带电粒子（或带电体）在电场中的偏转 ——高中物理人教版二轮复习专题学案

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1．带电粒子在电场中的偏转
（1）运动状态：带电粒子受到恒定的与初速度方向垂直的电场力作用而做类平抛运动。
（2）处理方法：类似于平抛运动的处理方法。
①沿初速度方向做匀速直线运动，t＝（如图）
②沿静电力方向做匀加速直线运动
◆ 加速度：
◆ 离开电场时的偏移量：
◆ 离开电场时的偏转角：
2．带电粒子在电场中的“加速＋偏转＋射屏”基本规律
3．几个重要结论
（1）粒子经电场偏转后，合速度的反向延长线与初速度延长线的交点O为粒子水平位移的中点，即粒子射出偏转电场时，O到偏转电场边缘的距离为。也可以理解为速度偏转角θ的正切值等于位移偏转角α的正切值的2倍，即tan θ＝2tan α。
（2）不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时，偏移量和偏转角总是相同的。
（3）以相同的初速度进入同一个偏转电场的带电粒子，不论m、q是否相同，只要比荷相同，则偏转距离y和偏转角θ相同。
（4）若以相同的初动能Ek0进入同一个偏转电场，只要q相同，不论m是否相同，则偏转距离y和偏转角θ相同。
4．功能关系
当讨论带电粒子的末速度v时也可以从能量的角度进行求解：qUy＝，其中Uy＝，指初、末位置间的电势差。
5．示波管
（1）构造
示波管的构造如图所示，它主要由电子枪、偏转电极和荧光屏组成，管内抽成真空。
（2）工作原理
①如果在偏转电极XX′之间和偏转电极YY′之间都没有加电压，电子束从电子枪射出后沿直线运动，打在荧光屏中心，在那里产生一个亮斑。
②示波管的YY′偏转电极上加的是待测的信号电压，XX′偏转电极通常接入仪器自身产生的锯齿形电压，叫作扫描电压。如果信号电压是周期性的，并且扫描电压与信号电压的周期相同，就可以在荧光屏上得到待测信号在一个周期内随时间变化的稳定图像。
二．典例精讲
1．带电粒子在电场中的偏转
例题1 （多选）（2024·湖北武汉·模拟题）一带正电微粒从静止开始经电压U1加速后，射入水平放置的平行板电容器，极板间电压为U2。微粒射入时紧靠下极板边缘，速度方向与极板夹角为45°，微粒运动轨迹的最高点到极板左右两端的水平距离分别为2L和L，到两极板距离均为d，如图所示。忽略边缘效应，不计重力。下列说法正确的是（ ）
A．L∶d＝2∶1
B．U1∶U2＝1∶1
C．微粒穿过电容器区域的偏转角度的正切值为2
D．仅改变微粒的质量或者电荷数量，微粒在电容器中的运动轨迹不变
【答案】BD
【解析】A．粒子在电容器中水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀减速直线运动，设粒子射入电容器后的速度为v0，水平方向的分速度vx＝v0cs 45°＝，竖直方向的分速度vy＝v0cs 45°＝，则当粒子从射入到运动到最高点过程中，由运动学公式可得2L＝vxt，d＝，联立可得L∶d＝1∶1，A错误；
B．带正电微粒从静止开始经电压U1加速，由动能定理可得qU1＝，根据电场强度和电势差的关系及场强和电场力的关系可得E＝，F＝qE＝ma，从射入到运动到最高点由运动学关系＝2ad，联立解得U1∶U2＝1∶1，B正确；
C．粒子从最高点到穿出电容器，由运动学公式可得L＝vxt1，vy1＝at1，射入电容器到最高点有vy＝at解得vy1＝， 设粒子刚穿出电容器时速度方向与极板夹角为α， 则cs α＝，粒子射入电容器时速度方向与极板夹角的夹角为β，cs (α＋β)＝3，C错误；
D．粒子射入电容器到最高点的过程水平方向的位移为x，竖直方向的位移为y＝，联立解得y＝，同理可得粒子从最高点到射出电容器的过程，设水平方向的位移为x0，竖直方向的位移为y0＝联立解得y0＝，即仅改变微粒的质量或者电荷数量，微粒在电容器中的运动轨迹不变，D正确。故选：BD。
2．带电粒子在电场和重力场中的偏转
例题2 （2024·陕西西安·模拟题）如图所示，在竖直放置间距为d的平行板电容器中，存在电场强度为E的匀强电场，有一质量为m、电荷量为＋q的点电荷从两极板正中间处静止释放，重力加速度为g，则点电荷运动到负极板的过程（ ）
A．加速度大小为a＝＋g B．所需的时间为t＝
C．下降的高度为y＝D．电场力所做的功为W＝Eqd
【答案】B
【解析】A．点电荷受到重力、电场力，合力F＝；根据牛顿第二定律有：a＝，故A错误；
B．根据运动独立性，水平方向点电荷的运动时间为t，水平方向上的加速度a＝，根据位移公式可得：，化简得t＝，故B正确；
C．竖直方向做自由落体运动，下降高度h＝，故C错误；
D．电荷水平方向运动位移为，故电场力做功W＝，故D错误。
故选B。
3．示波管的原理
例题3 （2025·湖南株洲·模拟题）图（a）为示波管的原理图，如果在电极YY′之间所加的电压按图（b）所示的规律变化，在电极XX′之间所加的电压按图（c）所示的规律变化，则在荧光屏上会看到的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】电子在YY′和XX′间沿电场方向均做初速度为零的匀加速直线运动，由位移公式：x＝＝，前半个周期0～t1时间内UX＜0，电子受到的力偏向X′一侧，所以电子前半周期偏向X′一侧。前半个周期0～t1时间内UY＞0，电子受到的力偏向Y一侧，所以电子前半周期偏向Y一侧。综上，前半个周期0～t1时间内图像应该在第二象限。同理，后半周期的图像应在第四象限。故B正确。
三．跟踪训练
1．（2024·黑吉辽卷）在水平方向的匀强电场中，一带电小球仅在重力和电场力作用下于竖直面（纸面）内运动。如图，若小球的初速度方向沿虚线，则其运动轨迹为直线；若小球的初速度方向垂直于虚线，则其从O点出发运动到与O点等高处的过程中（ ）
A．动能减小，电势能增大B．动能增大，电势能增大
C．动能减小，电势能减小D．动能增大，电势能减小
【答案】D
【解析】由题意可知，带电小球所受合力方向沿虚线斜向右下方，画出其受力分析图如图所示，带电小球的初速度方向垂直虚线向上，从O点出发运动到与O点等高处时，重力做功为零，电场力做正功，动能增大，电势能减小，A、B、C错误，D正确。
2．（2023·浙江卷）如图所示，示波管由电子枪、竖直方向偏转电极YY′、水平方向偏转电极XX′和荧光屏组成。电极XX′的长度为l、间距为d、极板间电压为U，YY′极板间电压为零，电子枪加速电压为10U。电子刚离开金属丝的速度为零，从电子枪射出后沿OO′方向进入偏转电极。已知电子电荷量为e，质量为m，则电子（ ）
A．在XX′极板间的加速度大小为
B．打在荧光屏时，动能大小为11eU
C．在XX′极板间受到电场力的冲量大小为
D．打在荧光屏时，其速度方向与OO′连线夹角α的正切tan α＝
【答案】D
【解析】XX′极板间的电场强度大小为E＝，电子所受的电场力大小为F＝eE＝，由牛顿第二定律得a＝＝，A错误；电子在加速电场中运动时电场力做的功为W1＝e·10U，电子沿OO′方向进入偏转电极，若能打在荧光屏上，在XX′极板间沿电场力方向的位移x≤，则电场力做的功W2≤，对全过程由动能定理得Ek＝W1＋W2≤，B错误；电子刚好从XX′极板的边缘离开时，电子在XX′极板间受到的电场力做的功为W2′＝，故在XX′极板间受到电场力的冲量大小I≤＝，C错误；电子离开加速电场时有e·10U＝，电子在XX′极板间的加速度大小为a＝，则离开XX′极板间时电子在垂直XX′极板方向的速度大小为vy＝at，沿OO′方向有l＝v0t，联立解得tan α＝＝，D正确。故选D。
3．如图所示，空间固定两平行板电容器甲、乙，甲电容器水平放置，乙电容器两极板与水平方向的夹角为53°，B极板的右端与C极板的下端彼此靠近且绝缘，忽略极板外的电场。一电子从靠近A板左端的位置，以水平向右的速度v0射入，飞离甲后垂直C从小孔进入乙，且恰好到达D。已知电子的质量为m，电荷量为e，甲、乙板间距离均为d，甲的板长为2d，sin 53°＝0.8，cs 53°＝0.6。求：
（1）电子离开甲电容器的速度大小；
（2）甲电容器的板间电压；
（3）乙电容器的板间电压；
（4）电子从开始至到达D极板所用时间。
【答案】（1） （2） （3） （4）
【解析】（1）设电子从甲飞出时速度为v，
则sin θ＝，解得v＝。
（2）电子在甲电容器内做类平抛运动，设竖直分速度为vy，
有tan θ＝，vy＝at1，a＝，2d＝v0t1，解得U1＝。
（3）由动能定理可得eU2＝，解得U2＝。
（4）电子在甲电容器内运动时间为t1，竖直方向位移为d1，有d1＝，
水平方向：2d＝v0t1
电子在甲乙两电容器之间运动的路程为s，时间为t2，有s＝vt2
由几何关系可得cs θ＝
电子在乙电容器内运动的时间为t3，有d＝，t＝t1＋t2＋t3，
解得t＝。