动态圆问题 ——高中物理人教版二轮复习专题学案

这是一份动态圆问题 ——高中物理人教版二轮复习专题学案，文件包含沪教牛津版八年级下册Unit4Artsandheritage知识清单背诵版docx、沪教牛津版八年级下册Unit4Artsandheritage知识清单默写版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共30页， 欢迎下载使用。
1．“旋转圆”模型
2．“放缩圆”模型
3．“平移圆”模型
4．“磁聚焦”模型
（1）现象：如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出。（会聚）
（2）条件：轨迹圆半径R等于磁场圆半径r。
（3）证明：四边形OAO′B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO′（即竖直方向），可知从A点发出的带电粒子必然经过B点。
5．“磁发散”模型
（1）现象：如图乙所示，从P点有大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，则所有粒子射出磁场的方向平行。（发散）
（2）条件：轨迹圆半径等于磁场圆半径
（3）证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O1A（O2B、O3C）均平行于PO，即出射速度方向相同（即水平方向）。
二．典例精讲
1．“旋转圆”模型
例题1 （2025·河北石家庄·模拟题）如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B＝0.60 T。磁场内有一块平面感光板ab，板面与磁场方向平行。在距ab为l＝16 cm处，有一个点状的α粒子放射源S，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速率都是v＝3.0×106 m/s。已知α粒子的电荷量与质量之比＝5.0×107 C/kg。现只考虑在纸面内运动的α粒子，求ab板上被α粒子打中区域的长度。
【答案】解：α粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动。
根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝，解得R＝，
代入数据解得R＝10 cm，可见R＜l＜2R。
因朝不同方向发射的α粒子的轨迹圆都过S，由此可知，某轨迹圆在N左侧与ab相切，则此切点P1就是α粒子能打中的左侧最远点，为确定P1点的位置，可作平行于ab的直线cd，cd到ab的距离为R，以S为圆心，R为半径，作圆弧交cd于Q点，过Q作ab的垂线，它与ab的交点即为P1。从图中几何关系得NP1＝。任何α粒子在运动中离S的距离不可能超过2R，以2R为半径、S为圆心作圆弧，交ab于N右侧的P2点，此即右侧能打到的最远点。
从图中几何关系得NP2＝，
所求长度为P1P2＝NP1＋NP2，代入数据解得P1P2＝20 cm。
2．“放缩圆”模型
例题2 （2024·江苏·联考题）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，ab＝be＝2bc＝2de＝L，bcde为矩形。一束质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用及重力，在磁场中运动时间最长的粒子，其运动速率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设粒子过bcde上一点g，当∠Oag最大时，∠aOg最小，粒子运动时间最长，O为粒子做圆周运动的圆心，由几何关系知，当粒子过c点时，粒子运动时间最长，轨迹如图所示：
设半径为R，则有(L－R)2＋＝R2，解得R＝，由牛顿第二定律：qvB＝，解得v＝，故B正确，ACD错误。故选B。
3．“平移圆”模型
例题3 （多选）（2025·湖北黄冈·联考题）如图所示，在等腰直角三角形ABC内充满着磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出）。一群质量为m、电荷量为＋q、速度为v的带正电粒子垂直AB边射入磁场，已知从AC边射出且在磁场中运动时间最长的粒子，离开磁场时速度垂直于AC边。不计粒子重力和粒子间的相互作用。下列判断中正确的是（ ）
A．等腰三角形ABC中AB边的长度为
B．粒子在磁场中运动的最长时间为
C．从AB中点射入的粒子离开磁场时的位置与A点的距离为
D．若仅将磁场反向，则粒子在磁场中运动的最长时间不变
【答案】AB
【解析】A．依题意可知当粒子在磁场中运动时间最长时，轨迹圆的圆心在A点，且其轨迹与BC边相切如图甲所示。根据几何关系可知sin 45°＝r，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，有qvB＝，联立可得，故A正确；
B．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T＝，粒子在磁场中运动时间最长时，根据A选项分析，可知粒子轨迹所对应的圆心角为90°，则有t＝，故B正确；

C．从AB中点射入的粒子，其轨迹为上面所分析的粒子轨迹圆的圆心向下平移r－，得到此轨迹圆的圆心在A点的正下方，如图乙所示，由几何关系可知，粒子离开磁场时的位置与A点的距离必然小于轨迹半径r，即小于，故C错误；
D．若仅将磁场反向，则粒子在磁场中将向上偏转，不会出现圆心角为90°的轨迹，则粒子在磁场中运动的最长时间将变小，故D错误。故选：AB。
4．“磁聚焦”与“磁发散”模型
例题4 （多选）（2025·江苏南通·模拟题）如图所示，半径为R、磁感应强度为B的圆形匀强磁场，MN是一竖直放置的足够长的感光板。大量相同的带正电粒子从圆形磁场最高点P以速率v沿不同方向垂直磁场方向射入，不考虑速度沿圆形磁场切线方向入射的粒子。粒子质量为m，电荷量为q，不考虑粒子间的相互作用和粒子的重力。关于这些粒子的运动，以下说法正确的是（ ）
A．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越短
B．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越长
C．若粒子速度大小均为v＝，出射后均可垂直打在MN上
D．若粒子速度大小均为v＝，则粒子在磁场中的运动时间一定小于
【答案】ACD
【解析】对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中做圆周运动的轨迹半径越大，弧长越长，轨迹对应的圆心角越小，由t＝可知，运动时间越短，故选项A正确，B错误；粒子速度大小均为v＝时，根据洛伦兹力提供向心力可得粒子的轨迹半径为r＝＝R，根据几何关系可知，入射点P、O、出射点与轨迹圆的圆心的连线构成菱形，射出磁场时的轨迹半径与PO平行，故粒子射出磁场时的速度方向与MN垂直，出射后均可垂直打在MN上，根据几何关系可知，轨迹对应的圆心角小于180°，粒子在磁场中的运动时间t＜，故选项C、D正确。故选：ACD。
三．跟踪训练
1．（2024·湖北·模拟题）如图所示，在直角△MON区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场（未画出），磁感应强度大小为B。O点处的粒子源可向纸面内磁场区域各个方向发射带电粒子。已知带电粒子的质量为m，电荷量为＋q，速率均为v＝，ON长为d且∠ONM＝30°，忽略粒子的重力及相互间的作用力，下列说法正确的是（ ）
A．自MN边射出的粒子在磁场中运动的最短时间为
B．自MN边射出的粒子在磁场中运动的最长时间为
C．MN边上有粒子到达区域的长度为
D．ON边上有粒子到达区域的长度为
【答案】C
【解析】A．根据Bqv＝可知，带电粒子在磁场中运动轨道半径r＝，自MN边射出的带电粒子在磁场中运动时间最短时，弦长也最短，如图所示，粒子运动时间t＝＝，A选项错误；
B．带电粒子在磁场中运动时间最长时，对应圆心角最大为120°，如图所示，粒子运动时间t＝＝，粒子从ON边射出磁场，B选项错误；
C．MN边上有粒子到达的区域为AB段，由几何关系可得AB＝，C选项正确；
D．ON边上有粒子到达的区域为OC段，由几何关系可得OC＝2rcs (30°)＝，D选项错误。故选C。
2．（多选）（2024·重庆·联考题）如图所示，垂直纸面向里的匀强磁场分布在边长为L的等边三角形ABC内，D是AB边的中点，一群相同的带负电的粒子仅在磁场力作用下，从D点沿纸面以方向平行于BC边、大小不同的速度射入三角形内，不考虑粒子间的相互作用，已知粒子在磁场中运动的周期为T，则下列说法中正确的是（ ）
A．粒子垂直BC边射出时，半径R等于
B．速度小的粒子一定比速度大的粒子在磁场中运动时间长
C．粒子可能从C点射出，且在磁场中运动的时间为
D．粒子可能从AB边射出，且在磁场中运动的时间为
【答案】AD
【解析】根据题意可知，粒子垂直BC边射出时，运动轨迹如图甲所示，根据几何关系知半径为，故A正确；

若带电粒子刚好从BC边射出磁场，运动轨迹与BC边相切，可知圆心角为180°，粒子在磁场中运动的时间为，若带电粒子刚好从AC边射出磁场，运动轨迹与AC边相切，作图可得切点为C点，如图乙所示，可知圆心角为60°，粒子在磁场中运动的时间为，若带电粒子从AB边射出磁场，可知圆心角为240°，粒子在磁场中运动的时间为，若粒子在磁场中运动的时间为，则它一定从AB边射出磁场，所以速度小的粒子不一定比速度大的粒子在磁场中运动时间长，故B、C错误，D正确。
3．（多选）（2024·河南·联考题）如图所示，平面直角坐标系的第一象限内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，一质量为m、电荷量为q的带电粒子以速度v0沿平行于y轴方向从x轴上不同点分别射入磁场。若该粒子从x轴上a点射入磁场，则恰好垂直于y轴射出磁场，且在磁场中运动的时间为t0。若该粒子先后从x轴上b、c两点射入磁场，则恰好能从y轴上的同一点P射出磁场。O、P两点间的距离为，下列说法正确的是（ ）
A．该粒子带正电
B．匀强磁场的磁感应强度大小为
C．该粒子从c点射入磁场时，在磁场中运动的时间为
D．该粒子从b点射入磁场时，在磁场中运动的时间为
【答案】BC
【解析】A．由左手定则，该粒子带负电，A错误；
B．由和得，，B正确；
CD．由，，，解得，
设粒子从b、c射入磁场的两个轨迹所对应的圆心角分别为θ1和θ2，，
解得θ1＝45°，θ2＝135°，
该粒子从b、c两点射入磁场时，在磁场中运动的时间分别为，，，
解得，，C正确，D错误。
故选BC。
4．（多选）（2024·山东威海·模拟题）利用磁聚焦和磁控束可以改变一束平行带电粒子的宽度，人们把此原理运用到薄膜材料制备上，使芯片技术得到飞速发展。如图，宽度为r0的带正电粒子流水平向右射入半径为r0的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为B0，这些带电粒子都将从磁场圆上O点进入正方形区域，正方形过O点的一边与半径为r0的磁场圆相切。在正方形区域内存在一个面积最小的匀强磁场区域，使会聚到O点的粒子经过该磁场区域后宽度变为2r0，且粒子仍沿水平向右射出，不考虑粒子间的相互作用力及粒子的重力，下列说法正确的是（ ）
A．正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为2B0，方向垂直纸面向里
B．正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里
C．正方形区域中匀强磁场的最小面积为2(π－2)r02
D．正方形区域中匀强磁场的最小面积为
【答案】BC
【解析】根据磁聚焦原理，粒子在半径为r0的圆形磁场区域中运动，粒子运动的轨迹半径为r0，由qB0v＝解得B0＝，要使会聚到O点的粒子经正方形区域内的磁场偏转后宽度变为2r0，且粒子仍沿水平向右射出，作出轨迹如图所示，
由几何关系可知粒子的轨迹半径为2r0，正方形中磁场区域内应该为圆形磁场的一部分，有qB1v＝，解得B1＝，由左手定则可知，方向垂直纸面向里，A错误，B正确；由图可知，磁场区域的最小面积为Smin＝＝2(π－2)r02，C正确，D错误。故选BC。
模型界定
将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出粒子运动的临界条件，即为“旋转圆”法
模型条件
粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周运动轨迹半径为R＝，如图所示
模型特点
轨迹圆的圆心共圆：如图所示，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上
模型界定
以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出粒子运动的临界条件，即为“放缩圆”法
模型条件
粒子源发射速度方向一定，大小不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度大小变化而变化
特点
轨迹圆的圆心共线：如图所示（图中只画出粒子带正电的情景），速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上
模型界定
将半径为R＝的圆进行平移，从而探索出粒子运动的临界条件，即为“平移圆”法
模型条件
粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝，如图所示
模型特点
带电粒子轨迹圆的圆心在同一直线上、且该直线与入射点的连线平行（或共线）