所有选手成绩的方差为
，
所以第二组和第五组所有选手成绩的方差为．
18．(1)
(2)
(3)
（1）根据三角恒等变换先化简，即可求的单调减区间；
（2）由，得，作出函数图像，利用数形结合即可求解；
（3）由得，令，得，利用基本不等式即可求解.
【详解】（1）由题意有
，
若为单调递减函数，有，
解得，
所以的减区间为，
（2）因为，所以
令得，由图可知，所以．
（3）由得恒成立
令，得，由（2）可知时，取最小值为；时，取最大值为1．所以．
因为，当且仅当，即时等号成立．
所以，即．
19．(1)在上单调递增，说明见解析，值域为
(2)0
(3)
（1）根据题意有，化简得，由的单调性即可得的单调性，进而分析得的值域；
（2）先计算，即可得，利用均值不等式求的范围，即可得的最小值；
（3）设，当时，分析与的大小，进而得与的大小，即可得与0的大小，即可求解.
【详解】（1）由题意可知
故的定义域为
又
且在上单调递减
从而可知在上单调递增．
因为，所以，即，
所以的值域为．
（2）因为
所以，
又因为，
当且仅当，即时，等号成立
所以当时，．
（3）设
，
因为，所以，
当时，，则，故，
当时，，则，则，故，
综上，，.工厂
平均质量
中位数
众数
方差
甲厂
63
63
61
乙厂
63
62
61
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
B
C
B
A
D
D
AB
BCD
题号
11









答案
ABD