第12讲 反比例函数（讲义）-【讲通练透】2026中考数学一轮复习讲通练透讲+练+测试卷

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考点一
反比例函数的图象与性质
1、反比例函数的概念
一般的，形如 (是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数。其它表示形式：或。
因为x≠0，k≠0，相应地y值也不能为0，所以反比例函数的图象无限接近x轴和y轴，但与x轴、y轴永不相交 ．
2、反比例函数的图象与性质
反比例函数y＝eq \f(k,x)(k为常数，k≠0)的图象总是关于原点成中心对称的，它的位置和性质受k的符号的影响.
3、反比例函数的k的几何意义
由y＝eq \f(k,x)(k≠0)的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为|k| .
如图①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|；
同理可得S△OPA＝S△OPB＝eq \f(1,2)|xy|＝eq \f(1,2)|k|.

4、反比例函数解析式的确定
（1）待定系数法。由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。
（2）利用反比例函数中反比例系数的几何意义
若已知某点到坐标轴的垂线与坐标轴所围成的面积，根据函数图象所在象限判断k的正负，从而确定k值，再将k值代入反比例函数解析式即可。
【题型1 反比例函数的图象与性质】
【例1】（2024·山西·中考真题）已知点Ax1,y1，Bx2,y2，Cx3,y3都在反比例函数y=kx ky1C．y1>y2>y3D．y3>y1>y2
【答案】A
【分析】首先画出反比例函数y=kx k0)的图象上，
∴S△ADO=12×2=1，
∵BC⊥x轴于点C，DB⊥y轴，点B在函数y=3x(x>0)的图象上，
∴S矩形OCBD=3，
∴四边形ABCO的面积等于S矩形OCBD−S△ADO=3−1=2；
故选B．
【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中k的几何意义，是解题的关键．
【变式3-1】（2024·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B在函数y=kx x>0的图象上（点B的横坐标大于点A的横坐标），点A的坐示为2,4，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，连接OA，AB．
（1）求k的值．
（2）若D为OC中点，求四边形OABC的面积．
【答案】（1）8；（2）10．
【分析】（1）将点A的坐标为(2,4)代入y=kx(x>0)，可得结果；
（2）利用反比例函数的解析式可得点B的坐标，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式可得结果．
【详解】解：（1）将点A的坐标为(2,4)代入y=kx(x>0)，
可得k=xy=2×4=8，
∴k的值为8；
（2）∵k的值为8，
∴函数y=kx的解析式为y=8x，
∵D为OC中点，OD=2，
∴OC=4，
∴点B的横坐标为4，将x=4代入y=8x，
可得y=2，
∴点B的坐标为(4,2)，
∴S四边形OABC=SΔAOD+S四边形ABCD=12×2×4+122+4×2=10．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的系数k的几何意义，运用数形结合思想是解答此题的关键．
【变式3-2】（2024·浙江衢州·中考真题）如图，点A、B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方形OACD，ABEF．反比例函数y=kxk>0的图象分别交边CD，BE于点P，Q．作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N．若OA=2AB，Q为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 ．

【答案】24
【分析】设OA=4a，则AB=2a，从而可得A4a,0、B6a,0，由正方形的性质可得C4a,4a，由QN⊥y轴，点P在CD上，可得Pk4a,4a，由于Q为BE的中点，BE⊥x轴，可得BQ=12AB=a，则Q6a,a，由于点Q在反比例函数y=kxk>0的图象上可得k=6a2，根据阴影部分为矩形，且长为k4a，宽为a，面积为6，从而可得12×4ak×a=6，即可求解．
【详解】解：设OA=4a，
∵OA=2AB，
∴AB=2a，
∴OB=AB+OA=6a，
∴B6a,0，
在正方形ABEF中，AB=BE=2a，
∵Q为BE的中点，
∴BQ=12AB=a，
∴Q6a,a，
∵Q在反比例函数y=kxk>0的图象上，
∴k=6a×a=6a2，
∵四边形OACD是正方形，
∴C4a,4a，
∵P在CD上，
∴P点纵坐标为4a，
∵P点在反比例函数y=kxk>0的图象上，
∴P点横坐标为x=k4a，
∴Pk4a,4a，
∵∠HMO=∠HNO=∠NOM=90°，
∴四边形OMHN是矩形，
∴NH=k4a，MH=a，
∴S▭OMHN=NH×MH=k4a×a=6，
∴k=24，
故答案为：24．
【点睛】本题考查反比例函数图象的性质及正方形的性质及矩形的面积公式，读懂题意，灵活运用所学知识是解题的关键．
【变式3-3】（2024·黑龙江·中考真题）如图，△ABC是等腰三角形，AB过原点O，底边BC∥x轴，双曲线y=kx过A,B两点，过点C作CD∥y轴交双曲线于点D，若S△BCD=12，则k的值是（ ）

A．−6B．−12C．−92D．−9
【答案】C
【分析】设Bb,kb，根据反比例函数的中心对称性可得A−b,−kb，然后过点A作AE⊥BC于E，求出BC=4b，点D的横坐标为−3b，再根据S△BCD=12列式求出CD，进而可得点D的纵坐标，将点D坐标代入反比例函数解析式即可求出k的值．
【详解】解：由题意，设Bb,kb，
∵AB过原点O，
∴A−b,−kb，
过点A作AE⊥BC于E，
∵△ABC是等腰三角形，
∴CE=BE=b−−b=2b，
∴BC=4b，点D的横坐标为−3b，
∵底边BC∥x轴，CD∥y轴，
∴S△BCD=12BC⋅CD=12⋅4b⋅CD=12，
∴CD=6b，
∴点D的纵坐标为6b−−kb=6+kb，
∴D−3b,6+kb，
∴k=−3b⋅6+kb=−36+k，
解得：k=−92，
故选：C．

【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，中心对称的性质，等腰三角形的性质等知识，设出点B坐标，正确表示出点D的坐标是解题的关键．
【题型4 反比例函数解析式的确定】
【例4】（2024·云南昆明·中考真题）如图，直线y=x−1与y轴交于点A，与反比例函数y=kx的图象交于点B，过点B作BC⊥y轴于点C，ΔABC的面积为2，则反比例函数的解析式为( )
A．y=2xB．y=4xC．y=6xD．y=9x
【答案】A
【分析】对于反比例函数问题，关注的焦点就是反比例函数图象上的点，按照题意，设B(a,a−1)，根据ΔABC的面积为2列出关于a的方程求解即可得出反比例函数解析式．
【详解】解：∵直线y=x−1与y轴交于点A，
∴A （0，−1），即OA=1，
∵直线y=x−1与反比例函数y=kx的图象交于点B，则设B(a,a−1)，
∵ΔABC的面积为2，
∴12×a×(a−1+1)=2，
∴a=2或a=−2（根据图象在第一象限，舍），
∴B(2,1)，即k=xy=2×1=2，
∴反比例函数的解析式为：y=2x，
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合，求反比例函数解析式的关键是找到反比例函数图象上一点的坐标．
【变式4-1】（2024·上海·中考真题）已知反比例函数的图象经过点(2，﹣4)，那么这个反比例函数的解析式是( )
A．y=2xB．y=﹣2xC．y=8xD．y=﹣8x
【答案】D
【分析】设解析式y=kx，代入点(2,-4)求出k即可．
【详解】解：设反比例函数解析式为y=kx，
将(2，-4)代入，得：-4=k2，
解得：k=-8，
所以这个反比例函数解析式为y=-8x．
故选：D．
【点睛】本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式，求反比例函数解析式只需要知道其图像上一点的坐标即可．
【变式4-2】（2024·西藏·中考真题）已知点A是直线y＝2x与双曲线y=m+1x（m为常数）一支的交点，过点A作x轴的垂线，垂足为B，且OB＝2，则m的值为（ ）
A．−7B．−8C．8D．7
【答案】D
【分析】易求得A点的坐标，代入y=m+1x（m为常数）即可求出m．
【详解】由题意，可知点A的横坐标是±2，由点A在正比例函数y＝2x的图象上，
∴点A的坐标为（2,4）或（﹣2,﹣4），
又∵点A在反比例函数y=m+1x（m为常数）的图象上，
∴m+1＝8，即m＝7，
故选D．
【点睛】本题综合考查反比例函数与一次函数的交点问题．先由正比例函数解析式求点的坐标是解题关键．
【变式4-3】（2024·山东潍坊·中考真题）如图，正比例函数y=−33x的图象与反比例函数y=kx的图象的一个交点是Am,3．点P23,n在直线y=−33x上，过点P作y轴的平行线，交y=kx的图象于点Q．
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)求△OPQ的面积．
【答案】(1)y=−33x；
(2)32．
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的表达式，坐标与图形，三角形的面积，利用待定系数法求出反比例函数的表达式是解题的关键．
（1）利用正比例函数求出点A的坐标，再代入反比例函数的表达式即可求解；
（2）分别求出P、Q的坐标，得到PQ的长度，再根据坐标与图形以及三角形的面积公式计算即可求解；
【详解】（1）解：把Am,3代入y=−33x得，3=−33m，
∴m=−3，
∴A−3,3，
把A−3,3代入y=kx得，3=k−3，
∴k=−33，
∴反比例函数的表达式为y=−33x；
（2）解：把P23,n代入y=−33x得，n=−33×23=−2，
∴P23,−2，
∵PQ∥y轴，
∴点Q的横坐标为23，
把x=23代入y=−33x得，y=−3323=−32，
∴Q23,−32，
∴PQ=−32−−2=12，
∴S△OPQ=12×12×23=32．
【题型5 与反比例函数有关的面积问题】
【例5】（2024·山东烟台·中考真题）如图，正比例函数y=x与反比例函数y=kx的图象交于点A6,a，将正比例函数图象向下平移nn>0个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x轴，y轴交于点D，E，且满足BE:CE=3:2．过点B作BF⊥x轴，垂足为点F，G为x轴上一点，直线BC与BG关于直线BF成轴对称，连接CG．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求n的值及△BCG的面积．
【答案】(1)y=6x
(2)1，10
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用：
（1）先求出a的值，进而求出反比例函数的解析式即可；
（2）根据平移规则，得到平移后的解析式y=x−n，联立两个解析式，表示出B,C的坐标，过点B，C作x轴的平行线交y轴于点M,N,根据BE:CE=3:2，进而求出n的值，进而根据对称性得出∠CBG=90°，勾股定理求得BD，进而求得BG,BC的长，即可求解．
【详解】（1）解：∵正比例函数y=x与反比例函数y=kx的图象交于点A6,a，
∴a=6，
∴A6,6，
∴k=6⋅6=6；
∴y=6x；
（2）∵A6,6
∴xA=yA
∴tan∠AOD=66=1
∴∠AOD=45°
∵将正比例函数图象向下平移nn>0个单位，
∴平移后的解析式为：y=x−n，
如图所示，过点B，C作x轴的平行线交y轴于点M,N，则△BME，△CNE是等腰直角三角形，
∴∠BEM=∠CEN=45°
∴BM∥CN
∴△BME∽△CNE
∴BMCN=BECE=32
设B3m,2m，则BM=3m
∴CN=2m，
∴C−2m,−3m，
∵B3m,2m，C−2m,−3m，在y=x−n上
∴2m=3m−n−3m=−2m−n
解得：m=1n=1（负值舍去）
∴B3,2,C−2,−3，
∴BC的解析式为y=x−1，BC=3+22+3+22=52
当y=0时，x=1，则D1,0，
∴BF=DF=2，OE=OD=1，则DE=2
∵直线BC与BG关于直线BF成轴对称，BF⊥x轴，
∴DF=FG=2，△BFD和△BFG是等腰直角三角形，
∴G5,0
∴BD=BG=22，
∵△BFD和△BFG是等腰直角三角形，∠DBF=∠GBF=45°
∴∠DBG=90°
∴S△BCG=12BG×BC=12×22×52=10
【变式5-1】（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，反比例函数y=kx(x>0)与一次函数y=mx+1的图象交于点A2,3，点B是反比例函数图象上一点，BC⊥x轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接AB．
(1)求反比例函数y=kx与一次函数y=mx+1的表达式；
(2)当OC=4时，求△ABD的面积．
【答案】(1)y=6x，y=x+1
(2)72
【分析】本题主要考查了一次函数与反例函数的综合问题，待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式．一次函数与反比例函数的交点问题，两点之间的距离公式等知识，掌握反比例函数的性质以及一次函数的性质是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求出反比例函数以及一次函数的解析式．
（2）由已知条件求出点C，点B，点D的坐标，过点B作BE∥x轴交一次函数y=x+1的图象交于点E，过点A作AF⊥BE与点F，利用两点之间的距离公式分别求出BD，BE，AF的值，最后根据S△ABD=S△DBE−S△EAB即可求出答案．
【详解】（1）解：∵反比例函数y=kx(x>0)与一次函数y=mx+1的图象交于点A2,3，
∴3=k2，3=2m+1，
∴k=6，m=1，
∴反比例函数为：y=6x，一次函数的解析式为：y=x+1．
（2）∵OC=4，
∴C4,0，
∵BC⊥x轴于点C，交一次函数的图象于点D，
∴点B的横坐标为4．点D的横坐标为4．
∴yB=64=32，yD=4+1=5
∴B4,32，D4,5
∴BD=5−32=72
过点B作BE∥x轴交一次函数y=x+1的图象交于点E，过点A作AF⊥BE与点F，
∴BD⊥BE，点E的纵坐标为32，
∴AF=3−32=32，
把32代入y=x+1，得32=x+1，
∴x=12，
∴点E12,32，
∴BE=4−12=72，
∴S△ABD=S△DBE−S△EAB
=12BD⋅BE−12AF⋅BE
=12×72×72−12×32×72
=72
【变式5-2】（2024·山东泰安·中考真题）直线y1=kx+bk≠0与反比例函数y2=−8x的图象相交于点A−2,m，Bn,−1，与y轴交于点C．
(1)求直线y1的表达式；
(2)若y1>y2，请直接写出满足条件的x的取值范围；
(3)过C点作x轴的平行线交反比例函数的图象于点D，求△ACD的面积．
【答案】(1)y1=−12x+3
(2)x0求解即可；
（2）分为过点B的直线与线段OA相交和过点B的直线与线段OC相交，根据三角形的面积分两种情况求出交点的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式求出直线解析式即可．
【详解】（1）解：根据题意得：B6,3，
∴3=k6，
∴k=18，
∴双曲线的解析式为：y=18xx>0；
（2）解：如图，当过点B的直线与线段OA相交时，设交点为F，
，
由题意得：S矩形ABCD=6×3=18，
∵矩形OABC的面积分成1:2的两部分，
∴S△ABF为13×18=6或23×18=12，
∵B6,3，
∴①若12×3AF=6，解得：AF=4，
∵OA=6，
∴OF=6−4=2，
此时点F的坐标为2,0，
∴当B6,3,F2,0时，3=6a+b0=2a+b
解得：a=34b=−32，
此时直线的解析式为y=34x−32，
②若12×3AF=12，解得：AF=8，
∵OA=60，
∴p随V的增大而减小，
∴要使气球不会爆炸，V≥0.032，此时r≥0.2，
∴气球的半径至少为0.2m时，气球不会爆炸；
（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，涉及立方根等知识，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求出反比例函数的解析式．
【变式7-2】（2024·浙江·中考真题）小明同学训练某种运算技能，每次训练完成相同数量的题目，各次训练题目难度相当．当训练次数不超过15次时，完成一次训练所需要的时间y（单位：秒）与训练次数x（单位：次）之间满足如图所示的反比例函数关系．完成第3次训练所需时间为400秒．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x的值为6，8，10时，对应的函数值分别为y1，y2，y3，比较（y1-y2）与（y2-y3）的大小： y1-y2 y2-y3．
【答案】（1）y=1200x(x>0)；（2）>
【分析】(1)设反比例函数解析式为y=kx，将点(3,400)代入求出k即可，最后注意自变量的取值范围.
(2) 分别将x的值为6，8，10时，对应的函数值分别为y1，y2，y3的值求出，然后再比较大小求解.
【详解】解：(1) 设反比例函数解析式为y=kx(k≠0)
将点(3,400)代入，即得k=3×400=1200
故反比例函数的解析式为：y=1200x(x>0).
故答案为：y=1200x(x>0).
(2)当x=6时，代入反比例函数中，解得y1=12006=200，
当x=8时，代入反比例函数中，解得y2=12008=150，
当x=10时，代入反比例函数中，解得y3=120010=120，
∴y1−y2=200−150=50
y2−y3=150−120=30
∴y1−y2>y2−y3.
故答案为：>.
【点睛】本题考查了反比例函数的解析式求法、反比例函数的图像性质等，点在反比例函数上，则将点的坐标代入解析式中，得到等式进而求解.
【变式7-3】（2024·浙江台州·中考真题）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：gcm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，ℎ=20cm．

(1)求h关于ρ的函数解析式．
(2)当密度计悬浮在另一种液体中时，ℎ=25cm，求该液体的密度ρ．
【答案】(1)ℎ=20ρ．
(2)该液体的密度ρ为0.8g/cm3．
【分析】（1）由题意可得，设ℎ=kρ，把ρ=1，ℎ=20代入解析式，求解即可；
（2）把ℎ=25cm代入（1）中的解析式，求解即可．
【详解】（1）解：设h关于ρ的函数解析式为ℎ=kρ，
把ρ=1，ℎ=20代入解析式，得k=1×20=20．
∴h关于ρ的函数解析式为ℎ=20ρ．
（2）解：把ℎ=25代入ℎ=20ρ，得25=20ρ．
解得：ρ=0.8．
答：该液体的密度ρ为0.8g/cm3．
【点睛】此题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是理解题意，灵活利用反比例函数的性质进行求解．
【题型8 反比例函数与一次函数的实际应用】
【例8】（2024·四川乐山·中考真题）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当0≤x−1B．n>2C．−10,x>0的图象上，边AB在x轴上，点F在y轴上，已知AB=23．

(1)判断点E是否在该反比例函数的图象上，请说明理由；
(2)求出直线EP：y2=ax+ba≠0的解析式，并根据图象直接写出当x>0时，不等式ax+b>kx的解集．
【答案】(1)点E在该反比例函数的图象上，理由见解析
(2)y=−3x+9，3