轻弹簧模型的力与能量问题 ——高中物理人教版二轮复习专题 学案

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1．轻弹簧连接的物体系统
2．应用动力学和能量观点解决连接体问题的技巧：
（1）做好四个分析：受力分析、运动分析、做功分析和能量的转化分析。
（2）规律的选择：
①物体受到恒力作用发生运动状态的改变求某一时刻的力、加速度或求时间时，一般选择动力学方法（牛顿运动定律）解题；
②当涉及功、能和位移时，若研究某一个物体时，一般用动能定理去解决问题。若研究的对象为连接体时，一般选用功能关系或能量守恒定律解题，题目中出现相对位移时，应优先选择能量守恒定律；
（3）使用能量守恒定律解题选用表达式的技巧：
①解题时，首先确定初、末状态，然后分清有多少种形式的能在转化，再分析状态变化过程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加。
②无外力做功的表达式：ΔE减＝ΔE增，减少的那些能量的减少量等于增加的那些能量的增加量。E初＝E末，初状态各种能量的总和等于末状态各种能量的总和。
③有外力做功的表达式：WF＝ΔE，ΔE为能量的增加量。
二．典例精讲
1．轻弹簧连接体在杆上运动模型
例题1 （多选）如图所示，一根轻弹簧一端固定在O点，另一端固定一个带有孔的小球，小A球套在固定的竖直光滑杆上，小球位于图中的A点时，弹簧处于原长现将小球从A点由静止释放，小球向下运动，经过与A点关于B点对称的C点后，小球能运动到最低点D点，OB垂直于杆，则下列结论正确的是（ ）
A．小球从A点运动到D点的过程中，其最大加速度一定大于重力加速度g
B．小球从B点运动到C点的过程，小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和可能增大
C．小球运动到C点时，重力对其做功的功率最大
D．小球在D点时弹簧的弹性势能一定最大
【答案】AD
【解析】A．在B点时，小球的加速度为g，在BC间点弹簧处于压缩状态，小球在竖直方向除重力外还有弹簧沿竖直方向的分量，所以小球从A点运动到D点的过程中，其最大加速度一定大于重力加速度g，故A正确；
B．由能量守恒可知，小球从B点运动到C点的过程，小球做加速运动，即动能增大，所以小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和一定减小，故B错误；
C．小球在C上点时，由于弹簧的弹力为零，所以合力为重力G，所以小球从C点往下还会加速一段，所以小球在C点的速度不是最大，即重力的功率不是最大，故C错误；
D．D点为小球运动的最低点，即速度为零所以弹簧形变最大，所以小球在D点时弹簧的弹性势能最大，故D正确。
故选AD。
2．轻弹簧连接体＋直接接触体组合模型
例题2 如图所示，倾角37°的斜面上，轻弹簧一端固定在A点，自然状态时另一端位于B点。斜面上方有一半径R＝1 m、圆心角等于143°的竖直圆弧形光滑轨道与斜面相切于D处，圆弧轨道的最高点为M。用质量为m1＝6.3 kg的物块将弹簧缓慢压缩至C点，静止释放后物块到B点速度恰好减小为0。用同种材料、质量为m2＝0.3 kg的另一小物块将弹簧缓慢压缩到C点后由静止释放，物块经过B点后的位移与时间的关系为x＝8t－4t2（x单位：m；t单位：s），若物块经过D点后恰能到达M点，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8。求：
（1）物块与斜面间的动摩擦因数；
（2）BD间的距离lBD；
（3）弹簧被压缩至C点的弹性势能。
【答案】（1）0.25；（2） m；（3）10.08 J
【解析】（1）由物块m2经物块经过B点后的位移与时间的关系为x＝8t－4t2，
可知，物块经过B点时的速度为vB＝8 m/s
从B到D的过程中加速度大小为a＝8 m/s2
根据牛顿第二定律，有mgsin 37°＋μmgcs 37°＝ma，解得μ＝0.25
（2）设物块m经过M点的速度为vM，由牛顿第二定律得
物块从D到M的过程中，根据机械能守恒定律得
物块从B到D的过程中，有
解得
（3）物块m1从C到B点，由功能关系得
物块m2从C到B点，由功能关系得
解得
3．轻弹簧连接体＋轻绳连接体组合模型
例题3 （多选）如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上，现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行，已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态。释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时C恰好离开地面。下列说法正确的是（ ）
A．斜面倾角α＝30°
B．A获得的最大速度为
C．C刚离开地面时，B的加速度最大
D．从释放A到C刚离开地面的过程中，A、B两小球组成的系统机械能守恒
【答案】AB
【解析】A．设当物体C刚离开地面时，弹簧的伸长量为xC，则
物体C刚离开地面时，以B为研究对象，物体B受到重力mg、弹簧的弹力kxC、细线的拉力T三个力的作用，设物体B的加速度为a，
根据牛顿第二定律，对B有
对A有4mgsin α－T＝4ma
联立解得
当B获得最大速度时，有a＝0
联立解得sin α＝0.5，则α＝30°，故A正确；
B．设开始时弹簧的压缩量xB，则
设当物体C刚刚离开地面时，弹簧的伸长量为xC，则
当物体C刚离开地面时，物体B上升的距离以及物体A沿斜面下滑的距离均为
由于弹簧处于压缩状态和伸长状态时的弹性势能相等，且物体C刚刚离开地面时，A、B两物体的速度相等，设为vBm，以A、B及弹簧组成的系统为研究对象，
由机械能守恒定律得
代入数据，解得，故B正确；
C．C刚离开地面时，B的速度最大，加速度为零，故C错误；
D．从释放A到C刚离开地面的过程中，A、B两小球以及弹簧构成的系统机械能守恒，但A、B两小球组成的系统机械能不守恒，故D错误。
故选AB。
4．轻弹簧连接体＋轻杆连接体组合模型
例题4 （多选）如图所示，有质量为2m、m的小滑块P、Q，P套在固定竖直杆上，Q放在水平地面上。P、Q间通过饺链用长为L的刚性轻杆连接，一轻弹簧左端与Q相连，右端固定在竖直杆上，弹簧水平，α＝30°时，弹簧处于原长。当α＝30°时，P由静止释放，下降到最低点时α变为60°，整个运动过程中，P、Q始终在同一竖直平面内，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为g。则P下降过程中（ ）
A．P、Q组成的系统机械能守恒
B．当α＝45°时，P、Q的速度相同
C．弹簧弹性势能最大值为(－1)mgL
D．P下降过程中动能达到最大前，Q受到地面的支持力小于3mg
【答案】CD
【解析】A、根据能量守恒知，P、Q、弹簧组成的系统机械能守恒，故A错误；
B、由运动的合成和分解可知，当α＝45°时，有，所以两者的速度大小相等，但是速度是矢量，包括大小和方向，P的速度方向竖直向下，Q的速度方向水平向左，故P、Q的速度不同，故B错误；
C、根据系统机械能守恒可得：EP＝2mgL(cs 30°－cs 60°)，弹性势能的最大值为EP＝(－1)mgL，故C正确；
D、P下降过程中动能达到最大前，P加速下降，对P、Q整体，在竖直方向上根据牛顿第二定律有3mg－N＝2ma，则有N＜3mg，故D正确。
三．跟踪训练
1．（多选）如图，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于O点，另一端与小球相连。现将小球从M点由静止释放，它在下降的过程中经过了N点。已知M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等， 且∠ONM＜∠OMN＜。 在小球从M点运动到N点的过程中（ ）
A．弹力对小球先做正功后做负功
B．有两个时刻小球的加速度等于重力加速度
C．弹簧长度最短时，弹力对小球做功的功率为零
D．小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差
【答案】BCD
【解析】A．因M和N两点处弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM＜∠OMN＜，可知M处的弹簧处于压缩状态，N处的弹簧处于伸长状态，则在小球从M点运动到N点的过程中，弹簧的弹性势能先增大，后减小再增大；弹簧的弹力对小球先做负功，后做正功再做负功，故A错误；
B．当弹簧水平时，竖直方向的力只有重力，小球受到的合力为重力，小球的加速度为重力加速度；当弹簧恢复到原长时，小球只受重力作用，小球的加速度为重力加速度；故有两个时刻小球的加速度等于重力加速度，故B正确；
C．弹簧长度最短时，即弹簧处于水平方向，此时弹簧弹力与速度方向垂直，则弹力对小球做功的功率为零，故C正确；
D．由于M和N两点处弹簧对小球的弹力大小相等，可知M和N两点处弹簧的压缩量等于伸长量，M和N两点处弹簧的弹性势能相等，根据系统机械能守恒可知，小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差，故D正确。
故选BCD。
2．（多选）如图所示，有质量为3m、m的小滑块P、Q，P套在固定竖直杆上，Q放在水平地面上。P、Q间通过铰链用长为L的刚性轻杆连接，一轻弹簧右端与Q相连，左端固定在竖直挡板上，弹簧水平，α＝30°时，弹簧处于原长。当α＝30°时，P由静止释放，下降到最低点时α变为60°，整个运动过程中，P、Q始终在同一竖直平面内，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为g。则P下降过程中（ ）
A．P、Q和弹簧组成的系统机械能守恒
B．当α＝45°时，P、Q的速度大小相等
C．弹簧弹性势能的最大值为
D．P下降过程中动能达到最大时，Q受到地面的支持力等于4mg
【答案】ABD
【解析】A．由于该题忽略一切摩擦，所以P、Q和弹簧组成的系统机械能守恒，故A选项正确；
B．当α＝45°时，分别将P、Q的速度进行分解，由于沿杆速度大小相等，可得P、Q的速度大小相等，故B选项正确；
C．当α＝60°时，P下降到最低点，此时的弹簧弹性势能最大，根据机械能守恒可得，故C选项错误；
D．当P速度最大时，P的加速度为0，在竖直方向上轻杆对P向上的分力大小为3mg，则轻杆对Q的竖直向下的分力也为3mg，因此Q对地面的压力为4mg，根据力的作用是相互的，可得Q受到地面的支持力等于4mg，故D选项正确。
故选ABD。
3．如图所示，一竖直轻弹簧上有两个物体A和B，质量均为m，其中A与弹簧上端固定连接，弹簧下端固定在水平地面上，B叠放在A上面，轻弹簧的劲度系数为k，系统开始处于静止状态，O点为弹簧的原长位置。 现对B施加一个竖直向上的力使其向上做加速度为a的匀加速直线运动，两个物体可视为质点，重力加速度为g，求：
（1）在B脱离A之前拉力F与B位移关系式；
（2）从B开始运动到AB分开的时间；
（3）若B做匀加速直线运动的加速度大小可以变化，则当加速度a为多少时，从B开始运动到AB分开的过程中拉力对B做功有最大值，并计算这个功（用m，g，k表示）。
【答案】（1）F＝kx＋2ma；（2）；（3），
【解析】（1）由于两个物块开始处于静止状态，设弹簧的压缩量为，
则由胡克定律得
设某一时间内A的位移为x，竖直拉力为F，把A和B作为一个整体，
由牛顿第二定律得
联立可得F＝kx＋2ma
（2）设两个物体恰好分开时，A的位移为xm，则有A与B之间的相互作用力为零，
对于A物体，由牛顿第二定律得，
联立得
设运动时间为t，则有，
联立得
（3）由于拉力F与A的位移呈线性变化，
拉力的最大值和最小值分别为，
则拉力F做功为
联立得
由数学知识可知
则有
当(g＋3a)＝(3g－3a)时，拉力的功有最大值，则有
拉力的功有最大值为
4．如图所示，固定斜面的倾角θ＝30°，物体A与斜面之间的动摩擦因数为μ＝，轻弹簧下端固定在斜面底端，弹簧处于原长时上端位于C点，用一根不可伸长的轻弹簧通过轻质光滑的定滑轮连接物体A和B，滑轮右侧绳子与斜面平行，A的质量为2m＝4 kg，B的质量为m＝2 kg，初始时物体A到C点的距离为L＝1 m。现给A、B一初速度v0＝3 m/s，使A开始沿斜面向下运动，B向上运动，物体A将弹簧压缩到最短后又恰好能弹到C点。已知重力加速度为g＝10 m/s2，不计空气阻力，整个过程中，轻绳始终处于伸直状态，求此过程中：
（1）物体A向下运动刚到C点时的速度大小；
（2）弹簧的最大压缩量；
（3）弹簧中的最大弹性势能。
【答案】（1）2 m/s；（2）0.4 m；（3）6 J
【解析】（1）物体A沿斜面向下运动时，B向上做运动，两者加速度大小相等，
以AB整体为研究对象，根据牛顿第二定律得
代入解得a＝2.5 m/s2
由v2－＝2aL得
（2）设弹簧的最大压缩量为x．物体A将弹簧压缩到最短后又恰好能弹到C点，整个过程中，弹簧的弹力和重力对A做功均为零。设A的质量为mA，B的质量为mB，
根据动能定理得
代入数据解得x＝0.4 m
（3）弹簧从压缩最短到恰好能弹到C点的过程中，
对系统根据能量关系有
因为mBgx＝mAgxsin θ，所以
常见情景
模型特点
由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒
两点提醒
（1）对同一弹簧，弹性势能的大小完全由弹簧的形变量决定，无论弹簧伸长还是压缩。
（2）弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长（或压缩至最短）时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大