运动学图像问题 ——高中物理人教版二轮复习专题 学案

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x－t图像与v－t图像
二．典例精讲
1．中国海军服役的歼－15舰载机在航母甲板上加速起飞过程中，某段时间内舰载机的位移时间（x－t）图像如图所示，则（ ）
A．由图可知，舰载机起飞的运动轨迹是曲线
B．在0～3 s内，舰载机的平均速度大于12 m/s
C．在M点对应的位置，舰载机的速度大于20 m/s
D．在N点对应的时刻，舰载机的速度为7.5 m/s
【答案】C
【解析】x－t图像描述直线运动中位移随时间的变化（不是运动轨迹），A错误；在0～3 s内，舰载机通过的位移为x＝36 m－0＝36 m，平均速度为 m/s＝12 m/s，B错误；在2～2.55 s内的平均速度为 m/s＝20 m/s，根据2～2.55 s内的平均速度等于MN连线的斜率大小，在M点对应的位置，舰载机的速度等于过M点的切线斜率大小，可知在M点对应的位置，舰载机的速度大于MN段平均速度20 m/s，C正确；在0～2 s内的平均速度为 m/s＝7.5 m/s，0～2 s内的平均速度等于ON连线的斜率大小，在N点对应的时刻，舰载机的速度等于过N点的切线斜率大小，可知在N点对应的时刻，舰载机的速度大于ON段平均速度7.5 m/s，D错误。
2．某直线运动的v－t图像如图所示，其中0～3 s为直线，3～3.5 s为曲线，3.5～6 s为直线，则以下说法正确的是（ ）
A．0～3 s的平均速度为10 m/sB．3.5～6 s做匀减速直线运动
C．0～3 s的加速度比3.5～6 s的大D．0～3 s的位移比3.5～6 s的小
【答案】B
【解析】A．根据v－t图像可知，0～3 s内质点做匀加速直线运动，平均速度为 m/s＝15 m/s
故A错误；
B．根据v－t图像可知，3.5～6 s内质点做匀减速直线运动，故B正确；
C．根据v－t图像的斜率绝对值表示加速度大小，由可知0～3 s的加速度大小为a1＝ m/s2＝10 m/s2；3.5 s的速度无法确定，故3.5～6 s的加速度无法确定，可知0～3 s的加速度与3.5～6 s的无法比较，故C错误；
D．根据v－t图像与横轴围成的面积表示位移可得，0～3 s的位移为x1＝×30×3 m＝45 m，3.5～6 s的位移满足x2＜×30×(6－3.5) m＝37.5 m
可知0～3 s的位移比3.5～6 s的大，故D错误。
故选B。
3．（多选）赛龙舟是端午节的传统活动。下列v－t和x－t图像描述了五条相同的龙舟从同一起点线同时出发、沿长直河道划向同一终点线的运动全过程，其中能反映龙舟甲与其它龙舟在途中出现船头并齐的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】在v－t图像中图线与t轴围成图形的面积表示位移的大小，龙舟甲与其它龙舟在途中出现船头并齐即在相同的时间内的位移相同，A图中甲停止运动前比乙快，选项A错误；B图中交叉点前丙比甲快，交叉点后甲比丙快，交叉点后甲比丙大的面积比前面小三角形大，所以甲追丙的路程比丙落下甲的多，甲和丙会在某个时刻出现船头并齐，B正确；在x－t图像中图线有交点即为相遇，通过分析可知，选项C错误，D正确。
4．如图所示是物体做直线运动的v－t图象，则下列由v－t图象作出的加速度－时间（a－t）图象和位移－时间（x－t）图象中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由v－t图象知，0－1 s内，物体做匀速直线运动，加速度a＝0，位移x＝v0t，x与t成正比；
1－3 s内，物体的加速度不变，做匀变速直线运动，有：a＝＝＝－1 m/s2。
位移为：x＝v0(t－1)＋(t－1)2＝1×(t－1)＋×(－1)(t－1)2＝，
x－t图象是开口向下的抛物线；
3－5 s内，物体沿负方向做匀减速直线运动，位移应减小；
由数学知识知，A图象正确，BCD错误。
故选：A。
三．跟踪训练
1．我国高铁技术全球领先，由于其便捷性和舒适性，在国庆期间，高铁出行尤为受欢迎。现有一高铁在某一段时间内速度v与时间t的关系曲线恰好是与两坐标轴相切的圆弧，如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．高铁正在做匀减速直线运动
B．高铁正在做加速度减小的减速曲线运动
C．在0～60 s内高铁的位移约为1800 m
D．在0～60 s内高铁的位移约为774 m
【答案】D
【解析】速度v与时间t图像只能描述直线运动且斜率表示加速度大小，所以高铁正在做加速度减小的减速直线运动，故AB错误；
由于v－t图线与坐标轴围成的“面积”大小等于位移，则s＝R2－。这里R是圆弧的半径，也是正方形的边长，所以R2＝60×60 m＝3600 m，则s＝774 m，故C错误，D正确。
2．（多选）甲、乙两个物体在同一直线上运动，其x－t图像如图所示。已知直线b与曲线a相切于点（4，－15），且知甲做匀变速直线运动，下列说法正确的是（ ）
A．前4 s内两物体运动方向相同
B．前4 s内甲的平均速度是乙的平均速度的倍
C．甲的加速度大小为2 m/s2
D．t＝0时刻，甲的速度大小为9 m/s
【答案】AC
【解析】A．前4 s内两物体运动方向都沿－x方向，方向相同，A正确；
B．前4 s内甲的平均速度为v1＝＝－6 m/s，前4 s乙的平均速度为v2＝＝－2 m/s，故前4 s内甲的平均速度是乙的平均速度的3倍，B错误；
CD．t＝1 s末，甲的位移大小为9 m，t＝4 s末，甲的位移大小为24 m，设甲的加速度大小a，甲的初速度大小为v0，根据匀变速运动位移公式x＝v0t＋可得9＝v0＋(SI)，24＝4v0＋·42(SI)，解得a＝－2 m/s2，v0＝10 m/s，甲的加速度大小为2 m/s2，t＝0时刻，甲的速度大小为10 m/s，故选项C正确，D错误。
故选AC。
3．（多选）甲、乙两物体同时从同一位置沿同一直线运动，甲的位移—时间图像和乙的速度—时间图像如图所示，则两物体从原点出发后（ ）
A．在2～4 s内，甲的加速度为零，乙的加速度为－4 m/s2
B．在2～4 s内，甲的平均速度为－4 m/s、乙的平均速度为零
C．0～6 s内甲、乙两物体均受恒力作用。甲做往返运动，乙做单向直线运动
D．甲、乙均在第3 s末改变运动方向
【答案】AB
【解析】A、2～4 s内甲图的斜率不变，做匀速直线运动，加速度为0，乙物体在2 s～4 s加速度为a＝＝ m/s2＝－4 m/s2，故A正确；
B、根据平均速度的公式可知在2～4 s内，甲的平均速度为 m/s＝－4 m/s，乙图与坐标轴围成的面积代表位移可知，在2～4 s内，乙的位移为0，平均速度为0，故B正确；
C、甲在0～2 s朝正方向运动，2～4 s朝负方向运动，4～6 s朝正方向运动，乙在0～3 s朝正方向运动，3～6 s朝负方向运动，故0～6 s甲、乙均做往返运动，故C错误；
D、甲图斜率代表速度，可知2 s时速度方向发生改变，乙图中物体在3 s时发生改变，故D错误。
故选：AB。
4．（多选）下列图象能正确反映物体在直线上运动，经2 s又回到初始位置的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】A．位移时间图象反映了物体各个不同时刻的位置坐标情况，从图中可以看出物体沿x轴正方向前进2 m后又返回，A正确；
B．速度时间图象反映了物体的速度随时间的变化情况，从图中可以看出速度一直为正，故物体一直前进，B错误；
C．速度时间图象反映了物体的速度随时间的变化情况，图线与时间轴包围的面积表示位移的大小，从图中可以看出第一秒物体前进1 m，第二秒物体后退1 m，C正确；
D．加速度与时间关系图象反映了物体不同时刻的加速度情况，由于初速度情况未知，故物体的运动情况不清楚，故D错误。
故选AC。
考点二 非常规运动学图像及应用
一、知识讲解
1．a－t图象
包围面积的意义：图象和时间轴所围的面积，表示物体的速度变化量。
①推导过程：根据匀变速直线运动的速度公式v＝v0＋at，at＝(v－v0)＝Δv。
②注意图中的面积表示速度的变化量，不一定等于末速度；只有当初速度为零时，才等于末速度。
③图中第一象限所围的面积表示速度的变化量为正值，第四象限所围的面积表示速度的变化量为负值。
2．－t图像
由x＝v0t＋可得＝v0＋，截距b为初速度v0，图像的斜率k为，如图所示。
3．v2－x图像
由v2－＝2ax可知v2＝＋2ax，截距b为，图像斜率k为2a，如图所示。
4．v－x图像
方法一：数形结合法。根据匀变速直线运动的“速度－位移”公式，v2－＝2ax，，其对应的匀加速和匀减速直线运动的v－x图像如图所示。
方法二：斜率法
而v－x图中图线的斜率为另类加速度。
①对于匀加速直线运动，a＞0且恒定，那么根据，A随v增大而变小，其v－x图如图（a）；
②对于匀减速直线运动，a＜0且恒定，那么根据，A随v减小而变大，其v－x图如图（b）。
5．其他图像
二．典例精讲
1．利用图像法研究物理量之间的关系是常用的一种物理研究方法。如图所示为某些物体做直线运动时各物理量之间的关系图像（x、v、a、t分别表示物体的位移、速度、加速度和时间），则下列说法中正确的是（ ）
A．甲图，物体做初速度为零的匀加速直线运动，且加速度大小为1 m/s2
B．乙图，物体在第1秒末的速度大小为5 m/s
C．丙图，物体在第2 s末速度大小减为0
D．丁图，物体在第2秒内速度变化量大小为3 m/s
【答案】B
【解析】A、根据匀变速直线运动的位移－时间公式x＝v0t＋得知：x－t2图像的斜率k＝，由图可得k＝1 m/s2，则a＝2 m/s2，故A错误；
B、由v2－＝2ax得v2＝＋2ax，可知v2－x图像的斜率k＝2a，由图可得k＝10 m/s2，则a＝5 m/s2，第1秒末速度为5 m/s，故B正确；
C、由x＝v0t＋得：＝v0＋，可知－t图像的斜率k＝，由图可得k＝－2 m/s2，则a＝－4 m/s2，v0＝4 m/s，第1秒末速度减为0，，则物体在第2 s末速度v＝v0＋at＝4 m/s－4×2 m/s＝－4 m/s，故C错误；
D、根据a－t图像与时间轴所围的面积表示速度变化量，可得物体在第2 s内的速度变化量大小Δv＝×1.5×1 m/s＝ m/s，故D错误。
2．某人驾驶汽车在平直公路上以108 km/h的速度匀速行驶，某时刻看到前方路上有障碍物，经过一段反应时间，开始刹车，假设刹车后汽车做匀减速直线运动。从看到障碍物到车子停下的过程，汽车的位移x随速度v变化的关系图像由一段平行于x轴的直线与一段曲线组成，直线与曲线的分界点为P点（如图所示）。则下列说法正确的是（ ）
A．曲线部分是一段抛物线B．司机的反应时间为0.417 s
C．刹车的加速度大小为5 m/s2 D．刹车的时间是6 s
【答案】A
【解析】A．对匀减速运动，满足v2－＝－2ax，则x－v图像为抛物线，故A正确；
B．汽车在反应时间内做匀速直线运动，由图可知对应于直线段，反应时间内的位移为x1＝15 m，速率为v0＝108 km/h＝30 m/s，则反应时间为t1＝＝ s＝0.5 s，故B错误；
C．刹车过程的位移为x2＝(90－15) m＝75 m，根据＝2ax2，解得a＝6 m/s2，故C错误；
D．刹车的时间为t2＝＝ s＝5 s，故D错误。
故选A。
3．某无人驾驶汽车在研发过程中要进行试车，新车沿平直公路匀变速行驶，一段时间内的图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．该车做匀加速直线运动B．该车行驶的加速度为大小为10 m/s2
C．该车行驶的初速度大小为2 m/sD．该车在前3秒的位移是12.5 m
【答案】D
【解析】ABC．根据匀变速直线运动位移规律x＝v0t＋，可得，由图像的斜率和截距可得k＝v0＝ m/s＝10 m/s；当＝0时，＝－2 m/s2，得a＝－4 m/s2，该车做匀减速直线运动，故ABC错误；
D．根据求解的加速度和初速度可知，该车做减速运动，且刹车时间为t刹＝ s＝2.5 s，即在2.5 s末车已停止，前3 s的位移为x′＝ m＝12.5 m，故D正确。
故选：D。
4．某物体在水平面上沿直线运动，其加速度a随位移x的变化关系如图所示。已知物体从x＝0处由静止开始运动。下列说法正确的是（ ）
A．物体匀加速运动的时间为2 sB．物体在x＝4 m时的动能为0
C．物体的最大速率为 m/sD．物体最终停在x＝6 m处
【答案】C
【解析】A．如图所示，设匀加速运动的时间为t，有x＝，解得：t＝1 s，故A错误；
BC．x＝4 m处，a＝0，速度最大，动能最大，根据v2＝2ax，知a－x图像的面积为：“S”＝，图像0～4 m梯形的面积（如图所示阴影部分）：＝12 m2/s2，解得vm＝ m/s，故B错误，C正确；
D．物体0～4 m做加速运动，4～6 m做减速运动，x＝6 m处的速度与x＝2 m处的速度相等，不等于零，所以最终停的位置大于6 m，故D错误。
故选C。
三．跟踪训练
1．甲、乙、丙、丁四个物体做直线运动，它们运动的x－t，v－t，a－t，－t图像分别如图所示，其中a－t图像表示的物体在t＝0时的速度为零，则下列说法不正确的是（ ）
A．0－4 s内运动位移最大的是甲物体
B．0－4 s内有3个物体运动的位移为零
C．第4 s末加速度最大的是乙物体
D．第4 s末速度最大的是丁物体
【答案】B
【解析】x－t图像的斜率表示速度，由图甲知，0－4 s内，甲物体做匀速直线运动，速度大小为v甲＝ m/s2＝2 m/s2，加速度a甲＝0，发生的位移大小x甲＝|－4－4| m＝8 m；
v－t图像中图线与t轴所围的面积表示位移，图像的斜率表示加速度，由图乙知，0－4 s内，乙物体的位移大小x乙＝ m＋ m＝0，第4 s末时，乙的速度v乙＝0，加速度大小a乙＝ m/s2＝4 m/s2；
由图丙知，0－1 s内，丙做初速度为0的匀加速直线运动，加速度大小a1＝1 m/s2，此过程的末速度大小v1＝a1×(1－0) s＝1 m/s，发生的位移大小x1＝·(1 s－0)2＝0.5 m，1－2 s内丙做匀减速直线运动，加速度大小a2＝1 m/s2，末速度大小v2＝v1－a2·(2 s－1 s)＝0，此过程发生的位移x2＝·(2 s－1 s)＝0.5 m，2－3 s内丙做匀加速直线运动，加速度大小a3＝1 m/s2，末速度大小v3＝a3·(3 s－2 s)＝1 m/s，此过程发生的位移x3＝·(3 s－2 s)＝0.5 m，3－4 s内丙做匀减速直线运动，加速度大小a4＝1 m/s2，末速度大小v4＝v3－a4·(4 s－3 s)＝0，此过程发生的位移x4＝·(4 s－3 s)＝0.5 m，可见0－4 s丙的位移x丙＝x1＋x2＋x3＋x4＝2 m；
由x＝v0t＋可得＋v0，可见－t图像的斜率为，纵截距为v0，由图丁知，丁的初速度大小v丁0＝4 m/s，加速度a丁＝2× m/s2＝－2 m/s2，则4 s末时丁的速度v丁＝v丁0＋a丁×4 s＝－4 m/s，0－4 s丁的位移x丁＝×4 s＝0。
可见0－4 s内甲物体的位移最大，有两个物体运动的位移为0；第4 s末乙物体的加速度最大，丁物体的速度最大。故ACD正确，不符合题意，B错误，符合题意。
2．物理老师为考察学生对物理公式、数学与物理学科交叉的理解，将一个做直线运动的物体的数据进行了处理，以瞬时速度的平方的倒数为纵坐标，位移的倒数为横坐标，描绘出如图所示的图像，已知该图像中直线与横轴之间的夹角为45°，关于该物体的运动，以下说法正确的是（ ）
A．该物体做初速度为2 m/s的匀加速直线运动
B．该物体的加速度为0.5 m/s2
C．图像中的直线与横轴的夹角为45°，斜率应该是1，该图像画错了
D．该物体在10 s内的位移为100 m
【答案】D
【解析】AB、根据图象可知：，其中k为斜率，则有：v2＝，根据速度—位移关系可得：v2＝＋2as，对比可得初速度为零，2a＝＝ m/s2＝4 m/s2，所以加速度a＝2 m/s2，故AB错误；
C、运动学中图象的斜率与数学中图象的斜率所表示的物理意义不同，运动学中图象的斜率表示纵坐标的变化量与对应的横坐标变化量之比，而不是角的正切值，故C错误；
D、该物体在10 s内的位移为：x＝＝×2×102 m＝100 m，故D正确。
故选：D。
3．在非洲的干旱草原和半沙漠地带有一种猫科动物狞猫，狞猫跳跃能力极强，奔跑速度快，能捉降落或起飞时的鸟类。某次狞猫在捕食树上的鸟时，先慢慢趴低身体，使身体贴近地面，然后突然蹬地向上加速，重心上升后离地向上运动，狞猫在离开地面前，其加速度a与重心上升高度h的关系如图所示，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则狞猫离地后重心上升的最大高度为（ ）
A．1.5 mB．3 mC．4.5 mD．6 m
【答案】B
【解析】根据题意，设狞猫离地时速度为v，根据动力学公式v2＝2ah，整理得＝ah，可知a－h图像与坐标轴围成的面积表示， 则＝(75×0.2＋×75×0.4) m2/s2，解得v＝ m/s，狞猫离地后，根据动力学公式v2＝2gh′，解得狞猫离地后重心上升的最大高度为h′＝3 m。
故选B。
4．某同学推一物块沿水平面做直线运动。设物块在这条直线上运动的速度大小为v，到某参考点的距离为x，物块运动的图像如图所示，图线是一条过原点的倾斜直线。关于该物块的运动，下列说法正确的是（ ）
A．该物块运动到x＝2.0 m处时的速度大小为4 m/s
B．该物块做匀减速直线运动，加速度大小为20 m/s2
C．该物块从x＝1.0 m处运动到x＝2.0 m处所用的时间为 s
D．该物块从x＝1.0 m处运动到x＝2.0 m处所用的时间为3 s
【答案】D
【解析】A．由图像知x＝2.0 m时，纵坐标为4.0，即＝4.0，解得v＝0.25 m/s，故A错误；
B．对比匀变速直线运动的规律知物块不做匀减速直线运动，故B错误；
CD．该图像与横轴围成的面积对应物块的运动时间，则物块由x＝1.0 m处运动到x＝2.0 m处所用的时间为t＝ s＝3 s，故C错误，D正确。
故选D。
类别
x－t图像
v－t图像
坐标轴
纵轴表示位移x，横轴表示时间t
纵轴表示速度v，横轴表示时间t
意义
反映的是物体位移随时间的变化规律
反映的是物体速度随时间变化的规律
图像
图线
含义
①表示物体从正位移处开始做反向匀速直线运动并越过零位移处继续运动
②表示物体静止不动
③表示物体从零位移处开始做正向匀速运动
④表示物体沿正方向做速度越来越大的直线运动
①表示物体先做正向匀减速再做反向匀加速运动（全过程可当作匀减速运动）
②表示物体做正向匀速直线运动
③表示物体从静止开始做正向匀加速直线运动
④表示物体做正向加速度变大的变加速运动
切线
斜率
斜率大小表示速度的大小；斜率正负表示速度的方向
斜率大小表示加速度的大小；斜率正负表示加速度的方向
截距
表示物体的初位置
表示物体运动的初速度
面积
无实际意义
图线和时间轴围成的面积表示位移
交点
表示物体相遇
表示速度相等
拐点
表示速度方向改变
表示加速度方向改变
图（a）
图（b）
图像种类
示例
解题关键
图像
公式依据：→
斜率意义：初速度v0
纵截距意义：加速度一半
a－x图像
公式依据：
v2－＝2ax→
面积意义：速度平方变化量的一半
－x图像
公式依据：
面积意义：运动时间t