物理二轮复习专题学案——滑块与曲面体的碰撞问题

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1．模型图示（这两个模型本质上是一样的）

2．模型特点
（1）最高点：m1与m2具有共同水平速度v共，m1不会从此处或提前偏离轨道。系统水平方向动量守恒，m1v0＝(m2＋m1)v共；系统机械能守恒，，其中h为滑块上升的最大高度，不一定等于圆弧轨道的高度（完全非弹性碰撞拓展模型）。
（2）最低点：m1与m2分离点。水平方向动量守恒，m1v0＝m1v1＋m2v2；系统机械能守恒，＝（完全弹性碰撞拓展模型）。
二．典例精讲
1．滑块碰撞曲面模型
例题1 如图所示，在光滑的水平地面上，静置一质量为m的四分之一圆弧滑块，圆弧半径为R，一质量也为m的小球，以水平速度v0自滑块的左端A处滑上滑块，当二者共速时，小球刚好到达圆弧上端B。若将小球的初速度增大为2v0，则小球能达到距B点的最大高度为（ ）
A．R B．1.5R C．3R D．4R
【答案】C
【解析】当小球上升到圆弧的上端时，小球与滑块速度相同，设为v1，
以小球的初速度v0方向为正方向，在水平方向上，由动量守恒定律得mv0＝2mv1
由机械能守恒定律得，代入数据解得
若小球以2v0冲上滑块，当小球上升到圆弧的上端时，小球与滑块速度相同，设为v2，
以小球的初速度方向为正方向，在水平方向上，由动量守恒定律得2mv0＝2mv2
由机械能守恒定律得，解得
小球离开圆弧后做斜抛运动，竖直方向做减速运动，则
故距B点的最大高度为3R。
故选C。
2．滑块与曲面（弧形）长板碰撞模型
例题2 一质量为2m的物体P静止于光滑水平地面上，其截面如图所示。图中ab为粗糙的水平面，长度为L；bc为一光滑斜面，斜面和水平面通过与ab和bc均相切的长度可忽略的光滑圆弧连接。现有一质量为m的木块以大小为v0的水平初速度从a点向左运动，在斜面上上升的最大高度为h，返回后在到达a点前与物体P相对静止。重力加速度为g。求：
（i）木块在ab段受到的摩擦力f；
（ii）木块最后距a点的距离s。
【答案】（1）；（2）
【解析】（i）设木块和物体P共同速度为v，两物体从开始到第一次到达共同速度过程由动量和能量守恒得：mv0＝(m＋2m)v，，得
（ii）设木块最后离a端距离s，木块返回与物体P第二次达到共同速度与第一次相同（动量守恒）全过程能量守恒得，得
3．悬绳挂物摆动模型
例题3 如图所示，在固定的水平杆上，套有质量为m的光滑圆环，一轻绳一端系在环上，另一端系着质量为M的木块，现有一质量为m0的子弹以大小为v0的水平速度射入木块并留在木块中，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．子弹射入木块后的瞬间，速度大小为
B．子弹射入木块后的瞬间，绳子拉力等于(M＋m0)g
C．子弹射入木块后的瞬间，环对轻杆的压力大于(M＋m＋m0)g
D．子弹射入木块之后，圆环、木块和子弹构成的系统动量守恒
【答案】C
【解析】子弹射入木块时，子弹和木块组成的系统动量守恒，则m0v0＝(M＋m0)v1，解得子弹射入木块后的瞬间速度大小为v1＝，A错误；子弹射入木块后的瞬间，根据牛顿第二定律可得FT－(M＋m0)g＝(M＋m0)，可知绳子拉力大于(M＋m0)g，B错误；子弹射入木块后的瞬间，对圆环，有FN＝FT＋mg＞(M＋m＋m0)g，根据牛顿第三定律可知，C正确；子弹射入木块之后，圆环、木块和子弹构成的系统只在水平方向动量守恒，D错误。
三．跟踪训练
1．（多选）（2025·河北唐山·模拟题）在生产生活中，经常采用轨道约束的方式改变物体的运动方向。如图所示，光滑水平地面上停放着一辆小车，小车上固定着两端开口的光滑细管，细管由水平、弯曲和竖直三部分组成，各部分之间平滑连接，竖直管的上端到小车上表面的高度为h。一小球以初速度v0水平向右射入细管。小球的质量与小车的质量（包含细管）相等，小球可视为质点，忽略一切阻力作用。下列说法正确的是（ ）
A．小球在细管中运动时，小球和小车（包含细管）组成的系统动量守恒
B．小球在细管的竖直部分运动时只受重力作用
C．当小球初速度v0＞时，将会从细管的竖直部分冲出
D．若小球从细管的竖直部分冲出，冲出后一定会落回到细管中
【答案】BCD
【解析】小球在细管中运动时，小球和小车（包含细管）组成的系统在水平方向受到的合外力为零，在弯曲处和竖直部分，小球和小车（包含细管）组成的系统在竖直方向受到的合外力不为零，则小球和小车（包含细管）组成的系统水平方向动量守恒，小球在细管中运动时，小球和小车（包含细管）组成的系统动量不守恒，故A错误；由于小球和小车（包含细管）组成的系统水平方向动量守恒，小球在细管的竖直部分运动时，水平方向和小车（包含细管）的速度相同。则小球在细管的竖直部分运动时只受重力作用，故B正确；由于水平方向动量守恒，在最高点，由动量守恒定律和能量守恒定律有mv0＝2mv、＋mgL，解得L＝，若小球从细管的竖直部分冲出，须有L＝＞h，解得v0＞，故C正确；小球从细管的竖直部分冲出后，水平方向和小车（包含细管）的速度始终相同，则冲出后一定会落回到细管中，故D正确。
2．（2025·四川省·期末考试）如图所示，足够长的光滑悬空固定水平轨道上有一质量为M＝2 kg的小车A，用一段不可伸长的轻质细绳悬挂一质量为m＝1 kg的钢块B一起以v＝1 m/s的速度向右匀速运动。一质量为m0＝0.2 kg的子弹以v0＝10 m/s的速度沿水平方向从左向右飞来射向钢块，与钢块发生碰撞，碰撞时间极短，碰后子弹以5 m/s的速度反向弹回。在以后的运动过程中，摆线离开竖直方向的最大角度小于90°，（不计空气阻力），重力加速度为g取10 m/s2。试求：
（1）子弹对钢块作用力的冲量大小；
（2）钢块能摆起的最大高度；
（3）小车A在运动过程中的最大速度。
【答案】解：（1）子弹与钢块碰撞瞬间水平方向动量守恒，以水平向右为正方向，
则m0v0＋mv＝－m0v0′＋mv1，解得v1＝4 m/s，
对钢块B，由动量定理，有IB＝mv1－mv＝3 kg·m/s。
（2）钢块B到最高点时，小车A、钢块B有相同的水平速度，
根据水平方向动量守恒有mv1＋Mv＝(m＋M)v2，解得v2＝2 m/s，
由机械能守恒＋mgh，解得h＝0.3 m。
（3）根据水平方向动量守恒，设小车A运动过程的最大速度为v4，此时钢块B速度为v3，当钢块B回到原来高度时，小车A速度最大，以向右为正方向，
根据动量守恒定律，有(m＋M)v2＝－mv3＋Mv4，
根据能量守恒有，，解得v4＝3 m/s。
3．如图所示，光滑水平地面上停放着一辆质量为M的小车，小车的左侧靠在竖直墙壁上，半径为R的四分之一光滑圆弧轨道AB的最低点B与水平轨道BD平滑相接，车的右端固定有一个轻质弹簧，水平轨道BC段粗糙，CD段光滑。现有一可视为质点的物块从A点正上方h＝R处无初速度下落，恰好落小车上沿圆轨道滑动，然后沿水平轨道滑行，与弹簧相接触并压缩弹簧，最后又返回到B相对于车静止。已知M＝3m，物块与水平轨道BC间的动摩擦因数为μ，不考虑空气阻力和物块落入圆弧轨道时的能量损失。求：
（1）物块下落后由A滑至B处时，对轨道的压力大小；
（2）水平轨道BC段的长度；
（3）压缩弹簧过程中，弹簧所具有的最大弹性势能。
【答案】（1）5mg；（2）；（3）
【解析】（1）物块自静止释放到B点，由机械能守恒得
B点满足，解得，N＝5mg
据牛顿第三定律，物块对B点的压力为N′＝N＝5mg
（2）物块自B点向右运动到再次返回到B点，且相对于车静止，此过程物块与车动量守恒，此时物块与车共速，设为，取水平向右为正，则
此过程，据能量守恒，解得
（3）弹簧压缩至对短时，物块与车共速，速度同（2）问结论，
此过程，据能量守恒，解得