滑块与轻弹簧的碰撞问题 ——高中物理人教版二轮复习专题 学案

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滑块与弹簧碰撞模型的特点：
（1）动量守恒：两个物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系统动量守恒．
（2）机械能守恒：系统所受的外力为零或除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒．
（3）弹簧处于最长（最短）状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动能通常最小（相当于完全非弹性碰撞，两物体减少的动能转化为弹簧的弹性势能）．
（4）弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大（相当于刚完成弹性碰撞）．
二．典例精讲
1．滑块与含弹簧滑块碰撞模型
例题1 如图，光滑水平直轨道上有三个质量均为m的物块A、B、C，B的左侧固定一轻弹簧（弹簧左侧的挡板质量不计）。设A以速度v0朝B运动，压缩弹簧；当A、B速度相等时，B与C恰好相碰并粘接在一起，然后继续运动。假设B和C碰撞过程时间极短。求从A开始压缩弹簧直至与弹簧分离的过程中
（ⅰ）整个系统损失的机械能；
（ⅱ）弹簧被压缩到最短时的弹性势能
【答案】（ⅰ）；（ⅱ）
【解析】（ⅰ）从A压缩弹簧到A与B具有相同速度v1时，对A、B与弹簧组成的系统，取水平向右为正方向，由动量守恒定律得mv0＝2mv1 ①
此时B与C发生完全非弹性碰撞，设碰撞后的瞬时速度为v2，损失的机械能为ΔE，对B、C组成的系统，由动量守恒和能量守恒定律得mv1＝2mv2 ②
＝ΔE＋ ③
联立①②③式得ΔE＝ ④
（ⅱ）由②式可知v2＜v1，A将继续压缩弹簧，直至A、B、C三者速度相同，设此速度为v3，此时弹簧被压缩至最短，其弹性势能为Ep。
由动量守恒和能量守恒定律得mv0＝3mv3 ⑤
－ΔE＝＋Ep ⑥
联立④⑤⑥式得Ep＝
例题2 如图所示，CDE为光滑的轨道，其中ED是水平的，CD是竖直平面内的半圆，与ED相切于D点，且半径R＝0.5 m，质量m＝0.1 kg的滑块A静止在水平轨道上，另一质量M＝0.5 kg的滑块B前端装有一轻质弹簧（A、B均可视为质点）以速度v0向左运动并与滑块A发生弹性正碰，若相碰后滑块A能过半圆最高点C，取重力加速度g＝10 m/s2，则：
（1）B滑块至少要以多大速度向前运动；
（2）如果滑块A恰好能过C点，滑块B与滑块A相碰后轻质弹簧的最大弹性势能为多少？
【答案】（1）3 m/s；（2）0.375 J
【解析】（1）设滑块A过C点时速度为vC，B与A碰撞后，B与A的速度分别为v1、v2，B碰撞前的速度为v0，过圆轨道最高点的临界条件是重力提供向心力。
由牛顿第二定律得
从D到C，由动能定理得
B与A发生弹性碰撞，碰撞过程动量守恒、能量守恒，以向左为正方向
由动量守恒定律得Mv0＝Mv1＋mv2
由机械能守恒定律得
由以上代入数据解得v0＝3 m/s
（2）由于B与A碰撞后，当两者速度相同时有最大弹性势能Ep，设共同速度为v，A、B碰撞过程系统动量守恒、能量守恒，以向左为正方向，
由动量守恒定律得Mv0＝(M＋m)v
由机械能守恒定律得
以上联立并代入数据解得Ep＝0.375 J
2．滑块与弹簧连接体碰撞模型
例题3 （多选）如图所示，水平光滑轨道宽度和轻弹簧自然长度均为d，m2的左边有一固定挡板。m1由图示位置静止释放，当m1与m2相距最近时m1的速度为v1，则在以后的运动过程中（ ）
A．m1的最小速度是0B．m1的最小速度是
C．m2的最大速度是v1 D．m2的最大速度是
【答案】BD
【解析】从小球m1到达最近位置后继续前进，此后拉动m2前进，m1减速，m2加速，达到共同速度时两者相距最远，此后m1继续减速，m2加速，当两球再次相距最近时，m1达到最小速度，m2达最大速度：两小球水平方向动量守恒，速度相同时保持稳定，一直向右前进，选取向右为正方向，则m1v1＝m1v1′＋m2v2，；
解得：v1′＝，v2＝
故m2的最大速度为，此时m1的最小速度为。
故选BD。
例题4 如图所示，静止放置在光滑水平面上的A、B、C三个滑块，滑块A、B间通过一水平轻弹簧相连，滑块A左侧紧靠一固定挡板P，某时刻给滑块C施加一个水平冲量使其以初速度v0水平向左运动，滑块C撞上滑块B的瞬间二者粘在一起共同向左运动，弹簧被压缩至最短的瞬间具有的弹性势能为1.35 J，此时撤掉固定挡板P，之后弹簧弹开释放势能，已知滑块A、B、C的质量分别为mA＝mB＝0.2 kg，mC＝0.1 kg，（取＝3.17）求：
（1）滑块C的初速度v0的大小；
（2）当弹簧弹开至恢复到原长的瞬时，滑块B、C的速度大小；
（3）从滑块B、C压缩弹簧至弹簧恢复到原长的过程中，弹簧对滑块B、C整体的冲量．
【答案】（1）9 m/s；（2）1.9 m/s；（3）1.47 N·s，方向水平向右
【解析】（1）滑块C撞上滑块B的过程中，滑块B、C组成的系统动量守恒，以水平向左为正，根据动量守恒定律得
弹簧被压缩至最短时，滑块B、C速度为零，根据能量守恒定律得
解得v1＝3 m/s，v0＝9 m/s
（2）设弹簧弹开至恢复到原长的瞬间，滑块B、C的速度大小为v2，滑块A的大小为v3，根据动量守恒定律得
根据能量守恒定律得，解得v2＝1.9 m/s
（3）设弹簧对滑块B、C整体的冲量I，选向右为正方向，
由动量定理得
解得I＝1.47 N·s
方向水平向右
三．跟踪训练
1．（多选）如图所示，两个小球A、B大小相等，质量分布均匀。分别为m1、m2，m1＜m2，A、B与轻弹簧栓接，静止在光滑水平面上，第一次用锤子在左侧与A球心等高处水平快速向右敲击A，作用于A的冲量大小为I1，第二次两小球及弹簧仍静止在水平面上，用锤子在右侧与B球心等高处水平快速向左敲击B，作用于B的冲量大小为I2，I1＝I2，则下列说法正确的是（ ）
A．若两次锤子敲击完成瞬间，A、B两球获得的动量大小分别为p1和p2，则p1＝p2
B．若两次锤子敲击分别对A、B两球做的功为W1和W2，则W1＝W2
C．若两次弹簧压缩到最短时的长度分别为L1和L2，则L1＜L2
D．若两次弹簧压缩到最短时A、弹簧、B的共同速度大小分别为v1和v2，则v1＞v2
【答案】AC
【解析】A．由动量定理I＝Δp可知，由于Il＝I2，则若两次锤子敲击完成瞬间有p1＝p2，故A正确；
B．由于两次锤子敲击完成瞬间两球具有的动量大小相等，且可知，A球获得的初动能更大，由动能定理可知W1＞W2，故B错误；
C．由动量守恒可得，得，
由能量守恒有，得
由于p1＝p2，则质量越大的，初速度越小，即A球获得的初速度较大，则敲击A球时弹簧的最大弹性势能较大，即L1＜L2，故C正确；
D．由由动量守恒可得，得，则两次共速的速度相同，故D错误。
故选AC。
2．如图甲所示，物块A、B的质量分别是mA＝4.0 kg和mB＝3.0 kg。用轻弹簧拴接，放在光滑的水平地面上，物块B右侧与竖直墙相接触。另有一物块C从t＝0时以一定速度向右运动，在t＝4 s时与物块A相碰，并立即与A粘在一起不再分开，物块C的v－t图像如图乙所示。求：
（1）物块C的质量m；
（2）墙壁对物块B在4 s到12 s的时间内的冲量I的大小和方向；
（3）B离开墙后的过程中弹簧具有的最大弹性势能Ep。
【答案】（1）mC＝2 kg；（2）I＝－36 N·s；（3）Ep＝9 J
【解析】（1）由图知，C与A碰前速度为v1＝9 m/s，碰后速度为v2＝3 m/s，C与A碰撞过程动量守恒，以C的初速度反方向为正方向，由动量守恒定律得：
解得：mC＝2 kg。
（2）由图知，12 s末A和C的速度为v3＝－3 m/s，
4 s到12 s，墙对B的冲量为
解得：I＝－36 N·s，方向向左。
（3）12 s，B离开墙壁，之后A、B、C及弹簧组成的系统动量和机械能守恒，且当A、C与B速度相等时，弹簧弹性势能最大，以A的速度方向为正方向
由动量守恒定律得：
由机械能守恒定律得：
解得：Ep＝9 J。
3．如图所示，半径为R的四分之一光滑圆弧轨道竖直固定在水平地面上，下端与水平地面在P点相切，一个质量为2m的物块B（可视为质点）静止在水平地面上，左端固定有水平轻弹簧，Q点为弹簧处于原长时的左端点，P、Q间的距离为R，PQ段地面粗糙、动摩擦因数为μ＝0.5，Q点右侧水平地面光滑，现使质量为m的物块A（可视为质点）从圆弧轨道的最高点由静止开始下滑，重力加速度为g。求：
（1）物块A沿圆弧轨道滑至P点时对轨道的压力大小；
（2）弹簧被压缩的最大弹性势能（未超过弹性限度）；
（3）物块A最终停止位置到Q点的距离。
【答案】（1）3mg；（2）；（3）
【解析】（1）物块A从静止沿圆弧轨道滑至P点，设物块A在P点的速度大小为vP，
由机械能守恒定律有
在最低点轨道对物块的支持力大小为FN，由牛顿第二定律有
联立解得
由牛顿第三定律可知在P点物块对轨道的压力大小为3mg。
（2）设物块A与弹簧接触前瞬间的速度大小为v0，由动能定理有
解得
当物块A、物块B具有共同速度v时，弹簧的弹性势能最大，
由动量守恒定律有，
联立解得
（3）设物块A与弹簧分离时，A、B的速度大小分别为v1、v2，规定向右为正方向，
则有，
联立解得
设A最终停在Q点左侧距Q点x处，由动能定理有
解得