海南省儋州某校学年高一下学期第一次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份海南省儋州某校学年高一下学期第一次月考数学试题（解析版）-A4，共8页。
注意事项：
1．答题前在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息；
2．请将答案正确填写在答题卡上，答题卡密封线内不准答题.
一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.）
1. 已知向量，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量线性运算的坐标表示，可得答案.
【详解】由题意可得.
故选：C.
2. 若均为第二象限角，满足，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由同角三角函数的基本关系求出，再代入两角差的余弦公式计算，即可得出答案.
【详解】因为均为第二象限角，满足，，
所以，
所以.
故选：D.
3. 已知，则为第二象限角，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意，根据诱导公式，求得正切值，利用正切函数的二倍角公式，可得答案.
【详解】由题意可得，，，故.
故选：D.
4. 是平面内不共线两向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（ ）．
A. 3B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由A，B，D三点共线，则存在实数，使，用表示后，由向量相等可得．
【详解】因为，，，
则，
又A，B，D三点共线，
故存在实数，使，即，
则，解得．
故选：A．
5. 在中，角A，B，C的对边为a，b，c，若，，B＝60°，则A=（ ）
A. 45°B. 45°或135°C. 30°D. 90°
【答案】A
【解析】
【分析】根据正弦定理，结合三角形边角关系，可得答案.
【详解】正弦定理，，且，.
故选：A．
6. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象在以下哪个区间单调递增（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可.
【详解】由函数图象平移变换的性质可知，向右平移个单位长度之后的解析式为：
，
则函数单调递增区间满足：，
即，
令可得一个单调递增区间为，则C选项符合.
故选：C.
7. 扇子最早称“翣”，其功能并不是纳凉，而是礼仪器具，后用于纳凉､娱乐､欣赏等.扇文化是中国传统文化的重要门类，扇子的美学也随之融入到建筑等艺术审美之中.图1为一古代扇形窗子，此窗子所在扇形的半径（图2），圆心角为，且为的中点，则该扇形窗子的面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据扇形面积公式进行求解即可.
【详解】因为为的中点，所以化成弧度为，所以此扇形窗子的面积为
故选：B
8. 如图所示，正方形的边长为2，点，，分别是边，，的中点，点是线段上的动点，则的最小值为（ ）

A B. 3C. D. 48
【答案】A
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，设，，（），即可得到、，根据数量积的坐标表示得到，再结合二次函数的性质计算可得.
详解】如图建立平面直角坐标系，则、、、，
设，，（），则，
所以，
所以，即，
所以，，
所以
，
又，所以当时取得最小值为.

故选：A
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 对任意向量，，都有
B. 对任意非零向量，，都有
C. 若向量，满足，则
D. 若非零向量，满足，则
【答案】AC
【解析】
【分析】根据数量积定义和三角函数有界性可判断A；由向量三角不等式等号成立条件可判断B；根据向量垂直的充要条件推导可判断C；根据已知比较可判断D.
【详解】设，
因为，所以，A正确；
当向量，同向时，，B错误；
若，则，即，所以，C正确；
若非零向量，满足，则，所以，
又，所以，即，D错误.
故选：AC
10. 已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. 函数的周期为B. 是函数的一个对称中心
C. 函数在区间上单调递增D. 方程的解为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据正切函数的性质逐一判断即可.
【详解】对于A，函数函数的周期，故A正确；
对于B，因为，
所以是函数的一个对称中心，故B正确；
对于C，由，得，所以函数在内无间断点且单调递增，故C正确；
对于D，由，可得，所以，
解得，故D错误.
故选：ABC.
11. 对于函数（），下列说法正确的是（ ）
A. 当时，函数在上有且只有一个零点
B. 若函数在单调递增，则的取值范围为
C. 若函数在时取最小值，在时取最大值，且，则
D. 将函数图象向左平移个单位得到的图象，若为偶函数，则的最小值为2
【答案】ABD
【解析】
【分析】由正弦函数的单调性可得A、B正确；由正弦函数的周期和诱导公式可得C错误；由图象平移结合偶函数的性质可得D正确.
【详解】对于A，当时，，
令，则，
当，为正弦函数的递减区间，此时，
所以有解，且只有一个零点，故A正确；
对于B，，
因为单调递增，所以，解得，
又，所以，故B正确；
对于C，由题可得，所以，故，此时，
令，则，
故，所以，故C错误；
对于D，，
若为偶函数，则，解得，
所以当时，的最小值为2，故D正确；
故选：ABD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据同角三角函数基本关系将弦化切，再代入计算可得.
【详解】因为，
则.
故答案为：.
13. 已知向量，.则在上的投影向量的坐标为______；
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解.
【详解】由向量，，
则在上的投影向量的坐标为.
故答案为：
14. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角的得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为______；
【答案】
【解析】
【分析】求得，把点绕点沿顺时针方向旋转（即按逆时针方向旋转）后得到点，由定义求得，进而可求得点的坐标.
【详解】由题意得，把点绕点沿顺时针方向旋转（即按逆时针方向旋转）后得到点，
则，又，设，
则，解得，，即点的坐标为.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）
15. 已知的夹角为，
（1）求的值；
（2）当为何值时，.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量的数量积公式及向量的模公式即可求解；
（2）根据（1）的结论及向量垂直则数量积为0，即可求解.
【小问1详解】
因为的夹角为，
所以，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，，
因为，
所以，即，
所以，解得.
所以当时，.
16. 在中，角所对的边分别为已知，，角.
（1）求边的长度，求的面积；
（2）若点是的中点，求中线的长度.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）在中，由余弦定理求出，利用三角形的面积公式求出的面积；
（2）设，在和中，分别用余弦定理表示出，则可得到关于的方程，解出，即可得到中线的长度.
【小问1详解】
在中，，，角，
由余弦定理得，
，
.
小问2详解】
因为点是的中点，由（1）知，则，
设，又，
在中，由余弦定理，，
在中，由余弦定理，，
则，
解得，所以.
17. 已知在中，是边的中点，且，设与交于点，记.
（1）用表示向量；
（2）若，且，求的余弦值.
【答案】（1），
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据向量的线性运算结合平面向量基本定理即可求解；
（2）由得，结合及数量积的定义即可求解.
【小问1详解】
，
所以，
.
【小问2详解】
因为，所以，即，
所以，
所以，即的余弦值为.
18. 已知向量，函数图象相邻两条对称轴之间的距离为.
（1）求的解析式；
（2）若且，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）由题知，根据向量数量积运算求得，化简，由条件求得参数，从而写出解析式.
（2）由得，根据角的范围求得，从而有，求得结果.
【详解】（1）由题知，
，
又函数相邻两条对称轴之间的距离为.即，
则，
（2）由题知，，
则，又，则，
当时，，而，
因此，此时
则
19. 已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式：
（2）将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．
①当时，求函数的值域；
②若方程在上有三个不相等的实数根，求的值．
【答案】（1）；
（2）①；②.
【解析】
【分析】（1）由图象得A、B、，再代入点，求解可得函数的解析式；
（2）①由已知得，由求得，继而求得函数的值域；
②令，，做出函数的图象，设有三个不同的实数根，有，，继而得，由此可得答案.
【小问1详解】
解：由图示得：，
又，所以，所以，所以，
又因为过点，所以，即，
所以，解得，又，所以，
所以；
【小问2详解】
解①：由已知得，当时，，
所以，所以，所以，
所以函数的值域为；
②当时，，令，则，
令，则函数的图象如下图所示，且，，，
由图象得有三个不同的实数根，则，，
所以，即，
所以，所以，
故.