轻绳、轻杆模型的力与能量问题 ——高中物理人教版二轮复习专题 学案

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1．轻绳连接的物体系统
（1）常见情境
（2）三点提醒
①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。
②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
③对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。
2．轻杆连接的物体系统
（1）常见情境
（2）三大特点
①用杆连接的两个物体，其线速度大小一般有以下两种情况：
a．若两物体绕某一固定点做圆周运动，根据角速度ω相等确定线速度v的大小。
b．“关联速度法”：两物体沿杆方向的分速度大小相等。
②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆可能对物体做功，单个物体机械能可能不守恒。
③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。
二．典例精讲
1．轻绳连接系统
例题1 （2024·湖北·联考题）一条轻绳跨过定滑轮，绳的两端各系一个小球A和B，质量分别是mA＝1.0 kg和mB＝2.0 kg。用手托住B球，当轻绳刚好被拉紧时，B球离地面的高度是h＝0.6 m，A球静止于地面，如图所示。定滑轮的质量及轮与轴间的摩擦均不计，且A离滑轮足够高，重力加速度为g＝10 m/s2。现释放B球，求：
（1）B球刚落地时，A球的速度大小；
（2）B球下落过程中，轻绳对A球做的功；
（3）A球能达到的最大高度。
【答案】（1）B下落过程中，A、B系统机械能守恒，mBgh＝mAgh＋
得v＝2 m/s
（2）对A用动能定理W－mAgh＝
得W＝8 J
（3）B落地后，A竖直上抛，机械能守恒mAgh′＝，得h′＝0.2 m
故A能达到的最大高度H＝h＋h′＝0.8 m
例题2 （多选）（2025·福建厦门·联考题）如图所示，质量均为m的物块A和B，用不可伸长的轻绳连接，A放在倾角为θ的固定光滑斜面上，而B能沿光滑竖直杆上下滑动，杆和滑轮中心间的距离为L，物块B从与滑轮等高处由静止开始下落，斜面与杆足够长，重力加速度为g。在物块B下落到绳与水平方向的夹角为θ的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．物块B的机械能的减少量大于物块A的重力势能的增加量
B．物块B的重力势能减少量为mgLtan θ
C．物块A的速度大于物块B的速度
D．物块B的末速度为
【答案】ABD
【解析】在物块B下落到绳与水平方向的夹角为θ时，物块B下降的高度为h＝Ltan θ，则物块B的重力势能减少量为ΔEpB＝mgLtan θ，物块A沿斜面上升的距离为x＝－L，设此时物块A的速度为vA，物块B的速度为vB，A、B组成的系统运动过程中只有重力做功，故系统机械能守恒， 所以物块B的机械能减少量等于物块A的机械能增加量， 有mgLtan θ－＝＋mgxsin θ，物块A沿斜面上升时动能和势能都增加，故A、B正确；将物块B的速度分解为沿绳方向的速度和垂直于绳方向的速度，则vA＝v绳＝vBsin θ，则物块A的速度小于物块B的速度，故C错误；联立以上表达式可得vB＝，故D正确。
2．轻杆连接的物体系统
例题3 （2025·河北衡水·联考题）如图为一幼儿园的可调臂长的跷跷板的示意图，O为跷跷板的支点。开始时一质量为m的小朋友坐在跷跷板的A端，此时A端恰好着地，跷跷板与水平地面的夹角为θ＝30°。现有一质量为4m的老师轻坐在跷跷板的B端，经过一段时间后跷跷板处于水平位置。已知OA＝2L，OB＝L，不计空气阻力和跷跷板的质量，重力加速度大小为g，小朋友与老师均可视为质点，则（ ）
A．此过程中小朋友的机械能守恒
B．此过程中小朋友与老师的速度大小之比为1∶2
C．跷跷板处于水平位置时，老师的速度大小为
D．此过程中跷跷板对小朋友做的功为
【答案】D
【解析】A．此过程中小朋友的速度增大，动能增大，重力势能增大，则小朋友的机械能增大，A错误；
B．小朋友与老师的角速度总是相等，根据v＝ωr，由于小朋友与老师绕O点转动的半径之比为2∶1，可知小朋友与老师的速度大小之比为2∶1，B错误；
C．跷跷板处于水平位置时，设老师的速度大小为v，则小朋友的速度大小为2v，根据系统机械能守恒可得4mg·Lsin 30°－mg·2Lsin 30°＝(2v)2＋×4mv2，解得v＝，C错误；
D．根据动能定理可得W－mgL＝(2v)2，解得W＝，可知此过程中跷跷板对小朋友做的功为，D正确。故选D。
三．跟踪训练
1．（2024·河北保定·期末）如图所示，固定在竖直面内横截面为半圆的光滑柱体（半径为R，直径水平）固定在距离地面足够高处，位于柱体两侧质量相等的小球A、B（视为质点）用细线相连，两球与截面圆的圆心O处于同一水平线上（细线处于绷紧状态）。在微小扰动下，小球A由静止沿圆弧运动到柱体的最高点P。不计空气阻力，重力加速度大小为g。小球A通过P点时的速度大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】对AB组成的系统，从开始运动到小球A运动到最高点的过程－mgR＝，解得v＝，故选C。
2．（多选）如图所示，一根长为3L的轻杆可绕水平转轴O转动，两端固定质量均为m的小球A和B，A到O的距离为L。现使杆在竖直平面内转动，B运动到最高点时，恰好对杆无作用力，两球均视为质点，不计空气阻力和摩擦阻力，重力加速度为g。当B由最高点第一次转至与O点等高的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．杆对B球做负功
B．B球的机械能守恒
C．轻杆转至水平时，A球速度大小为
D．轻杆转至水平时，B球速度大小为
【答案】AD
【解析】当B由最高点第一次转至与O点等高的过程中，只有重力做功，所以两球组成的系统的机械能守恒。A球的动能和重力势能均增加，则A球的机械能增加，根据系统的机械能守恒知B球的机械能减少，由功能关系知杆对B球做负功，故A正确，B错误；B球在最高点时，由重力提供向心力，设B球在最高点的速度大小为v，由mg＝，解得v＝，当B由最高点转至与O点等高时，根据AB系统的机械能守恒得mgL＝＋－－，又2vA＝vB，解得vA＝，vB＝，故C错误，D正确。故选：AD。