2024-2025学年海南省三亚市高一下册第一次月考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年海南省三亚市高一下册第一次月考数学检测试题（附解析），共15页。试卷主要包含了 设，则“”是“” 的， 已知，则＝， 已知函数为偶函数，当时，，则， 函数的增区间为， 已知函数，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 若，则终边在（ ）
A. 第二或第三象限B. 第一或第三象限
C. 第二或第四象限D. 第三或第四象限
【正确答案】B
【分析】分k为奇数和偶数讨论可得.
【详解】当k为奇数时，记，则，此时为第三象限角；当k为偶数时，记，则，此时为第一象限角.
故选：B
2. 设函数，，则
A. -1B. 1C. -2D. 不存在
【正确答案】D
【分析】直接带入至发现分母中的根号下为负数．
【详解】在实数域内不成立，故不存在，故选D．
根号下不能为负数，分母不能为0．
3. 设，则“”是“” 的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【详解】分析：求解三次不等式和绝对值不等式，据此即可确定两条件的充分性和必要性是否成立即可.
详解：求解不等式可得，
求解绝对值不等式可得或，
据此可知：“”是“” 的充分而不必要条件.
本题选择A选项.
点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4. 已知，则＝（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】由题意利用诱导公式，求得要求式子的值．
【详解】∵，
则，
故选：B．
5. 已知函数在区间内有唯一零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】分离参数，求得函数在区间上的值域，即可容易判断.
【详解】因为函数在区间内有唯一零点，
故在区间上只有一个根.
又在上单调递减，其值域为.
故要满足题意，只需.
故选：D.
本题考查由函数零点的范围求参数范围，属基础题.
6. 已知函数为偶函数，当时，，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【正确答案】B
【分析】根据偶函数的性质，结合对数性质求解即可.
【详解】由为偶函数可知．
故选：B.
7. 若函数的图象向右平移个长度单位后关于点对称，则在上的最小值为（ ）
A. 1B. C. D.
【正确答案】C
【分析】由图像平移过程写出平移后的解析式，利用正弦函数的对称性求参数，最后由正弦型函数的单调性求区间最小值即可.
【详解】将向右平移个长度单位后，得到，
∵关于对称，
∴，
∴，即，
又，则，即，
由知：，则，
∴在上的最小值为.
故选：C.
8. 函数的增区间为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】由函数解析式求得其定义域，根据二次函数与对数函数的单调性，结合复合函数的单调性，可得答案.
【详解】由，则，分解因式可得，
解得，所以函数的定义域为，
由函数在上单调递增，在上单调递减，
且函数在上单调递减，
则函数的增区间为.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】ABD
【分析】由基本不等式与重要不等式，结合反例以及“1”的妙用，可得答案.
【详解】对于A，因为，，所以，当且仅当时，等号成立，故A正确.
对于B，因为，所以，即，所以，故B正确.
对于C，当时，，故C错误.
对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确，
故选：ABD.
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期是
B. 函数在区间上是增函数
C. 直线是函数图象的一条对称轴
D. 函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位长度而得到
【正确答案】ACD
【分析】利用正弦型函数的周期公式可判断A正确，再由正弦型函数的单调性可判断B错误，结合正弦型函数的对称性利用检验法代入计算可判断C正确，由三角函数图象的变换规则可得D正确.
【详解】对于A，易知函数的最小正周期是，可得A正确；
对于B，当时，，易知上不单调，
所以函数在区间上不单调，即B错误；
对于C，因为，
因此直线是函数图象的一条对称轴，即C正确；
对于D，将的图象向左平移个单位长度可得，因此D正确.
故选：ACD
11. 若定义在上的函数满足为奇函数，且对任意，，都有，则下列说法正确的是（ ）
A. 的图象关于点对称
B. 在上是增函数
C.
D. 关于x的不等式的解集为
【正确答案】BCD
【分析】由已知结合函数的对称性及单调性检验各选项即可求解.
【详解】若定义在上的函数满足为奇函数，
则的图象关于对称，即，A错误，C正确；
因为对任意，，都有，
所以在上单调递增，
根据函数的对称性可知，在上单调递增，B正确；
由可得，D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知平面向量，满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为__________.
【正确答案】
【分析】根据条件，利用投影向量的定义得到，再利用向量夹角公式，即可求解.
【详解】因在上的投影向量为，即，
则，又，则得，
所以，
又，故向量与向量夹角为，
故答案为.
13. 求值_________．
【正确答案】##
【分析】先用同角三角函数基本关系切化弦，同角正余弦平方和化为1，再利用倍角公式，化为可以求值的角的三角函数.
【详解】 ，
故答案为.
14. 已知则__________.
【正确答案】1
【分析】根据对数的运算性质及换底公式计算可得结果.
【详解】由题意得，，
∴.
故1.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在五边形中，四边形是平行四边形，且，，，试用，，分别表示，，，及．
【正确答案】答案见解析
【分析】根据向量的加法法则结合几何图形，即可求出结果.
【详解】，
，，
因为四边形为平行四边形，
所以,
.
综上，，，，及.
16. 已知函数部分图象如图所示.
（1）求的单调递增区间；
（2）已知，求的值.
【正确答案】（1），
（2）
【分析】（1）由部分图象可得A，可得函数的最小正周期T，利用周期公式可求，又，结合，可得的值，可求函数解析式，利用正弦函数的单调性即可求解；
（2）由题意可得，利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而利用两角差的正弦公式即可求解．
【小问1详解】
由函数部分图象可得，
可得函数的最小正周期，
所以，
可得，
又，可得，，
又，可得时，，
所以，
令，，解得，，
可得的单调递增区间为，；
【小问2详解】
由于，可得，
所以当的终边在第一象限时，，
所以；
当的终边在第二象限时，，
所以.
17. 已知函数，其中．
（1）求函数的最小正周期；
（2）将函数图象向右平移个单位后，得到函数的图象，求函数的零点．
【正确答案】（1）．
（2），或，．
【分析】（1）利用二倍角的正、余弦公式将原式化简为的形式，则周期可求；
（2）由图象平移得，令，结合三角函数的性质求零点即可.
【小问1详解】
，
可得函数的最小正周期．
【小问2详解】
将函数图象向右平移个单位后，
得到函数的图象，
令，可得，
可得，或，，
解得，或，，
所以函数的零点为：，或，．
18. 已知函数是奇函数.
（1）求实数的值；
（2）证明：函数在上增函数；
（3）若实数满足不等式，求的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【分析】（1）利用奇函数过原点求参数，再检验是否满足奇函数即可；
（2）利用定义法来证明函数的单调性；
（3）利用定义在区间上的奇函数和单调递增，来解不等式即可.
【小问1详解】
因为是定义在上是奇函数，
，解得.
此时，所以函数为奇函数.
所以.
【小问2详解】
证明：设是区间上任意两个实数，且，
则
因为，所以，
，
是区间上的增函数.
【小问3详解】
因为是区间上的增函数且是奇函数，
由满足，
所以有，
解得：，即的范围是.
19. 已知函数.
（1）当时，求在区间上的最小值；
（2）若，总存在，使得，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用换元法，结合对勾函数、指数函数的性质即可求得在区间上的最小值.
（2）先求得的最大值和最小值，对进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围.
【小问1详解】
当时，，
令，则由，可知的取值范围为，
故原函数可化为，
由对勾函数性质，可知在上单调递增，
因此在时取到最小值，此时，
所以当时，在上取到最小值.
【小问2详解】
依题意，
故当时，.
因为，总存在，使得，
设在上取值的集合为集合，则有.
当时，显然有在区间上单调递增，
此时，
由可知，解得
当时，由基本不等式，当且仅当时等号成立，
因此有，即，
因为时，，故时，在上单调递增，
此时，
由此可得无解，
综上，实数的取值范围为.
方法点睛：对于二次函数，可以根据二次函数的对称轴、开口方向、给定区间来求得最大值和最小值.对于含参数的最值问题，要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏，全面分析各种情况.