动力学中的临界极值问题 ——高中物理人教版二轮复习专题 学案

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1．临界、极值条件的标志
（1）有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点。
（2）若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界点。
2．四种典型的临界条件
（1）接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是弹力FN＝0。
（2）相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值。
（3）绳子断裂与松弛的临界条件：绳子断裂的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力；绳子松弛的临界条件是FT＝0。
（4）最终速度（收尾速度）的临界条件：物体所受合外力为零。
3．动力学临界极值问题的三种解法
二．典例精讲
1．“接触与脱离”的临界问题
例题1 （多选）如图所示，质量mB＝2 kg的水平托盘B与一竖直放置的轻弹簧焊接，托盘上放一质量mA＝1 kg的小物块A，整个装置静止。现对小物块A施加一个竖直向上的变力F，使其从静止开始以加速度a＝2 m/s2做匀加速直线运动，已知弹簧的劲度系数k＝600 N/m，g＝10 m/s2。以下结论正确的是（ ）
A．变力F的最小值为2 N
B．变力F的最小值为6 N
C．小物块A与托盘B分离瞬间的速度为0.2 m/s
D．小物块A与托盘B分离瞬间的速度为 m/s
【答案】BC
【解析】A、B整体受力产生加速度，则有F＋FNAB－(mA＋mB)g＝(mA＋mB)a，可得F＝(mA＋mB)a＋(mA＋mB)g－FNAB，当FNAB最大时，F最小，即刚开始施力时，FNAB最大且等于A和B的重力之和，则Fmin＝(mA＋mB)a＝6 N，B正确，A错误；刚开始，弹簧的压缩量为x1＝＝0.05 m，A、B分离时，其间恰好无作用力，对托盘B，由牛顿第二定律可知kx2－mBg＝mBa，得x2＝0.04 m，物块A在这一过程的位移为Δx＝x1－x2＝0.01 m，由运动学公式可知v2＝2aΔx，代入数据得v＝0.2 m/s，C正确，D错误。
2．“相对静止与滑动”的临界问题
例题2 （多选）如图甲所示，在光滑水平面上叠放着A、B两物体。现对A施加水平向右的拉力F，通过传感器可测得A的加速度a随拉力F变化的关系如图乙所示。已知重力加速度g＝10 m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．A的质量是5 kgB．B的质量是5 kg
C．A、B之间的动摩擦因数是0.4D．A、B之间的动摩擦因数是0.8
【答案】BC
【解析】拉力F很小时，A、B两物体保持相对静止，以相同的加速度运动，后来B在A上滑动。当拉力F1＝60 N时，两物体加速度a1＝4 m/s2，两物体恰好要相对滑动，这时A、B间的摩擦力是最大静摩擦力，根据牛顿第二定律，以B为对象有：μmBg＝mBa1，对A有：F1－μmBg＝mAa1，当拉力F2＝100 N时，A物体加速度a2＝8 m/s2，两物体发生相对滑动，这时A、B间是滑动摩擦力，根据牛顿第二定律，对A有：F2－μmBg＝mAa2解得：mA＝10 kg；mB＝5 kg；μ＝0.4，故BC正确，AD错误。
3．动力学中的极值问题
例题3 如图所示，一足够长的木板上表面与木块之间的动摩擦因数μ＝0.75，木板与水平面成θ角，让木块从木板的底端以初速度v0＝2 m/s沿木板向上滑行，随着θ的改变，木块沿木板向上滑行的距离x将发生变化，重力加速度g＝10 m/s2，x的最小值为（ ）
A．0.12 mB．0.14 mC．0.16 mD．0.2 m
【答案】C
【解析】设沿斜面向上为正方向，木块的加速度为a，当木板与水平面成θ角时，由牛顿第二定律得－mgsin θ－μmgcs θ＝ma，解得a＝－g(sin θ＋μcs θ)，设木块的位移为x，有0－＝2ax，根据数学关系知sin θ＋μcs θ＝sin (θ＋α)，其中tan α＝μ＝0.75，可得α＝37°，当θ＋α＝90°时，加速度有最大值，为am＝＝，此时x有最小值，为xmin＝＝0.16 m，故A、B、D错误，C正确。
三．跟踪训练
1．如图所示，物体A、B质量分别为m、2m，叠放在轻质弹簧上（弹簧下端固定于地面上，上端和物体A拴接）。对B施加一竖直向下、大小为F的外力，使弹簧再压缩一段距离（弹簧始终处于弹性限度内）后物体A、B处于平衡状态。已知重力加速度为g，F＞3mg。现突然撤去外力F，设两物体向上运动过程中A、B间的相互作用力大小为FN，则在A、B分离前，下列说法正确的是（ ）
A．刚撤去外力F时，FN＝2mg＋
B．弹簧弹力等于F时，FN＝
C．两物体A、B在弹簧恢复原长之前分离
D．弹簧恢复原长时FN＝2mg
【答案】B
【解析】A、撤去外力前，A、B组成的整体受力平衡，刚撤去外力F瞬间，弹簧弹力不变，整体所受的合力大小等于F，方向竖直向上，由牛顿第二定律，对A、B组成的整体有F＝3ma1，对物体B有FN－2mg＝2ma1，联立解得FN＝＋2mg，故A错误；
B、弹簧弹力等于F时，对A、B组成的整体有F－3mg＝3ma2，对物体B有FN－2mg＝2ma2，联立解得FN＝，故B正确；
CD、当A、B恰好分离时，A、B间相互作用力为0，加速度相同，对B有2mg＝2ma，a＝g，A的加速度也为g，对A，根据牛顿第二定律得mg－F弹＝ma＝mg，即弹簧弹力为0，弹簧恰好恢复到原长，故C、D错误。故选：B。
2．如图所示，质量分别为m1和m2的甲、乙两本书叠放在水平桌面上。已知甲、乙间动摩擦因数为μ1，乙与桌面间动摩擦因数为μ2，且μ1＜μ2，水平推力F（F≠0）作用在甲书上，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（ ）
A．若甲、乙均静止不动，甲、乙之间摩擦力大小为0
B．若F＞μ1m1g，甲书能相对乙书滑动
C．若F＞μ2(m1＋m2)g，乙书能相对桌面滑动
D．若将F作用在乙书上，无论F多大，甲、乙之间都不会相对滑动
【答案】B
【解析】若甲、乙均静止不动，甲、乙之间摩擦力大小为F，不等于0，选项A错误；若F＞μ1m1g，即力F大于甲、乙之间的最大静摩擦力，则此时甲书能相对乙书滑动，选项B正确；对乙来说，因为μ1m1g＜μ2(m1＋m2)g，则无论F多大，乙书都不能相对桌面滑动，选项C错误；若将F作用在乙书上，因乙对甲的最大静摩擦力为Ffm＝μ1m1g，则甲的最大加速度am＝＝μ1g，则对甲、乙的整体，当二者恰能产生相对滑动时F－μ2(m1＋m2)g＝(m1＋m2)am，解得F＝(μ1＋μ2)(m1＋m2)g，即当F＞(μ1＋μ2)(m1＋m2)g时，甲、乙之间会相对滑动，选项D错误。故选B。
3．如图，一小球用轻质细线a、b连接，细线a的另一端连接于车厢顶的A点，细线b的另一端连接于车厢底板上的B点，小球静止时细线a与竖直方向的夹角为θ＝30°，细线b与水平方向的夹角也为θ＝30°。已知两细线长相等，且AC＝BC，不计小球大小，重力加速度大小为g。小车向左沿水平方向做匀加速直线运动，要使细线b上张力为零，则小车运动的加速度a0应满足的条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】图示中，根据几何关系，a、b细线与A、B连线的夹角均为15°，当细线a与竖直方向的夹角为30°且细线b刚好伸直，这时车的加速度大小为a1＝gtan 30°＝。当细线a与竖直方向的夹角为60°且细线b刚好伸直，这时车的加速度大小为a2＝gtan 60°＝，因此要使细线b上张力为零，则小车运动的加速度应满足的条件是，故C正确，ABD错误。
4．如图所示，一块质量m＝2 kg的木块放置在质量M＝6 kg、倾角θ＝37°的粗糙斜面体上，木块与斜面体间的动摩擦因数μ＝0.8，二者静止在光滑水平面上。现对斜面体施加一个水平向左的作用力F，若要保证木块和斜面体不发生相对滑动，求F的大小范围。（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8）
【答案】0≤F≤310 N
【解析】若要保证木块和斜面体不发生相对滑动，则两物体以相同的加速度向左做匀加速直线运动，由于μ＞tan θ，故当F＝0时，木块静止在斜面体上，即F的最小值为0；根据题意可知，当木块相对斜面体恰不向上滑动时，F有最大值Fm，设此时两物体运动的加速度大小为a，两物体之间的摩擦力大小为Ff，斜面体对木块的支持力为FN。对整体和木块分别进行受力分析，如图甲、乙
对整体受力分析有Fm＝(m＋M)a，对木块受力分析有Ff＝μFN，水平方向Ffcs θ＋FNsin θ＝ma，竖直方向FNcs θ＝mg＋Ffsin θ，联立以上各式代入数据解得Fm＝310 N，故F的大小范围为0≤F≤310 N。
极限法
把物理问题（或过程）推向极端，从而使临界现象（或状态）暴露出来，以达到正确解决问题的目的
假设法
临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题
数学法
将物理过程转化为数学表达式，根据数学表达式解出临界条件