高中物理人教版二轮复习专题学案——带电粒子在等效重力场中的运动

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1．等效重力法
把电场力和重力合成一个等效力，称为等效重力。如图所示，则为等效重力场中的“重力”，g′＝为等效重力场中的“等效重力加速度”；的方向等效为“重力”的方向，即在等效重力场中的“竖直向下”方向。
2．问题分析
3．方法应用
二．典例精讲
1．电场线竖直时的等效重力法
例题1 （2024·河北卷）如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L的绝缘细线系住一带电小球，在竖直平面内绕O点做圆周运动。图中A、B为圆周上的两点，A点为最低点，B点与O点等高。当小球运动到A点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为q（q＞0），质量为m，A、B两点间的电势差为U，重力加速度大小为g，求：
（1）电场强度E的大小；
（2）小球在A、B两点的速度大小。
【答案】（1） （2）
【解析】（1）根据匀强电场中电场强度与电势差的关系，可得电场强度E＝。
（2）小球做圆周运动，在A点有qE－mg＝，解得vA＝
对小球从A到B的过程，根据动能定理有－mgL＋qU＝
解得vB＝。
2．电场线水平时的等效重力法
例题2 （多选）如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一质量为m、电荷量大小为q的带电小球。小球静止时细线与竖直方向成θ角，此时让小球获得一个与线垂直的初速度，小球能绕O点在与电场平行的竖直平面内做圆周运动，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．匀强电场的电场强度大小E＝
B．运动过程中小球动能的最小值可以为Ek＝
C．小球能完成圆周运动，小球运动一周的过程中，机械能的最大值与最小值之间的差值为2mgLsin θ
D．小球从初始位置开始，在竖直平面内能完成圆周运动，初速度最小为
【答案】ABD
【题图剖析】
【解析】小球静止时细线与竖直方向成θ角，由平衡条件知电场力水平向右，与场强方向相反，根据平衡条件得＝tan θ，解得E＝，A正确；当小球恰能绕O点在竖直面内做圆周运动时，在等效最高点A点速度最小，重力与电场力合力F＝，解得v＝，则运动过程中小球动能的最小值为Ek＝，B正确；小球运动一周的过程中，机械能的最大值与最小值之间的差值为ΔE＝Eq·2L＝2mgLtan θ，C错误；小球从初始位置开始，在竖直平面内恰能完成圆周运动，则有mg·2Lcs θ＋qE·2Lsin θ＝－Ek，联立解得v′＝，D正确。故选ABD。
三．跟踪训练
1．（多选）（2025·湖北随州·模拟题）如图所示，带电小球用绝缘细线悬挂在O点，在竖直平面内做完整的变速圆周运动，小球运动到最高点时，细线受到的拉力最大。已知小球运动空间存在竖直向下的匀强电场，电场强度为E，小球质量为m，带电量为q，细线长为l，重力加速度为g，则（ ）
A．小球带正电
B．电场力大于重力
C．小球运动到最低点时速度最大
D．小球运动过程最小速度至少为v＝
【答案】BD
【解析】AB．因为小球运动到最高点时，细线受到的拉力最大，可知重力和电场力的合力（等效重力）方向向上，则电场力方向向上，且电场力大于重力，小球带负电，故A错误，B正确；
C．因重力和电场力的合力方向向上，可知小球运动到最高点时速度最大，故C错误；
D．由于等效重力竖直向上，所以小球运动到最低点时速度最小，最小速度满足qE－mg＝，即v＝，故D正确；
故选：BD。
2．（多选）（2022·全国·历年真题）地面上方某区域存在方向水平向右的匀强电场，将一带正电荷的小球自电场中P点水平向左射出。小球所受的重力和电场力的大小相等，重力势能和电势能的零点均取在P点。则射出后，（ ）
A．小球的动能最小时，其电势能最大
B．小球的动能等于初始动能时，其电势能最大
C．小球速度的水平分量和竖直分量大小相等时，其动能最大
D．从射出时刻到小球速度的水平分量为零时，重力做的功等于小球电势能的增加量
【答案】BD
【解析】根据qE＝mg、E水平向右可知，带正电荷q的小球所受合力F斜向右下方，且与水平方向夹角为45°；小球在P点的初速度v0水平向左，可画出小球在匀强电场中做类斜抛运动的轨迹如图，其中O为轨迹等效最高点，N为轨迹上与P“等高”的点。
根据类斜抛运动的规律及对称性可知，小球经过O点速度与F垂直时，速度最小，动能最小，经过N点时，速度大小为v0，动能等于初动能，且经过N点的速度竖直向下。根据Ep＝qφ，以及沿电场线方向电势降低，结合上述分析可知，小球经过O点动能最小时，电势能不是最大，小球经过N点动能等于初动能时，电势能最大，A错误，B正确。分析可知，小球速度的水平分量和竖直分量大小相等时，恰好经过O点，此时动能最小，C错误。小球速度的水平分量为零时，经过N点，从P到N的过程，根据动能定理有WG＋WE＝，根据功能关系，此过程电势能增加量ΔEp＝－WE，则此过程WG＝ΔEp，D正确。故选：BD。
3．（2024·重庆·联考题）如图所示，竖直平面内有一个半径为R的光滑圆轨道，圆心为O，AB为水平直径，CD为竖直直径，空间还存在水平向左的匀强电场。将质量为m，带电量为＋q的带电小球从A点自轨道内侧由静止释放，当小球运动到E点时速度达到最大。 已知∠DOE＝37°，重力加速度为g，小球可视为质点。求：
（1）电场强度的大小；
（2）小球运动过程中受到的轨道的最大支持力；
（3）若在A点给小球一个切线方向的初速度，要保证小球在运动过程中不脱离轨道，则初速度的取值范围。
【答案】解：（1）小球运动到E点时速度达到最大，即在E点动能最大，
则电场力和重力的合力即等效重力的方向沿OE方向，＝tan 37°，则E＝；
（2）在E点小球所受支持力最大，等效重力F＝，
从A点到E点，根据动能定理可得：FR(1－sin 37°)＝，
联立可得：vm＝，
则在E点，根据牛顿第二定律有N－F＝，联立可得：N＝；
（3）在A点给小球一个切线方向的初速度，如果初速度较小，则不能做完整的圆周运动，最多运动到与圆心等效水平高度的G点速度变为0，如图所示，
则从A点到G点，根据动能定理可得：0－＝－FRsin 37°，联立可得：v1＝；
如果初速度较大，则能做完整的圆周运动，则运动到F点时刚好等效重力提供向心力，
在F点根据牛顿第二定律有F＝，联立可得：v2＝，
则从A点到F点，根据动能定理可得：＝－FR(1＋sin 37°)，
联立可得：v3＝，则初速度范围为v≤或者v≥。